高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）13 第二章 数列极限 s04数列的性质2（上）

S2收敛数列的性质第四讲数列的性质2数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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四则运算S2收敛数列的性质追敛性数列子列定理2.7（四则运算法则）若(a,}与(b,}为收敛数列则(an+bn),{an-bn},an·bn}也都是收敛数列,且有(1) lim (an ±bn)= lim an ± lim bn;n-00n8n(2) lim(an·bn)= liman·limbn，当bn为常数c时,n8n8lim cbn = c lim bn;n0n-00Y(3)若bn≠0，lim bn≠0，则也收敛，且b,n→0nlima,a1n-0011limb.lim b.n->11n→00数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ؓࣂ֙aӨ૜ॠࡄӨͤ 㢹{an }Ϣ{bn }Ўᬊᬯ᭄߫ˈ{ }, ߭ an bn (1) lim lim lim ;  nn n n  n nn ab a b of of of r r (2) lim lim lim ,  nn n n  n nn ab a b o f o f o f ᔧ bnЎᐌ᭄ c ᯊ, lim lim ;n n n n cb c b of of (3) z 0, lim z 0 , o f n n 㢹 bn b ߭ гᬊᬯˈϨ ¿ ¾ ½ ¯ ® ­ n n b a lim lim . lim n n n n n n n a a b b o f of of { an  bn }, { an bn } г䛑ᰃᬊᬯ᭄߫, Ϩ᳝ ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ

四则运算追敛性2收敛数列的性质数列子列证(1)设 liman=a,limbn=b，>0，存在 N,n→80n-→8当n>N时,有la,-α<,Ib,-bl<ε同时成立,所以Ian ±bn -(a±b)l<|a, -a|+[b, -b<2c,由8的任意性，得到lim (an ±b,)= a±b = lim an ± lim b,n→8n→o1→数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ᔧn N! ᯊ, ᳝ ৠᯊ៤ゟ | | ,| | , n n aa bb   H   H ᠔ҹ | | a b ab n n rr   ⬅H ⱘӏᛣᗻ, ᕫࠄ lim  n n  n a b ab o f r r 䆕 (1) lim , lim , n n n n aa bb of of 䆒 H ! 0, d    | || | , 2 n n aa bb H ᄬ೼ N , ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ lim lim . n n n n a b o f o f r

四则运算52收敛数列的性质追敛性数列子列(2）因(b,收敛，故{b,有界，设lbnl≤M对于任意 ε>0,当n>N时,有881b,-bklan-aknM+1[a|+1于是lanbn-ab|=|anbn-abn+abn-abl≤lb, llan-al+lalib,-b|8数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ d   | || | | || | nn n b a a ab b ⬅H ⱘӏᛣᗻ, 䆕ᕫ lim n n n ab ab o f | a b ab | | a b ab ab ab | Ѣᰃ n n  n n  n  n  (2) ಴ { }ᬊᬯ, bn ᬙ{ } ᳝⬠, bn | b | M. 䆒 n d ᔧ ᯊ᳝ n N ! , || , 1 n a a M H    | | | |1 n b b a H    ˈ  2H , ᇍѢӏᛣ H ! 0, lim lim . n n n n a b o f o f ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ

四则运算S2收敛数列的性质迫敛性数列子列a因为(3) 只要证明由(2),106b1111limb.lim b.n-001n-8这也就是要证，ε>0，N>0，n>N,7b,-b<8.bb,bb这里只估计b，的下界即可数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ (3) , 1 n n n n b a b a ಴Ў ⬅(2), . lim 1 1 lim n n n n b b of of া㽕䆕ᯢ ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ 䖭гህᰃ㽕䆕ˈH ! 0,  N ! 0,  n N ! , 1 1 n n n b b b b bb    H . 䖭䞠াԄ䅵 bn ⱘϟ⬠ेৃ.

S2收敛数列的性质limb.=b,由于 b≠0,因为证(3)n-3N,>0，当n>N,时,据保号性，[b]Ibn / >2当 n>N,时,V>0,E N, >0,2bh8,2数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ⬅Ѣ b z 0, ᥂ֱোᗻ, 1  N ! 0, | | || . 2 n b b ! 2 ᔧ n N ! ᯊ, , 2 2 H b b b n   䆕 (3) ಴Ў lim , n n b b of H ! 0, 1 ᔧ ᯊ n N ! , 2  N ! 0,

四则运算S2收敛数列的性质追敛性数列子列取 N=maxi N,N2}，当n>N,28bb.bbblim a,1Yn→0所以lim即 Jimblim b.bnbnn0nn-8012b8.Ib,I[b ]2数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ প N NN max{ , }, 1 2 1 1 n n n b b b b bb   े 1 1 lim . n n of b b lim lim . lim n n n n n n n a a b b of o f o f ᠔ҹ 2 2 . n b b b   H 2 2 n b b b   1 2 , | | || n b b   Hˈ ᔧ n N ! ˈ ૧ݠ㓬 ֚ө଍঑ ݤӦ׾Ӧ

四则运算2收敛数列的性质追敛性数列子列例1用四则运算法则计算amn" +am-n"-I +...+a,n + aolimbk-ink-1 +...+ b,n+ bob,nk+bn→00其中 m≤k, ambk±0.1解依据lim=0 (α>0),分别得出:n0(1)当 m=k时，有amn"...+a,n+ao+alimInk-1 +...+b,n+ boi.nk-n-→2.数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ՟1 ⫼ಯ߭䖤ㅫ⊩߭䅵ㅫ 1 1 10 1 1 10 lim , m m m m k k n k k a n a n an a bn b n bn b   o  f          1 1 , 0. ݊Ё m k ab d m k z (1) ᔧ m=k ᯊ, ᳝   1 lim 0 0 , n nD D o f 㾷 ձ᥂ ! ߿ߚᕫߎ: 1 1 10 1 1 10 lim m m m m k k n k k a n a n an a bn b n bn b   o  f          1 1 ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ

四则运算S2收敛数列的性质追敛性数列子列111am+a.0m-1mmmannnm= lim111bn>00b+ bmm-1mmmnn(2)当m<k时, 有amn" +am-jnm-1+...+a,n+aolim=0.bink + bk-ink-1 +... + b,n+ bon-→所以mm=k,b.原式 =mm<k0,数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ m m m m m m m m n n b n b n b b n a n a n a a 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 0 1 1 1 0             of   . m m b a (2) ᔧ m < k ᯊ, ᳝ 1 10 1 1 10 1 1 11 1 lim lim 1 11 m m m m k m n n k k k k aa a a n n n n bb b b n n n   o  f of           1 1 0 0. k m b a 1 1 10 1 1 10 lim m m m m k k n k k a n a n an a bn b n bn b   o  f          1 1 =0, ㆁḦ ­ ° ® °  ¯ , 0, . m m a m k b m k ˈ ॳᓣ ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ

四则运算52收敛数列的性质追敛性数列子列例2 设 an≥0, liman=a, 求证 lim Van=Va.nn-证由于a.≥0，根据极限的保不等式性，有 a≥0.对于任意ε>0,N,当n>N时,lan-l0 时, 有02-I Van -Val=VaVan +VaLa故limyan=Va得证.数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ՟2 0, lim , n n n a aa o f 䆒 t lim . n n a a o f ∖䆕 䆕 0, n ⬅Ѣa t ḍ᥂ᵕ䰤ⱘֱϡㄝᓣᗻ, (1) 0 , a ᯊ ᳝ | 0| n n a a  (2) 0 , a ! ᯊ ᳝ | | | | n n n a a a a a a    lim . n n a a of ᬙ ᕫ䆕 N, Ѣ ᰃৃᕫ ᇍѢӏᛣH ! 0, 2 | |. n a a   H ᳝ a t 0 . ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ  H ; ᔧ n N ! ᯊ, | | n a a a  d . a H d