中国矿业大学：《数值计算方法》课程教学课件（讲稿）第4章 插值法 Interpolation

中国矿亚大医CHINAUNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGYCH4插值法/*Interpolation*/s1拉格朗日插值S2牛顿插值公式83埃尔米特插值84分段多项式插值85三次样条插值

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY §2 牛顿插值公式 §3 埃尔米特插值 CH4 插值法 /* Interpolation */ §1 拉格朗日插值 §4 分段多项式插值 §5 三次样条插值

中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY口研究函数插值的必要性实际问题中遇到的函数一般具有确定的函数关系，但其解析表达式可能：（1）未知，但可以测得一些关键点处的函数值（2）已知，但表达式复杂不实用，常常需用一个简单的解析表达式来近似代替它。口具体要求（1）在某个范围内能和原函数充分接近，有较好的近似效果。（2）具有一定的光滑性。（3）表达式简单易用，比如：多项式，有理分式，三角函数中的正弦与余弦函数等等。口举例：Hooker定律

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY ‡ 研究函数插值的必要性 实际问题中遇到的函数一般具有确定的函数关系， 但其解析表达式可能: （ 1）未知，但可以测得一些关键点处的函数值。 （ 2）已知，但表达式复杂不实用，常常需用一个简单 的解析表达式来近似代替它。 ‡ 具体要求 （ 1）在某个范围内能和原函数充分接近，有较好的近似效果。 （ 2）具有一定的光滑性。 （ 3）表达式简单易用，比如：多项式，有理分式，三角函数 中的正弦与余弦函数等等。 ‡ 举例： Hooker定律

中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY本章应用题：Hooker定律弹簧在力F的作用下伸长x，一定范围内服从Hooker定律：F与成正比,即F=kx,k为弹性系数,现在得到下面组x,F数据(如表),并在(x,F)坐标下作图(如图).可以看出，当F达到一定数值后，就不服从Hooker定律.试由数据确定k，并给出不服从Hooker定律时的近似公式179*24.7121315x(cm)11.5*3.920.621.1.6.611.7.15.618.819.6F(kg)212186O101416伸长x

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 力 F 伸 长 x 本章应用题: Hooker定律 弹簧在力 F的作用下伸长 x ,一定范围内服从Hooker定律： F 与 x成正比 , 即 F = kx , k为弹性系数 ,现在得到下面一组 x , F数据 (如表),并在 ( x , F )坐标下作图 (如图).可以看出， 当 F达到一定数值后 ,就不服从Hooker定律.试由数据确 定 k ,并给出不服从Hooker定律时的近似公式. ( ) 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1 ( ) 1 2 4 7 9 12 13 15 17 F kg x cm

中国矿亚天整CHINA UNIVERSITY OFMININGANDTECHNOLOGY当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点xo.….x,处测得函数值yo=f(xo)，yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) ~ f(x)，满足条件g(x)=f(x)(i=0,.n)。这里的g(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是多项式g(x)~f(x)xXoXiX2X3X4

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一 系列节点 x0 . x n 处测得函数值 y 0 = f(x 0), . y n = f(x n )，由此构造一个简单易算的近似函 数 g (x ) ≈ f(x )，满足条件g (x i) = f(x i) ( i = 0, . n )。这里的 g (x ) 称为f(x) 的插值函数。最常 用的插值函数是 .? 多项式 x 0 x1 x 2 x x 3 x 4 g (x ) ≈ f(x )

中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY补充知识根据线性空间的理论：所有次数不超过n的多项式构成的线性空间是n+1维的，这个n+1维线性空间的基底也由n+1个多项式组成，且形式不是唯一的，而任意一个n次多项式可由基底线性表示，且在不同的基底下有不同的形式

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 补充知识 根据线性空间的理论： 所有次数不超过 n的多项式构成的线性空间是 n+1 维 的，这个 n+1维线性空间的基底也由 n+1个多项式 组成，且形式不是唯一的，而任意一个 n次多项式可 由基底线性表示，且在不同的基底下有不同的形式

中国矿大业CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY设(x),p(x),,,(x)为上述n+1维线性空间的一个基底显然P(x),P1(x),.,P,(x)线性无关且任意n次多项式P,(x)可由(x),P1(x),.,,(x)线性表示P,(x)= aopo(x)+aipi(x) +...+a,p,(x)如果P(x)为某个函数f(x)的插值函数则称po(x),P(x),.,P,(x)为插值基函数

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 且任意 n次多项式 Pn ( x )可由 ϕ0 ( x), ϕ1 ( x), " , ϕn ( x )线性表示 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 P x a x a x a x n = ϕ + ϕ + " + nϕ n 如果 Pn ( x )为某个函数f ( x )的插值函数 则称 ϕ0 ( x), ϕ1 ( x), " , ϕn ( x )为插值基函数 设 ϕ0 ( x), ϕ1 ( x), " , ϕn ( x )为上述 n + 1维线性空间的一个基底 显然 ϕ0 ( x), ϕ1 ( x), " , ϕn ( x )线性无关

中国矿亚大业CHINAUNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGY$1拉格朗日多项式/*LagrangePolynomial*/求n次多项式P,(x)=a.+ax+..+anx"使得Pn(x)=yi,i=0,..,n条件：无重合节点，即ix≠x使得n=称为拉氏基函数/*LagrangeBasis*/，满足条件(x)=0/*KroneckerDelta*/V两点的直线。可见网定P(x)= yo + r yo(x- xo)Xi-Xox-xoX?2i(x)yiyo+Ji=Xi-XoXo-xi=01(x)1;(x)

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY §1 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */ Pn ( xi ) = yi , i = 0, . , n 求 n 次多项式 使得 n Pn ( x ) = a 0 + a 1 x + " + a n x 条件：无重合节点，即 i j i ≠ j x ≠ x n = 1 已知 x 0 , x 1 ; y0 , y1 ，求 P x a a x 1 0 1 ( ) = + 使得 1 0 0 1 1 1 P ( x ) = y , P ( x ) = y 可见 P 1 (x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x 1, y1 ) 两点的直线。 ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 x x x x y y P x y - - - = + 0 1 1 x x x x - - 1 0 0 x x x x - - = y 0 + y 1 l0 (x ) l 1 (x ) 称为拉氏基函数 /* Lagrange Basis */ ， 满足条件 li (xj)= δij /* Kronecker Delta */ 1 0 ( ) i i i l x y = = ∑

中国矿亚大警CHINAUNIVERSITY OFMININGANDTECHNOLOGY希望找到(x)，i=0,…,n使得1(x)=j；然后令n≥1P,(x)=E 1(x) yi ，则显然有P,(x)=y; 。i=0每1(x)与节点有关，而与无关LagrangePolynomialIl;(x;)=1+++(xi - x)(x-x,)1,(x)-1Z1(x)y,P,(x) = 1(x, -x,)20i=0

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 0 11 ( ) ( )( ) ( ) ii i i n l Cx x x x x x x x =− − − − " " − + n ≥ 1 希望找到 li (x ) ，i = 0, ., n 使得 li (xj)= δij ；然后令 Σ= = n i n i i P x l x y 0 ( ) ( ) ，则显然有 Pn (xi) = yi 。 li (x ) 每个 li 有 n 个根 Π - = = j ≠ i i j i i i x x l x C ( ) 1 ( ) 1 ∏ = ≠ − − = n j j i i j j i x x x x l x 0 ( ) ( ) ( ) 0 () () n n ii i P x l xy = = ∑ 0 11 , , , ii n x xx x " " − + 0 ( ) n i j j i j C xx ≠ = = − ∏ Lagrange Polynomial 与 有关，而与 无关 节点 f

中国矿天华CHINA UNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY定理(唯一性)满足P(x,)=yi，i=0,…,n的 n阶插值多项式是唯一存在的。证明：书72页用Vandermonde行列式证明反证：若不唯一，则除了P,(x)外还有另一n阶多项式L,(x)满足Ln(x)=;。考察 Q,(x)= P,(x)-L,(x),则 ,的阶数≤n而Q.有n+1)个不同的根xo….x注：若不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一。例如 L(x)=P,(x)+p(x)I(x-x）也是一个插值多项式，其中p(x)可以是任意多项式

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 定 理 (唯一性) 满足 的 n 阶插值多 项式是唯一存在的。 P ( xi ) = yi , i = 0, . , n 证明： 书72页 用Vandermonde行列式证明 反证：若不唯一，则除了 Pn (x) 外还有另一 n 阶多项 式 L n (x) 满足 L n (xi) = yi 。 考察 则 Qn ( x ) = Pn ( x ) − Ln ( x ) , Q n 的阶数 ≤ n 而 Qn 有 个不同的根 n + 1 x 0 . xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 也是一个插值 多项式，其中 可以是任意多项式。 0 () () () ( ) n n i i Lx P x px x x = =+ − ∏ p ( x )

中国矿亚大医CHINA UNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGY常用的低阶公式(1）当n=1时，即已知两点xoXixylyoyi则Lagrange线性插值多项式为P(x) = yol.(x)+ yl(x)x-xx-Xo即P(x)= yo+yXoX,-xo-X

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 则Lagrange线性插值多项式 为 即 (1) 当 n=1时，即已知两点 1 00 11 P x() () () = y l x + y l x 常用的低阶公式