高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）14 第二章 数列极限 s04数列的性质2（下）

S2收敛数列的性质第四讲数列的性质2数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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四则运算52收敛数列的性质迫敛性数列子列lim an =a>0, 求证 lim "an =1.例3设a,≥0,n8证因为 lim a=a>(0，据极限的保号性，存在Nn-→0a3a有即当 n>N时,an22Y13aa10n2213aa又因为lim所以由极限的迫22n-→8n-敛性，证得lim"an=1。n-数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ՟3 0, lim 0, lim 1 . n nn n n n a aa a o f o f 䆒 t ! ∖䆕 䆕 lim 0 , n n a a of ಴Ў ! ᥂ᵕ䰤ⱘֱোᗻ, ᔧ n>N ᯊ, 3 , 2 2 n a a ᳝  a  े 3 . 2 2 n n n n a a  a  ᠔ҹ⬅ᵕ䰤ⱘ䖿 lim 1 . n n n a o f ᬯᗻ, 䆕ᕫ ᄬ೼N, জ಴Ў 3 lim lim 1 , 2 2 n n n n a a of of ଘۅݿ֙ Ө૜ॠ ރӧ׿ӧ

四则运算追敛性52收敛数列的性质数列子列例4求极限 lim(a±-1)n→1+ a解(1)la|1，因 lim(1/a")=0，故得n0011limlimann-→ 1 + an1+ lim(1/a")n-→0 1+1n→0数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ՟4 lim ( 1). 1 n n n a a of a z   ∖ᵕ䰤 㾷 (1) | | 1 , a  lim 0, n n a o f ಴Ў ᠔ҹ⬅ᵕ䰤ಯ߭ 䖤ㅫ⊩߭, (2) 1, a 1 1 lim lim . 1 2 2 n n n n a o f a o f  (3) | | 1, a ! lim(1 ) 0 , n n a o f ಴ ᬙᕫ lim 1 n n n a of  a lim lim 0 . 1 1 lim n n n n n n n a a a a o f o f o f   ᕫ 1 lim 1 1 n nof a  1 1 . 1 lim(1 ) n n a of  ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ

追敛性四则运算2收敛数列的性质数列子列例5设ai,a2，，am为m个正数,证明lim a"+a," .+a." -max a, a2. am..n-证设 a=max{a, a2,",am了.由a≤" a"+a,"+...+am" <"ma,与lim "ma= lima = a,n-→00n-→以及极限的迫敛性，得Ylim a" +a," +...+am=a=maxfaj,a2,.,ammn8数学分析第二章数列极限I高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ՟5 1 2 , m 䆒 aa a Ў m Ͼℷ᭄, 䆕ᯢ 1 2 12 lim max { , , , } . n nn n m m n a a a aa a of    n 1 2 m 1 2 , n nn n n m a a a a ma d    d n m 䆕 max { , , , } . 1 2 m 䆒 a aa a ⬅ lim lim , n n n ma a a of of ҹঞᵕ䰤ⱘ䖿ᬯᗻ, 1 2 12 lim max { , , , } . n nn n m m n a a a a aa a of    n 1 2 m Ϣ ᕫ ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ

四则运算追敛性s2收敛数列的性质数列子列定义1设(a,}为数列，(n为N,的无限子集,且n<n<...<nk <...则数列an,ann称为(a,)的子列，简记为(an).注由定义,{a,}的子列an}的各项均选自{an,且保持这些项在{a,}中的先后次序.{an}中的第k项是(a,}中的第n项，故总有nk≥k例如{a2n),(a2n-1}均是{an}的子列.数学分析 第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ؓТ {} , n 䆒 a Ў᭄߫ 1 2 , nn n  k ᭄߭߫ 1 2 , , , nn nk aa an {} , n ⿄Ў a ⱘᄤ߫ ⊼ , { } { } { }, nn n k ⬅ᅮН aa a ⱘᄤ߫ ⱘ৘乍ഛ䗝㞾 { }n Ϩֱᣕ䖭ѯ乍೼ a Ёⱘܜ⃵ৢᑣ {} , n k ka n 乍ᰃ Ёⱘ㄀ 乍 { } nk a Ёⱘ㄀ + {}N , nk Ў ⱘ᮴䰤ᄤ䲚 Ϩ { }. nk ㅔ䆄Ў a . ᬙᘏ᳝ n k k t ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ 2 21 { },{ } { } nn n aa a ഛᰃ ⱘᄤ߫ ՟བ 

四则运算52收敛数列的性质追敛性数列子列定理2.8数列a收敛的充要条件是a的任意子列(an}都收敛(且相等)。因为a，也是本身的一个子列，所以证（充分性）充分性显然成立（必要性）设lima,=a．则Vε>0，N,当n>N时,an-aN时,n≥k>N,也有am-α<ε.这就证明了lima, =a.k8注由定理2.8可知，若一个数列的两个子列收敛于不同的值，则此数列必发散数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ࣂؓ {} {} n n ᭄߫ a a ᬊᬯⱘܙ㽕ᴵӊᰃ ⱘӏᛣᄤ߫ { } nk a 䛑ᬊᬯ ˄ᖙ㽕ᗻ˅ a a n  <H , , k ᬙkN n kN ! t! ᯊ lim . nk k a a of ⊼⬅ᅮ⧚ 2.8 ৃⶹ Ѣϡৠⱘؐ 䆕˄ߚܙᗻ˅ ߚܙᗻᰒ✊៤ゟ { } {} . n n k 䆒 a a ᰃ ⱘӏᛣϔϾᄤ߫ , ಴ n k k t г᳝ a a nk   H .䖭ህ䆕ᯢњ ߭  ! H 0, ^ `n ಴Ў a гᰃᴀ䑿ⱘϔϾᄤ߫ˈ᠔ҹ lim . n n 䆒 a a o f  ! N nN , ,ᔧ ᯊ 㢹ϔϾ᭄߫ⱘϸϾᄤ߫ᬊᬯ ߭ℸ᭄߫ᖙথᬷ ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ   ϨⳌㄝ .

追敛性四则运算52收敛数列的性质数列子列例6证明lima.=a的充要条件是 lima2n-1 = lim a2n = a.0证（必要性)设 lima,=a，则V>0，N,n>N时,Ia, -aN,2n-1≥N,所以Ia2n-1-a0,3K,kk>o当k>K时,la2k-1a|N时，有lan-al<ε,所以 lima,=a.n00数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ՟6 lim n n 䆕ᯢ a aⱘܙ㽕ᴵӊᰃ of lim lim . a2 1 a2n a n n n of  of 䆕ᖙ㽕ᗻ lim n n 䆒 a aˈ of | a  a | H . n ಴Ў2n ! N,2n 1 t N,᠔ҹ | a2n-1  a | Hˈ| | . 2 a  a  H n ᗻߚܙ ( ) ߭  ! H 0, ᔧk K! ᯊˈ 2 1 k- |a a|   Hˈ 2k |a a| .   H Ҹ 2, N K | |, n ᳝ a a   H lim . n n a a o f ᠔ҹ ߭!  H 0, , K  ! Nn N , , ᯊ 21 2 lim lim , k k k k 䆒 a aa  of of ᔧ n N ! ᯊ ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ

四则运算2收敛数列的性质追敛性数列子列例7 若a,=(-1)"(1--).证明数列(a,) 发散,n证显然lim a2k-1 = lim-2k-1k>00k>00lima2klimc二2kk->00k-→00因此，数列(a发散数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ՟7 1 ( 1) (1 ). { } . n n n a a n 㢹   䆕ᯢ᭄߫ থᬷ 䆕ᰒ✊ 2 1 lim lim(1 ) 1. 2 k k k a of of k  ಴ℸ {} . n ᭄߫ a থᬷ 2 1 1 lim lim (1 ) 1; 2 1 k k k a k  of of     ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ