高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）28 第三章函数极限 s08无穷小量的概念

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第三章数学分析S5无穷大量与无穷小量函数极限由于limf(x）=A等一、无穷小量x-→xe同于lim[f(x)-A|=0，因此函X-→Xo二、无穷小量阶的比较数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是相同的·所以有三、无穷大量人把“数学分析”也称为四、渐近线“无穷小分析”*点击以上标题可直接前往对应内容

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无穷小量无穷小量渐近线S5无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较第八讲无穷小量的概念数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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无穷小量渐近线s5无穷大量与无穷小量无穷小量无穷大量阶的比较无穷小量定义1设f在点x的某邻域Ux)内有定义，若 lim f(x)=0,则称f 为x→xo时的无穷小量。x -→xo若f在点x.的某个空心邻域内有界，则称f为x→x时的有界量类似地可以分别定义f为x→x, x→x, x→0, x→+0, x→-00时的无穷小量和有界量数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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无穷小量渐近线无穷小量无穷大量s5无穷大量与无穷小量阶的比较例如：x-1为x→1时的无穷小量：/1-x2为x→1-时的无穷小量；sin×为 x→80 时的无穷小量;xsinx为x→8时的有界量显然，无穷小量是有界量．而有界量不一定是无穷小量。对于无穷小量与有界量，有如下关系：数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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无穷小量近线无穷大量S5无穷大量与无穷小量无穷小量阶的比较1.两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是无穷小量。2.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量性质1可由极限的四则运算性质直接得到下面对性质2加以证明对于任意设 lim f(x)=0, Ig(x)|≤ M,x eU°(x).的 ε>0，因lim f(x)=0，所以存在>0,使得当x→x8从而0<lx-xl<8时,f(x)1<M +1I f(x)g(x) k 8.这就证明了f(x)g(x)是x→x,时的无穷小量。数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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无穷小量渐近线无穷小量无穷大量S5无穷大量与无穷小量阶的比较例如：x为x→0时的无穷小量，sin=为x→0时x的有界量，那么xsin一为x→0时的无穷小量,从几何上看，曲线y=xsin二在x=0近旁发生无X限密集的振动，其振幅被两条直线y=土x所限制y0.1y=xy=xsin0.05xx0.1-0.105C-0.05y=--0.1数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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无穷小量渐近线无穷小量无穷大量S5无穷大量与无穷小量阶的比较应当注意，下面运算的写法是错误的：= lim x. lim sin= = 0.lim x sin =x-→0x-0x-→0xx数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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