高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）36 第四章 函数的连续性 s03连续函数的局部性质

第四章数学分析S2连续函数的性质函数的连续性一、连续函数的局部性质在本节中，我们将介绍连续函数的局部二、闭区间上连续函数的性质与整体性质.熟练基本性质地掌握和运用这些性三、反函数的连续性质是具有分析修养的四、一致连续性重要标志。*点击以上标题可直接前往对应内容

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质第三讲连续函数的局部性质数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部反函数的闭区间上连续函数的52连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质续函数的局部性质所谓连续函数局部性质就是指：若函数f在点x。连续(左连续或右连续)，则可推知f在点x.的某个局部邻域（左邻域或右邻域)内具有有界性、保号性、四则运算的保连续性等性质数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质定理4.2（局部有界性）若函数f在点x连续，则f在某邻域U(x)上有界证 因为f在x,连续，所以对ε=1,存在S>0，当[x-xl0”，这样可求得1f(x)|一个明确的上界数学分析第四章区函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质定理4.3（局部保号性）若函数f在点x连续,且f(x)>0(或 f(x)0,当x(x-S,x+)时,f(x)>r (或f(x)0, 当 x(x-S,x+)时,有I f(x)-f(x)/r>0.数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质注在具体应用保号性时,我们经常取r=().2定理4.4（连续函数的四则运算）若函数f(x),g(x)均在点x,连续,则函数(1) f(x)+g(x), (2) f(x)-g(x)(3)f(x)·g(x),(4) f(x)/ g(x), g(x)±0在点x，也是连续的定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得到具体过程请读者自行给出数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质我们知道，常函数y=c与线性函数y=x都是R上的连续函数，故由四则运算性质，易知多项式函数P(x)=a +a,x+...+a,x"也是连续函数，下面这个定理刻画了连续这个性质在复合运算下是不变的。定理4.5若函数f(x)在点x连续，g(u)在点 u,连续uo=f(xo).则复合函数g(f(x)在点x连续数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质证 由于g(u)在点 u,连续，因此对于任意的 ε>0,存在>0,当u-u|0,存在>0，当x-x|<时，有I f(x)-f(x)/=lu-u l<S于是g(f(x)-g(f(x )/=lg(u)-g(u)/<8这就证明了g(f(x))在点x连续数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质对这个定理我们再作一些讨论，以加深大家对该定理的认识(1) 由limg(u)= A,lim f(x)= uo， 不一定有u-→>uox-→xolim g(f(x)) = A.x→xo请大家仔细观察定理4.5的证明，看看此时究竟哪里通不过数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质(2)若g(u)在u,连续，lim f(x)=uo,则有lim g(f(x)) = g(uo) = g(lim f(x))(*)x→xxx事实上，只要补充定义(或者重新定义)f(x）=uo使得f(x)在点x连续．应用定理4.5，就得到所需要的结论.若将lim f(x)=u,改为-xlim f(x)= uo , limf(x)=u。 或 lim f(x)= uo ,x→+00x->00（*）式相应的结论仍旧是成立的上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢？请读者作出进一步的讨论数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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