中国矿业大学：《数值计算方法》课程教学课件（讲稿）第6章 数值积分与数值微分

中国矿亚大医CHINAUNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGYCH6数值积分与数值微分81数值积分有关的基本概念82牛顿---柯特斯公式83龙贝格求积法84高斯求积公式S5数值微分

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY §2 牛顿-柯特斯公式 §3 龙贝格求积法 CH6 数值积分与数值微分 §1 数值积分有关的基本概念 §4 高斯求积公式 §5 数值微分

中国矿亚大整CHINAUNIVERSITY OFMININGANDTECHNOLOGY+一个实际问题为了计算瑞士国土的面积，首先对地图作了如下测量：以西向东方向为x轴，由南向北方向为v轴，选择方便的原点并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为若干段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标，数据如表（单位mm）：7.010.513.017.534.040.544.548.056.0x304445475050383034y1y27072445993100110110110x61.068.576.580.591.096.0101.0104.0106.5363441454643373328y1y2117118116118118121124121121111.5118.0123.5136.5142.0146.0150.0157.0158.0x545250663265556668y1y2121122116838182868568

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY -2- 为了计算瑞士国土的面积 ,首先对地图作了如下测量: 以西向东方向为 x 轴 ,由南向北方向为 y 轴 ,选择方便的原点 , 并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为 若干段 ,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y 坐标 ,数据如表 (单位mm): x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68 一个实际问题

中国矿亚大鉴CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY瑞士地图的外形如图（比例尺18mm：40km）140120100+80604020204060801001201401600试由测量数据计算瑞士国土的近似面积，并与其精确值41288平方公里比较

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 0 20 40 60 80 100 120 140 160 20 40 60 80 100 120 140 瑞士地图的外形如图 (比例尺18mm:40km) 试由测量数据计算瑞士国土的近似面积 ,并与其精确值 41288平方公里比较

中国矿亚天整CHINAUNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY81数值积分的基本概念一、数值积分的必要性I(f)=J"f(x)dx对于积分如果知道f(x)的原函数F(x),则由Newton一Leibniz公式有["f(x)dx = F(x) = F(b)- F(a)但是在工程技术和科学研究中，常会见到以下现象：(1)f(x)的解析式根本不存在,只给出了f(x)的一些数值(2）f(x)的原函数F(x)求不出来,如F(x)不是初等函数

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY §1 数值积分的基本概念 ∫ = b a 对于积分 I ( f ) f ( x )dx 如果知道f ( x )的原函数 F ( x),则由Newton − Leibniz公式有 ∫ b a f ( x )dx F ( x ) F ( b ) F ( a ) b a = = − 但是在工程技术和科学研究中 ,常会见到以下现象: ( 1 ) f ( x )的解析式根本不存在 ,只给出了f ( x )的一些数值 ( 2 ) f ( x )的原函数 F ( x )求不出来 , 如 F ( x )不是初等函数 一、数值积分的必要性

中国矿大业CHINA UNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGYdx例如Dsin xInx(3)f(x)的表达式结构复杂,求原函数较困难x? + /2x+1例如logx2V2x+1x+arctgctg2-x2+x21

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 1 , sin ln x dx dx x x 例如 ∫ ∫ 2 0 4 2 1 1 21 log 1 42 2 1 x x x dt t x x + + = + − + ∫ 1 ( ) 22 2 2 x x arctg arctg x x + + − + ( 3 ) f ( x )的表达式结构复杂 ,求原函数较困难 例如

中国矿基天整CHINA UNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGY几何意义基本思想J=(x)yt设f(x)eC[a,b]，则由积分中值定理(5)I(f)= f' f(x)dx=(b-a)f() e[a,b]即：曲边梯形的面积等于0abX底为b-a,高为f(）的矩形面积f()--曲边梯形在[a,b的平均高度。1.梯形公式几何意义J=(x)10)- ~' (x)dt ~ [(a) (b)l(b-a)yA(()22.矩形公式中: I =f' f(x)dx ~ f(°+b))(b-a)2f(a)左: I=[" f(x)dx ~ f(a)(b-a)0a+bab4右: I='f(x)dx ~ f(b)(b-a)2

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 设 ，则由积分中值定理 f x Cab () [,] ∈ 二 基本思想 ( ) () b a I f f x dx = ∫ =− ∈ ( ) () [,] b a f ξ ξ a b f ( ) ξ ξ ba f − , () ξ 即：曲边梯形的面积等于 底为 高为 的矩形面积 f ab () [,] ξ -曲边梯形在 的平均高度。 1. 梯形公式 ( ) () b a I f f x dx = ∫ ( ) b a I = f x dx 中： ∫ 2. 矩形公式 ( ) b a I = f x dx 左： ∫ ( ) b a I = f x dx 右： ∫ ≈ fb b a ( )( ) − ≈ fa b a ( )( ) − ( )( ) 2 a b f ba + ≈ − [ ( ) ( )]( ) 2 fa fb b a + ≈ − f ( ) a f ( ) b ( ) 2 a b f + 2 a b + f ( ) a f ( ) b

中国矿亚天整CHINAUNIVERSITYOF MININGAND TECHNOLOGY3推广: 1(J)=" F(x)dx=limZ(5)Ax, 其中=maxAx,5t e[x-1x ].0SkSn.. I()=J" (x)dx~ZAxF(x)≤1.其中，X：求积节点；A：求积系数，仅与(x)有关，与f(x)无关。求积余项：R,=I()-I,=['f(x)dx-Af(x)方法误差dx的近似值。如，求I()=111f(0)+ f(1)I()=必方法1：0.75dr2o1+xf(0) + 4 f(0.5) + f (1)图方法2：I(f)=0.78333...dx6o1+xdx= arctanxl,="精确值：I()==0.78539815..0

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY { } () k k k x A x fx 其中, ：求积节点； ：求积系数，仅与 有关，与 无关。 3 推广 1 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) max , [ , ]. n b k k kk k k a k n k I f f x dx f x x x x λ ξ λξ − → ≤ ≤ = ∵ = = Δ =Δ ∈ ∫ ∑ ，其中 0 ( ) () ( ) n b k k a k n I f f x dx A f x I = ∴ = ≈ ∫ ∑  ( ) R n n 求积余项： = If I − 0 () ( ) n b k k a k f x dx A f x = = − ∫ ∑ 1 2 0 1 ( ) 1 I f dx x = + 如，求 的近似值。 ∫ 方法 ： " 1 方法2： " 1 2 0 1 (0) 4 (0.5) (1) ( ) 0.78333. 1 6 ff f I f dx x + + =≈ = + ∫ 1 2 0 1 (0) (1) ( ) 0.75 1 2 f f I f dx x + =≈ = + ∫ 1 1 2 0 0 1 ( ) arctan 0.78539815. 1 4 I f dx x x π = = == + ∫ " 精确值： 方法误差

中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY三、代数精度如何衡量一个求积公式的好坏？1.定义：若某个求积公式对所有次数<m的多项式都精确成立，而至少对一个m+1次多项式不精确成立则称该公式具有m次代数精度2.定理1：一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是该公式对x(k=0,1,,m)精确成立，而对xm+1不精确成立

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 三、代数精度 如何衡量一个求积公式的好坏？ ⒈ 定义：若某个求积公式对所有次数 ≤ m的多项式都 精确成立，而至少对一个 m+1次多项式不精确成立， 则称该公式具有 m次代数精度 。 ⒉ 定理 1：一个求积公式具有 m次代数精度的充分必要 条件是该公式对 精确成立，而对 不精确成立。 ( 0,1, , ) k xk m = " m 1 x +

中国矿亚大医CHINA UNIVERSITY OF MININGANDTECHNOLOGY例1验证矩形公式a+bI ~(b-a)f(的代数精度为多少？2解：1)f(x)=l:左=「ldx=b-α=右2) f(x)=x:左= xdx==(b2 -α')2a+b左=右右=(b-a)-23) f(x)=x2 : 左= [x2dx=_(b3 -a)3a+b左+右右=(b-a2所以代数精度为1

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例1 验证矩形公式 ( )( ) 2 a b I b af + ≈ − 的代数精度为多少？ 解： 所以代数精度为 1

中国矿基大CHINAUNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGY例2试确定系数，使I~A,f(a)+Af(b)的代数精度尽量高。解：令公式分别对f(x)=1,x时精确成立，则有b-a=A+A,[1(b - a") = Aa + A,b解之得： A=A,=_(b-α)此公式为 I~-(b-a)(f(a)+ f(b)2所以至少具有1次代数精度

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 解： 例2 试确定系数，使 1 2 I Af a Af b ≈ + () ()的代数精度尽量高。 所以至少具有 1次代数精度。 此公式为 令公式分别对f (x)=1, x时精确成立，则有