高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）45 第五章 导数和微分 s01 导数的概念

第五章数学分析s1 导数的概念导数和微分导数是微分学的核一、导数的定义心概念，是研究函数与自变量关系的产物，又是深二、导函数刻研究函数性态的有力工具·无论何种学科，只要涉三、导数的几何意义及“变化率”，就离不开导数。*点击以上标题可直接前往对应内容

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导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义第一讲导数的定义数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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S1导数的概念导数的定义导函数导数的几何意义一般认为，求变速运动的瞬时速度，求曲线上一点处的切线，求函数的最大、最小值，是微分学产生的三个源头：牛顿和莱布尼茨就是分别在研究瞬时速度和曲线的切线时发现导数的下面是两个关于导数的经典例子Newten牛顿（1642一1727，英国）数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh а㡜䇔Ѫ, ≲ਈ䙏䘀ࣘⲴⷜᰦ䙏ᓖˈ ウⷜᰦ䙏ᓖ઼ᴢ㓯Ⲵ࠷㓯ᰦਁ⧠ሬᮠⲴ ⢋亯 ( 1642ˉ1727, 㤡ഭ ) ӗ⭏ⲴйњⓀཤ. ⛩༴Ⲵ࠷㓯ˈ ≲ᴢ㓯ка ≲࠭ᮠⲴᴰབྷǃᴰሿ٬ˈᱟᗞ࠶ᆖ ⢋亯઼㧡ᐳቬ㥘ቡᱟ࡛࠶⹄൘ Тࣩؓݤج л䶒ᱟєњޣҾሬᮠⲴ㓿ިֻᆀ

导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义1.瞬时速度设一质点作变速直线运动，质点的位置s是时间t的函数，即其运动规律是 s= s(t)，则在某时刻 to及邻近时刻t之间的平均速度是100s(t) - s(to)=4小型客车t-ton当t无限接近t.时，平均速度就越来越接近t时刻的瞬时速度．严格地说，就是当极限s(t) - s(to)lim=1(1)t→>tot-to存在时，这个就是质点在t时刻的“瞬时速度”：数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义2.切线的斜率如图所示，需要寻找曲线y=f(x)在其上一点 P(xo,o）处的切线PT确定一条直线需要两点，一点是无法确定直线的y为此我们在P的邻近取一Q点Q，作曲线的割线PQ，y= f(x)TP这条割线的斜率为Aaα0xxoxk= f(x)-f(x)x-Xo数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh 2. ࠷㓯Ⲵᯌ⦷ _ 0 0 () ( ) . fx fx k x x   ަка⛩ P( x0, y0 ) ༴Ⲵ࠷㓯PT. ⛩ Q , Ѫ↔ᡁԜ൘ P Ⲵ䛫䘁ਆа 䴰㾱ራ᢮ᴢ㓯 y = f (x) ൘ 䘉ᶑࢢ㓯Ⲵᯌ⦷Ѫ Q x x T D O x0 x y P x ֌ᴢ㓯Ⲵࢢ㓯PQ , y fx ( ) ྲമᡰ⽪, Тࣩؓݤج ⺞ᇊаᶑⴤ㓯䴰㾱є⛩ˈа⛩ᱟᰐ⌅⺞ᇊⴤ㓯Ⲵ

S1导数的概念导数的定义导函数导数的几何意义设想一下，当动点O沿此曲线无限接近点P时k的极限若存在(x一→x），则这个极限f(x)- f(x)k = lim(2)x-→xox-xoQ会是什么呢？y= f(x)TPk= f(x)-f(x)Qx-xo0xxox x我们就定义为曲线在点P的切线PT的斜率数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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S1导数的概念导数的定义导函数导数的几何意义上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为后一类型的数学问题：求函数f在点x处的增量△=(x)-f(x)与自变量增量△x= x-x,之比的极限.这个增量比称为函数f在点x处关于自变量x的平均变化率，增量比的极限(如果存在)称为f在点xo处关于x的瞬时变化率(或简称变化率)s(t) - s(to)s(t) - s(t)D.Sv = limt→tot-tot-to数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义定义1设函数y=f(x)在点xo 的某邻域内有定义,如果极限f(x)- f(xo)lim(3)x→xox-Xo存在，则称函数f在点x.可导，该极限称为f在xo的导数，记作f(x)如果令 △x=x-Xo，Ay= (xo+△x)-f(xo),导数就可以写成Ayf(xo +△x)-f(xo)(4)Jimf'(xo) = lim△xAx-→0 AxAx→0数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数S1导数的概念导数的定义导数的几何意义这说明导数是函数增量△V与自变量增量△x之比的极限，即f'(xo)就是,f(x)关于x 在xo处的变化率.如果(3)或(4)式的极限不存在，则称 f(x)在点x不可导yf(xo +△x)-f(x)lim(4)f'(xo) = limAxAx-→0AxAx-0数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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S1导数的概念导数的定义导函数导数的几何意义例1求函数y=x3 在x=1 处的导数，并求该曲线在点 P(1,1)的切线方程解 因为△y = f(1+△x)-f(1) =(1+△x)3-1=1+3Ax+3Ax2+Ax3-1= 3△x +3△x2 +Ax3,所以Ay= lim(3 +3△x + Ax°) = 3.f'(1) = limAx-0 △xAx-→0由此可知曲线 V=x3在点P(1,1)的切线斜率为k = f'(1)= 3,于是根据直线的点斜式方程，所求切线方程为即=3x-2.y-1= 3(x-1),数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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