北京大学：《古今数学思想》课程教学资源（讲义）第五讲 坐标几何与函数

坐标几何与函数我们在这一节介绍坐标几何与函数概念的历史与价值。我们将用较大的篇幅介绍它们的创始人的思想与成就，以便从这些大科学家的身上学到一些科学的世界观和方法论。坐标几何坐标几何就是通常所说的解析几何。作者认为解析几何作为这个学科的名称不恰当，因为“解析”（analytic）的含义是（自伯拉图以来）是指：从结论开始往回寻找，直到一些已知的条件为止，从而解答问题。这与证明中演绎推理的过程恰好相反。而在解析几何中主要的方法是用代数工具解决几何问题，与上述的“解析”的含义不同。似乎“代数几何”更贴切一些（现今的“代数几何”是一个庞大的学科，可以认为是解析几何的高度的抽象与推广）。对于坐标几何作出主要贡献的是费马（Fermat)（1601-1665）和笛卡尔（1596-1650）。他们把代数方程和曲线曲面等几何对象联系起来，是数学发展中最重要的创造之一。和历史上的大数学家一样，他们都在众多学科中有很深的造谐。费马在微积分起源的四个方面（由路程求速度和加速度及其反问题（由初速度加速度求速度和路程）、求曲线的切线、极值问题、求长度、面积、体积）中的两个（切线和极值）给出了一般的方法（求微商）。他在光学上提出了最小时间原理，由此出发证明了（1626年之前由斯内尔（Snell）发现的、后来笛卡尔独立地由发现了的）光的折射定律（如果和牛顿第一定律联系起来，似乎自然界有追求经济化的一般原则），这是一流的贡献。他和帕斯卡（Pascal)（1588-1651）共同开创了概率论的研究（在通信中解决赌注分配的问题具有一般性）。他在数论中的贡献是众所周知的，他创造了无限下降法（与归纳法相反，要想证明个命题对于所有的一类正整数（例如形如4n十3的素数）都成立，只要证明：如果有一个数使得结论不成立，则必有一个更小的数使得结论不成立，从而得到矛盾（结论对于最小的数总应当是对的，否则结论显然错误）)。费马研究过素数的多种形式的表达式，例如形如4n+1的素数可以唯一地表示为两个平方数的和，形如8n+1和8n+十3的素数可以表示为α2+262。高斯在费马的影响下研究了整系数二元二次型表达整数问题，是现代数论的开端。方程α2一Ay2=1(A为正整数）有无穷多整数解是费马证明的，此方程后来被欧拉误称为贝尔方程。对于费马大定理的研究更始现代数论的长久的推动力。费马了解韦达（将古希腊的几何中隐藏的代数恒等式用当时的符号表达出来）的工作，这有助于他创造坐标几何。他实际上引入的是斜坐标系。对于平面上的一条曲线，他选定一个点O和由O出发的曲线下方的一条射线。对于曲线上的一般点J，由J出发作一条直线与射线交于一点Z，将OZ的长度记为A，ZJ的长度记为E，则J的位置就由A、E两个字母定出。他没有明确地写出另一个坐标轴，也不用负数。他这样表达他的原理：“只要在最后的方程中出现两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一，其末端就描绘出一条直线或曲线。”他给出了直线以及所有二次曲线的方程，并且断言：如果方程是一次的，则它表示的曲线是直线，如果方程是二次的，则它表示的曲线是圆锥曲线。他在1637年的《求最大之和最小值的方法》一书中引进了曲线y=rn和y=-n。他创造坐标几何的动机是寻求解决几何问题的一般方法（在他们之前，几何学中的技巧性很强，几乎每个问题都要不同的方法去处理）。在1629年写的1679年出版的《平面和1

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立体的轨迹引论》这本小书中明确说，他找到了一个研究曲线问题的普遍方法笛卡尔是近代第一个杰出的哲学家，他又是现代生物学的莫基人、第一流的物理学家他只偶然地是个数学家他是机械论哲学的奠基人，机械论的含义是：一切自然现象（包括人体的机制）都可以归结为符合力学定律的运动（但灵有两个世界，一个是由不变的粒子、原认为有子以及它们在空的空间中动是力作用在基本粒子上的结果，而力H是思维世界（如甜与苦、冷服从于不变的数学正与热以及颜色等），即他只存在于人的意念中，实际上并不存在。了笛卡尔很大的影响。在天文学中他创立的他是光的折射定律的发现者物学的实验。他不推崇纯粹数一、对于透镜之学，认为把数学在研究自然在数上，他所作的是把代数用及代数的机械推理能减少解最平没有一个数学家育带达用代数表示以是未知的，他的儿图形目的是解即：首先假定图形已经作然后，弄清楚这些武表永出出来，这样就得到解方程），求出所要作个万程的未知线段出未知线段.这并不是现代意义下的解确定的作图方法些长度对应的线段接着的端点填条直线作为基线（坐标轴）与基线交于点B、他把B至上就是斜坐标系）此时经冠代数方法的到笛卡尔着重指出，对于每个39对应的端点，如果取无穷多个的满定所有这些C的轨迹就是不确定的值，就得到无穷多个y的值（作图所希望得到的曲线。他也只考虑正的、y．对于确定和不确定作图他都对于具体的例子给出解答，但是没有证明有了曲线方程的思想之后，笛卡尔断言：曲线的方程的次数与坐标轴的位置的选取无关，他又强调指出好的坐标轴的选取应当使得方程简单（这含有曲线方程的标准形的思想）。他还考虑对于两条不同的曲线的交点问题：在同一坐标系下写出他们的方程，求解联立方程即可得到交点（的坐标）。实际上它并没有（也不可能）真正去解高于二次联立方程，而只是在两条曲线已经作出的假定下断言二曲线的交点是联立方程的解。接着笛卡尔讨论几何曲线的分类。他把一次、二次曲线称为第一类（他说圆锥曲线是二次的，但没有证明）。三、四次曲线为第二类，五、六次曲线为第三类，依此类推。他认为在同一类中次数较高的方程可以化为次数较低者（这个观念当然是不对的）。他认为曲线的复杂程度由方程的次数所决定，以至于象蔓叶线（其方程为a3+y3-3acy=0）比y=z4还要简单。2

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笛个问也考虑了三维坐标，指出空间中的一点向两个垂直平面做垂线可以描述个点的位置，由此可以写出空间曲线、曲面的方程。但是他没有进一步考虑这种三维的推广。笛个问批判希腊人将曲线分为曲线和线性曲线的观点。希腊人将直线与圆称为平面曲线，将圆锥曲的曲线（如蚌线、螺线）为线性曲线，因为他们需要靠圆规直笛个问说：圆规直尺也是机械。机械作图的准确性无关紧惠的图形才是合法的。他引入了“儿何呈表示的曲线。这大大地推广了曲线概念曲线”的概念以用：兹将笛个问的“几何曲线”与“机械的容许度。其他的曲线称为机微曲线曲线”分别称为“数册线坐标几何的重要研究对象的扩大：笛个问大大冲破了希腊人的儿何对象任何几何事实，而月这种方法个高线交于一点，在几何中是一种统地处理）。3.坐标几何要区分该是双面的题可以用代数的方法解决；反过来给代数的语代数语，的意义，从而得到启发去提出新的立格朗日（Lagrange）（1736分批3）称在他的数它们的进展证明三，它们的应用证四五观新念的然复。从那以后，证以度日速的步伐走向所至为数量的形其，依正是地第、航海第，所需要的文、的位置的4要2平了道路。17世平标儿.纪以前儿何统世纪之后、代数数为了数第的基本第认。在依个交替过程微。牛顿和莱布尼兹都认为微积分和无穷格朗日在析函数论圆中说：“微积级数是代数的扩展分及其以后的发在笛卡尔之主17世纪中进展缓慢。其原因之一是笛卡尔在《儿，从而掩盖了坐标儿何的一般思想。其因而传播缓慢。此外，由于历史的影响，许多答利亚、韦达、牛顿这些大数学家，向初等几何的简单性。使得坐标几何年顾的迟迟不被接受的的最性，事实上无理数长期没有被真正承认为数、都以无要将实数与儿何的基的沃利方W.》和16件体轨中引论》有意这本小进书的中明坐标说他他找是引论到由线的性普的人说牛顿的《遍数要与无卡级数》大尔写于1671是引论》近代是1736是的杰译哲轨其中大家本应了了坐标几何说除了平又现生坐标物之外他找从沃利方奠学来的轨他人小、了流坐标物只偶流坐标物地数论到机到点，了含这机到点的义：切数论到点说但人自公认秩软包利是流坐标的括制者他可16以是括归了论结为于流坐标的符合，而当力牛顿的书人没有近代说定律运数是数学中最重要的动灵之论说运数的思想应当魂起除于外利略G）.i.法6变163

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伽利略在许多科学领域中都是杰出的人物。他被称为是现代发明之父。他是敏锐的关文观察者。他虽然不是望远镜的发明者，但是他一听说有关望远镜的说法，就能立即造出一个来。他是显微镜的独立发明者、他设计了第一个摆钟，还设计了并制作了一种罗盘，罗盘的标尺自动给出数据，而不像以前那样需要使用者去计算数据。他是近代声学的第一个重要的研究者，这项研究成为18世纪数学工作中的要动力之一他的科学哲学大部分与笛卡尔一致，但是他给近代科学制定出更彻底更有效更具体的程序，并且用自已的工作正是该程序与宗教教条决然割裂开来他对于自然界的看的原子论在伽利略的著作中比在笛卡尔著作中更头前的哲学家、物理学家）原子在真空中运动可毁灭性。物质的质的差别是由于原子的可质的变化是由原子的组合和伽利略也将世界分为第分解引起的。性和第二我的看法是：形状、数量（大小）生的和运动将仍然存在些是活的动物抽象出来的，依我看来，只是一上万的现象和性质而集中到物质和运动一基名询而这两种可以用数学描述的对象学分支应建立在数学公理或原理的基础上，通过演绎推理建立新的真理也的方法论基本理学的真理应当来自经验与实验。这与和希上送券合腊人、中有根本性的不同.这些人都相信基用本真理出自人的内就可以得到例如“等量加等量仍是等量”或物理学中，希腊人（特别是亚里士多德）树！确发2V也曾这样地找里的现象时，他们就造出一些特殊的解释，这些人坚信先天性的真理到如此程度伽利略的说法）他们首先决定世界应该怎样，然后把看见的东配合到预的原：原理必须来自经验与实验：在寻求基本加利典的原理的必在意心中所愿意的是什摩，他说“自然界不的智慧所接受”伽利略所说的“基本本现在以下几个方面，1，出于自然界是少数的关键性试验应该能产许多是思想中的实验：依“世界体系的对话》中日品经场描写一是否作过这样的实验，不球从行级的船的他说：“没有做过背定是这样的，因为它不能不是这样的。工作中的演绎数学部分要比实验部分所起的作用大行直观和关键性的观察和试验所得到的具有普遍意义的、深理的基础上。但在获取基本原理的的方法上，伽利略认为必须通测结果偶然和次要的效应，才能得到真的差异都比在水中的降落速度的差异要理。例如他曾观察不同的物体在小，所以他断定结束越稀薄，这种差异就越小于是他得出结论：在真空中任何物体的下降速度都相等。3.不同于以往的只注重享自然界行为的定性解释的人，伽利略主张等求量的公理。例如他提出了：物体在自由降落时的的速度等于时间的32倍（时间以秒为单位，长度以英尺为单位）。他选择了一组全新的概念使得它们之间可以用公式联系起来，这4

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些：念真正：距离、时间、速度、加速度、力、质量、重量等。对于当时的物理学而言，这是彻底的改造。4伽利略注意到了：人从试验中可能会得出不正确的原理。从这种原理出发得出的推论也就不会正确。因此伽利略建议：用实验考核推理的结果。在伽利略的时代，天文观测、远距离的航海时经度的确定、火炮的发明等对于位置、运动、时间的准确性提出重于量的研究的原因之一。所以他产生函数的概念儿乎作中占有中心的位置。在《关于两门新科学的对话》语文和比例的语言描写一个量随着另一个量的变化而变化定加速度下降的物体，其经过的距下同坡度的倾斜平板下滑的物体，离与所用的时间的平其下滑时间与平板的长度别基仅仅在于是否引入了符号。所以，在不久以后kt了是被当作曲线（即它的图像）（统研究的。曲线又被当作动愿的鹰脑。刻17世纪而得到的量慧接试经过其更其他精以下的是加、面、1开方五种代数运慧因数它真含的面的窄。函数的关数键性试就述确种（有限基）运智得出）166原。之后慧而顿不；《大键》变量之间的关够。167写球从尼行用“函数由线上的愿的变动而改变的量（例如愿的否作这线、没线量、变量、参变量等需语16前。小”努利用“变量其更方试”下代数键性试接超越必的函数”的说没。但这科然不是现在学键性试）近键述函数慧基贸用们所说的函数的工部。作终慧171演。近从尼行在他的部作《分比》中用“函数”一实键》所起于变量的量。至于函数的用号慧大经过得种变化后慧17写演。多拉引观了察泌大这种写没。从此函数概念就成数了谓义分中的深心概念原

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