高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）49 第五章 导数和微分 s05 习题课一

习题课S1导数的概念第五讲习题课(一)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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习题课S1导数的概念重要内容回顾1.导数的定义、记号；2.有限增量公式，可导必连续：3.左右导数，导函数；4.导数的几何意义，曲线的切线方程和法线方程5.函数的极值，费马定理数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hڽࠃࣩݤج Эங੿ ୍੽ӄؠ֛ு 2.ᴹ䲀໎䟿ޜᔿˈ 5. ࠭ᮠⲴᶱ٬ˈ䍩傜ᇊ⨶. 3.ᐖਣሬᮠˈሬ࠭ᮠ˗ 4.ሬᮠⲴࠐօ᜿ѹˈᴢ㓯Ⲵ࠷㓯ᯩ〻઼⌅㓯ᯩ〻˗ 1.ሬᮠⲴᇊѹǃ䇠ਧ˗ ਟሬᗵ䘎㔝˗

习题课S1导数的概念补充例题例1 讨论,f(x)与 f(x+0)的区别解 f(x)是函数f(x)在x,的右导数Ji(xo) = lim f(x)-f(xo)x-→xtx-Xo而f'(x+0)是导数f'(x)在x。的右极限：f'(x, +0) = lim f'(x),x→xt是不同的概念.其中一个存在，不能保证另一个也存在x±0x? sin1如函数 f(x)=在x=0的导数为：0,x=0数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hڽࠃࣩݤج Эங੿ ੭ҭ҆ொ ֻ1 0 0 fx fx ( ) ( 0)  䇘䇪 c о c  Ⲵ४࡛ 0 0 0 0 () ( ) ( ) lim , x x fx fx f x x x   o  c  ᱟн਼Ⲵᾲᘥ 䀓 ᱟ࠭ᮠ ൘ Ⲵਣሬᮠ˖ 0 x 0 f x( )  c f x( ) 㘼 f x c ( 0) 0  ᱟሬᮠ f x c ( ) ൘ x 0 Ⲵਣᶱ䲀˖ 0 0 ( 0) lim ( ), x x fx fx o  c  c ަѝањᆈ൘н㜭؍䇱ਖањҏᆈ൘ ྲ࠭ᮠ 2 sin , 1 0 ( ) 0, 0 x x x f x x ­ z ° ® °¯ ൘ x 0 ⲴሬᮠѪ˖

习题课S1导数的概念x? sin1-0xlim x sin= 0f'(0) = f'(0) = limx-0x-→0x-→0x右导数存在；但导数x±02xsin1-cos-xf'(x) =0,x=0的右极限 f'(0+0)= lim f'(x)不存在,x-0+x≤0，在x=0右导数不存在；又如 g(x)=[x? +1,x>0但其导数 g'(x)=2x(x≠0)，从而lim g'(x)= lim 2x = 0 .x-→0x-0数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hڽࠃࣩݤج Эங੿ 2 1 0 sin 0 (0) lim 0 x x x f o x  c  0 1 lim sin x x o x f (0)  c 0 ਣሬᮠᆈ൘˗նሬᮠ 2 sin , 1 0 ( ) 0, 0 x x x f x x ­ z ° ® °¯ 2 sin cos , 1 1 0 ( ) 0, 0 x x x x f x x ­  z ° c ® °¯ 0 (0 0) lim ( ) x f fx o  Ⲵਣᶱ䲀 c  c нᆈ൘ ৸ྲ 2 2 , 0 ( ) 1, 0 x x g x x x ­° d ® °¯  ! ˈ൘ x 0 ਣሬᮠнᆈ൘˗ նަሬᮠ gx xx c( )=2 ( 0) z ˈӾ㘼 0 0 lim ( )= lim 2 0 . x x gx x o o c

$1导数的概念习题课f(2 -2h)- f(2)例2 已知f'(2)=1,求limhh→>0f(2 -2h) - f(2)解limhh-→0f(2 - 2h) - f(2)= (-2)· lim-2hh-→>0= (-2) · f'(2) = -2.f(xo +Ax) - f(xo)f'(xo) = lim△xAx-→0数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hڽࠃࣩݤج Эங੿ ֻ2 0 (2 2 ) (2) (2)=1 , lim . h f hf f o h   ᐢ⸕ c ≲ 䀓 0 (2 2 ) (2) lim h f hf o h   0 (2 2 ) (2) ( 2) limh 2 f hf o h     ( 2) (2)  f c 2. 0 0 0 0 ( ǻ ) () ( ) lim x fx x fx f x ' o x   c '

习题课51导数的概念f(sin? x +cosx)例3 若f(1)=0 且f'(1) 存在，求 limx-→0(e*-1)tanxf(sin' x+ cosx)解 原式=lim~xx-0: lim(sin° x + cosx) = 1, f(1)= 0,x-→0f(sin* x +cosx)lim.2x→0xf(1+sin'x+cosx-1)-f(1) sin2 x+cosx -1limsin?x +cosx-1x-→0r(1)(1-)=(1)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hڽࠃࣩݤج Эங੿ ֻ3㤕 f (1) 0 ф f c(1) ᆈ൘ˈ 2 0 (sin cos ) lim . (e 1) tan x x fxx o x   ≲ 䀓 ৏ᔿ = 2 2 0 (sin cos ) lim x fxx o x  ˈ 2 2 0 (1 sin cos 1) lim x f xx o x    2 sin cos 1 x x   2  f (1) sin cos 1 x x   f c(1) 1 (1 ) 2  1 (1). 2 f c ~ x 2 2 0 (sin cos ) lim x fxx o x  ?

S1导数的概念习题课例4设f(x)在a点可导，且f(x）在a点连续，证明f(x)在a点也可导证先证f(a)=0 的情形由f(a)=0 得到f(a)=0,从而x=a是f|极小值点 f (a) = 0.因为在x=a可导，所以根据费马定理而f(a+△x)- f(a)f(a+△x)Ax△xf(a+△x)-f(a)△x数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hڽࠃࣩݤج Эங੿ ֻ4 䇮 fx a fx a () , () ൘ ⛩ਟሬ ф ൘ ⛩䘎㔝ˈ䇱᰾ 䇱ݸ䇱f a () 0 Ⲵᛵᖒ fx a ( ) ൘ ⛩ҏਟሬ ⭡f a () 0 ᗇࡠ f a( ) 0, Ӿ㘼x a ᱟfᶱሿ٬⛩ˈ ഐѪf ൘x a ਟሬˈᡰԕṩ ᦞ䍩傜ᇊ⨶f a ( ) 0. c 㘼 ( ǻ ) () ǻ fa x fa x   ( ǻ ) ǻ fa x x  ( ǻ ) () ǻ fa x fa x   ˈ

习题课S1导数的概念因此f(a+△x)-f(a)f(a+△x)[f'(a)] = limlimAx-→0△xAx-→>0△xf(a+△x)-f(a)Jim△xAx-→0)= 0从而得到 f(a)=0.f(a)0 的情形留作习题数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hڽࠃࣩݤج Эங੿ ഐ↔ ǻ 0 ( ǻ ) () lim x ǻ fa x fa o x   ǻ 0 ( ǻ ) lim x ǻ fa x o x  ǻ 0 ( ǻ ) () lim x ǻ fa x fa o x   f ac( ) f a( ) c 0ˈ Ӿ㘼ᗇࡠf a c( ) 0. fa fa () 0 () 0  ઼ ! Ⲵᛵᖒ⮉֌Ґ仈

S1导数的概念习题课例5设f(x)在x点可导，l(x)= f(x)+f(x)(x-x)为y=f(x)在x,点的切线.则对任何一条过(xo,f(x))点且不同于l(x)的直线L(x)= f(x)+a(x-x)，一定存在>0,使当0-x时，有yL(x)f(x)-l(x)0，使当y=f(x)[f(x) -l(x)0=0即可。linx-→xof(x) - L(x)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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习题课S1导数的概念首先，根据有限增量公式，有f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+o(x-x) (x→x因为L(x)l(x)，所以a≠ f'(x).于是f(x) -l(x) = o(x-x) (x →xo)f(x) - L(x)= (f'(xo) -a)(x-xo)+ o(x - xo)(x →xo)f(x)-l(x)从而limx-→xof(x)-L(x)o(x -x)= limx→xo(f'(x,)-a)(x-x)+o(x-x,)o(x -x) /(x-x)= lim=0x-→xo(f'(x,) -a) +o(x-x,)/(x -x,)数学分析第五章导数和微分-高等教育出版社

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