高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）69 第六章 微分中值定理及其应用 s25 带有佩亚诺余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余在近似计63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用第十一讲带有佩亚诺余项的泰勒公式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 带有佩亚诺余项的 泰勒公式 第十一讲 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

第六章数学分析S3泰勒公式微分中值定理及其应用一、带有佩亚诺型余项多项式函数是最的泰勒公式简单的函数·用多项式来二、带有拉格朗日型余项逼近一般的函数是近似计的泰勒公式算的重要内容，也是数学的研究课题之一三、在近似计算中的应用*点击以上标题可直接前往对应内容

一、带有佩亚诺型余项 的泰勒公式 多项式函数是最 简单的函数.用多项式来 逼近一般的函数是近似计 算的重要内容,也是数学 的研究课题之一. 微分中值定理及其应用 数学分析 第六章 §3 泰勒公式 二、带有拉格朗日型余项 的泰勒公式 三、在近似计算中的应用 *点击以上标题可直接前往对应内容

在近似计带有拉格朗日型余S3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用带有佩亚诺型余项的泰勒公式设f(x)在x=xo处可导，由有限增量公式f(x) = f(xo) + f'(xo)(x -xo) + o(x - x),当「x一x|充分小时，f(x)可以由一次多项式f(xo)+ f'(x)(x-xo)近似地代替，其误差为 o(x一x.).但在许多情况下误差仅为o(x一x)是不够的,，而要考虑用较高次的多项式来逼近f,使得误差更小，如o((x-x)")数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 设 f (x) 在 x = x0 处可导, = + −+ − ′ 0 00 0 f x f x f x x x ox x ( ) ( ) ( )( ) ( )， 当 | | x − x0 充分小时, f (x) 可以由一次多项式 ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x + f ′ − 其误差为 0 ox x ( ). − 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 ( ) 误差仅为 o x − x0 是不够的, 的多项式来逼近 f , 使得误差更小, 0 ( ( ) ). n 如 oxx − 由有限增量公式 近似地代替, 但在许多情况下, §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 而要考虑用较高次

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式算中的应用项的泰勒公式问题：在何条件下，存在一个n次多项式P,(x),使得f(x) - P,(x) = o((x - x,)")?答案：当f(x)在点xo有n 阶导数时，这样的 n 次多项式是存在的.现在来分析这样的多项式与f(x)之间的关系？设P,(x) =a, +a(x-x)+...+an(x-x.)"则P(x) =a., P(x,)=a, P'(x) = 2!a,, :.P,("(xo) = n!an,数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 问题: 在何条件下, 存在一个 n次多项式 P (x), n 使得 ( ) ( ) (( ) )? n n o f x − P x = o x − x 答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多 设 01 0 0 ( ) ( ) ( ), n Px a ax x ax x n n =+ − ++ −  则 之间的关系？ 项式是存在的. 现在来分析这样的多项式与 f (x) ( ) ! , 0 ( ) n n Pn x = n a ( ) , P n x0 = a0 ( ) , P n x0 = a1 ′ ( ) 2! , P n x0 = a2 ′′ , 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用P"(x.)P'(x)即 a,=P(x),aa1!2!p(n)(x)ann!上式表明 P,(x)的各项系数是由其在点 xo的各阶导数所确定的.设f(x)在xo处n阶可导.如果f(x) - P,(x) = o(x - x)")即f(x)- P,(x) = 0,lim(x-x)"x-→xo则不难得到数学分析第六章德微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 即 ( ) 0 ( ) . ! n n n P x a n = 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶导 设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 数所确定的. ( ), a0 = P n x0 , 1! ( )0 1 P x a n ′ = 0 2 ( ) , 2! P x n a ′′ = , 即 0 0 () () lim 0, ( ) n n x x fx Px → x x − = − ( ) ( ) (( ) ), 0 n n f x − P x = o x − x 如果 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 则不难得到

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式算中的应用项的泰勒公式f(k)(x) = P(k)(x), k = 0, 1, 2, .., n,(1)其中k=0表示不求导．这时称T,(x)= f(x)+ f(x)-x+...+Y1!n(x)+(2)n!为f(x)在点xo的n阶泰勒多项式，称f(k)(x)(k=0,1,,n)为泰勒系数k!注意 (k)(x) = T(k)(x), k = 0, 1, 2, "*, n.T,(x)确实是我们所需要的多项式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 ( ) ( ), 0, 1, 2, , , 0 ( ) 0 ( ) f x P x k n k n k = =  (1) 0 0 0 ( ) () ( ) ( ) 1! n f x T x fx x x ′ = + − ++  其中 k = 0 . 表示不求导 (2) ( ) 0 0 ( ) ( ) ! n n f x x x n + − 为 f (x) 在点 x0 的 n 阶泰勒多项式 , 为泰勒系数. ( ) 0 ( ) ( 0,1, , ) ! k f x k n k =  这时称 称 T (x) n 确实是我们所需要的多项式. 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 ( ) ( ) 0 0 注意 fxTx k n k k ( ) ( ), 0, 1, 2, , . = n = 

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式算中的应用项的泰勒公式定理6.9设f(x)在x=xo处有n阶导数，则f(x) = T,(x)+o((x - x)")即f'(x"xf(x) = f(x )1!2!X(3)x -x)" +o((x -x)").n!证设 Rn(x)= f(x)-T,(x), Qn(x) =(x-x)"R,(x)f(x) - T,(x)故只需证lim:0limx→x0Q,(x)x-→X0(x-x,)"数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 定理6.9 设 f (x) 在 x = x0 处有n 阶导数, 则 ( ) ( ) (( ) ) , 0 n f x = Tn x + o x − x 即 0 0 2 00 0 () () () ( ) ( ) ( ) 1! 2! fx f x fx fx x x x x ′ ′′ = + −+ − ( ) 0 0 0 ( ) ( ) (( ) ). ! n n n f x x x ox x n ++ − + −  (3) 故只需证 0 0 0 () () () lim lim 0 . () ( ) n n n x x x x n Rx fx Tx Qx x x → → − = = − 证 设 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , 0 n Rn x = f x −Tn x Qn x = x − x 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式算中的应用项的泰勒公式由 R(x)= f(x)-T,(x), Q,(x)=(x-x,)",得 R()(x)= f(k)(x)-T()(x),所以R,(xo)= R,(xo) = ... = R,(n)(x) = 0Qn(x) = Q'(x) =... = Qn(n-1)(x,) = 0 , Q(")(x,) = n!.则当xeUx）且x→x时,连续使用n-1次洛必达法则，得到R,(x)R,(x)lim:limx-xo n(x-x,)"-1x-x (x -x,)"数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 由 ( ) ( ) ( ) 0, 0 ( ) R x0 = R′ x0 = = R x = n n n  n ( 1) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) !. n n Qx Qx Q x Q x n nn n n − = = = = ′  = 则当 x ∈U (x0 ) 且 x → x0 时，连续使用 n –1 次洛 必达法则, 得到 0 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) , n Rx fx Tx Q x x x n = − =− n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), k kk Rx f xT x n n = − 所以 0 0 1 0 0 ( ) ( ) lim lim () () n n n n x x x x Rx Rx x x nx x → → − ′ = − − = =  带有佩亚诺型余项的泰勒公式 得

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式算中的应用项的泰勒公式R,(n-1)(x)f(n-1)(x) -T,(n-1)(x)=limJimx-xo n!(x -x,)x-→xon!(x -x,)f(n-1)(x) -(f(n-1)(x)+ f(n(x)(x-x))limn! x→xox-xof(n-1(x)- f("-(xo) - f(n1= 0.limx.n! x-→xox-xo(3)式称为f(x)在点x.处的带有佩亚诺型余项的 n阶泰勒公式R,(x)= f(x)-T,(x) R,(x) = R,(x) =... = R(m(x)= 0f'(x.)f("(x,)T,(x) = f(x)1!n!数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 0 ( 1) ( 1) ( ) 0 00 0 1 ( ) ( ( ) ( )( )) lim ! nnn x x f x f x f x xx n x x − − →   −+− =   −   (3)式称为 f (x)在点 x0处的带有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式. = 0. 0 ( 1) ( 1) 0 ( ) 0 0 1 () ( ) lim ( ) ! n n n x x f xf x f x n xx − − →   − =   − −   带有佩亚诺型余项的泰勒公式 ′ = + − ++ − ( ) 0 0 00 0 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) 1! ! n n n f x f x T x fx x x x x n  0 ( 1) 0 ( ) = lim !( ) n n x x R x nx x − → − ( ) 00 0 () () ()0 n Rx Rx R x nn n R x fx T x n n () () () = − = = = = ′  0 ( 1) ( 1) 0 () () = lim !( ) n n n x x f xT x nx x − − → − −

带有拉格朗日型余在近似计S3泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式算中的应用项的泰勒公式注1 即使 f(x)在点x附近满足(4)f(x) = P,(x)+o((x -x)")也不能说明 P,(x)一定是,f(x) 的n 阶泰勒多项式比如f(x)= D(x)· xn+1 , P,(x) = 0,在 x=0处满足(4).但是当 n>1 时, P,(x) 不是f(x)在点 x=0 的 n 阶泰勒多项式，原因是f(x)在点x=0的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存在，所以无法构造n阶多项式数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 注1 0 即使 f (x) 在点 x 附近满足 0 ( ) ( ) (( ) ), (4) n n fx Px o x x = +− 也不能说明 P (x) n 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式. ( ) ( ) , ( ) 0, 1 = ⋅ = + f x D x x P x n n 在 x0 = 0处满足 (4). P (x) n 不是 f (x) 在点 x0 = 0 的 n 阶泰勒多项式, 在点 x = 0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存 比如 所以无法构造 n 阶多项式. 但是当 n > 1 时, 原因是 f (x) 在