高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）25 第三章 函数极限 s07两个重要的函数极限

第三章数学分析s4两个重要的极限函数极限sinx一,lim在本节，我们x-0x将讨论两个重要的二、lim极限.-00*点击以上标题可直接前往对应内容

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s4两个重要的极限第七讲两个重要的函数极限数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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sinxlim=154两个重要的极限X-0sinx命题1lim1xx-→0元证 因为sinx<x<tanx所以2 1x(1)1<sinxcosx不等式中的三个表达式均是偶函数，故当0<|x<时，(1)式仍成立,21x所以 lim因为 lim 1=lim:1.x-0 sin xx-→0x-0 cosxsinx即 lim:1.xx-→0数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hГЖଜੌ߃ࣩୡ 0 sin lim 1 x x o x 1 lim 1 e x xof x § · ¨  ¸ © ¹ . (1) cos 1 sin 1 x x x   ϡㄝᓣЁⱘϝϾ㸼䖒ᓣഛᰃߑي᭄, 䆕 π sin tan 0 , 2 xx x x § ·   ¨   ¸ © ¹ ಴Ў ᠔ҹ ੑ乬 π 0|| 2  x  ᯊ 0 sin lim 1 x x o x 0 sin lim 1 x x o x ᬙᔧ 0 sin lim 1 x x o x 0 0 1 lim1=lim 1 x x o o cos x ಴Ў ˈ 0 lim 1 x sin x o x ᠔ҹ 0 sin lim 1. x x o x े 1ᓣҡ៤ゟ

sinxlim=1S4两个重要的极限iXX→0sinx例1 求limX→元×一元解 令 t=x-元， 则sinx=sin(t+元)=-sint,所以sinxsintlimlimtt→0X-→元×一元数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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sinxJim-154两个重要的极限limXx→0arctanx例2 求 limxx-0解令t=arctanx, x=tant, 则ttarctanxlimlimlimcost = 1.limx→0t-→>0t→0t-→0sintxtant1-cosx例3 求 limx-0.2xX2sinsin11-cosx22解 limlimlim3x22x-→0x-→0x-→02数学分析 第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hГЖଜੌ߃ࣩୡ 0 sin lim 1 x x o x 1 lim 1 e x xof x § · ¨  ¸ © ¹ ՟2 . arctan lim 0 x x xo ∖ x x x arctan lim o0 㾷 Ҹ t xx t arctan , tan , . 1 cos lim 2 0 x x x  o ՟3 ∖ 㾷 2 2 0 2 2sin lim x x xo . 2 1 2 0 1 cos lim x x x  o 2 0 2 2 sin 2 1 lim ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § o x x x t t t tan lim o0 t t t t t limcos sin lim o0 o0 1. 0 sin lim 1 x x o x ߭

sinxLim54两个重要的极限lim3X命题2 lim1+=exx证我们只需证明：X1=e 和limlim11+1+exx-→+00lxx→-8设两个分段函数分别为：nf(x) =1+n≤x<n+l, n=l,2,...n+1nt1n≤x<n+l, n=l,2,1 +g(x)数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hГЖଜੌ߃ࣩୡ 0 sin lim 1 x x o x 1 lim 1 e x xof x § · ¨  ¸ © ¹ ੑ乬2 e 1 lim 1 ¸ ¹ · ¨ © §  of x x x e . 1 lim 1 ¸ ¹ · ¨ © §  o f x x x ੠ ៥Ӏা䳔䆕ᯢ˖ 1 1 1 12 1 () , , , ; n fx n x n n n § ·  d   ¨ ¸ ©  ¹ Ў߿ߚ᭄ߑ0⁄3ߚ䆒ϸϾ 1 lim 1 e x xof x § · ¨  ¸ © ¹ 1 lim 1 e x xof x § · ¨  ¸ © ¹ 1 1 () , , , . 1 1 12 n gx n x n n n  § ·  d   ¨ ¸ © ¹ 䆕

sinxLimS4两个重要的极限lim显然有f(x)≤/ 1+=≤ g(x), x E[1, + 00) .x因为lim f(x)= limen+1x+00n>8n+1lim g(x)= lim| 1+=e,x-→+nn>8所以由函数极限的迫敛性，得到X(2)lim1+=e.xx-→+00当x0,则数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hГЖଜੌ߃ࣩୡ 0 sin lim 1 x x o x 1 lim 1 e x xof x § · ¨  ¸ © ¹   , 1, 1, 2, ; 1 1 1 ¸ d    ¹ · ¨ © §   n x n n n f x n ᰒ✊᳝    , [1, ) . 1 1 ¸ d   f ¹ · ¨ © § d  g x x x f x x ಴Ў   e, 1 1 lim lim 1 ¸ ¹ · ¨ © §   of of n x n n f x   e, 1 lim lim 1 1 ¸ ¹ · ¨ © §   of of n x n n g x 1 lim 1 e x xof x § · ¨  ¸ © ¹ ᠔ҹ⬅ߑ᭄ᵕ䰤ⱘ䖿ᬯᗻˈᕫࠄ e. 2 1 lim 1 ¸ ¹ · ¨ © §  of x x x ᔧ x  0 ᯊ, 䆒 x yy  ! , , 0 ߭

54两个重要的极限limlim(+) -(1-) -{1X因为当x→-80时，J→+8,所以X11+lim1+= lim1+-xy-→+ox→-00这就证明了lim1+xx-→8则x→时,t→0.由此可得注若令t=二，tlim (1+t) =e.(3)→0在实际应用中，公式(2)与(3)具有相同作用数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hГЖଜੌ߃ࣩୡ 0 sin lim 1 x x o x 1 lim 1 e x xof x § · ¨  ¸ © ¹ e . 1 lim 1 ¸ ¹ · ¨ © §  of x x x 䖭ህ䆕ᯢњ lim 1  e. (3) 1 0  o t t t ⊼ , 1 x 㢹Ҹ t ⬅ℸৃᕫ ೼ᅲ䰙ᑨ⫼Ёˈ e . 1 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 ¸ ¹ · ¨ © §  ¸  ¹ · ¨ © §  ¸  ¹ · ¨ © §   of x of y y y y x x ߭x o fᯊ,t o 0. 1 lim 1 e x xof x § · ¨  ¸ © ¹ . 1 1 1 1 1 1 1 x y y x y y ¸ ¹ · ¨ © §  ¸  ¹ · ¨ © § ¸  ¹ · ¨ © §   ಴Ўᔧ x o f ᯊˈy o f, ᠔ҹ ݀ᓣ(2)Ϣ(3)݋᳝Ⳍৠ԰⫼.

sinxLimS4两个重要的极限lim1例4 求lim(1+2x)xx-0解由公式(3),lim(1+ 2x) =liml(1+ 2x)2xx→0例5 求lim(1-x)xx-0解 lim(1-x) =limX数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hГЖଜੌ߃ࣩୡ 0 sin lim 1 x x o x 1 lim 1 e x xof x § · ¨  ¸ © ¹ 㾷 ⬅݀ᓣ (3), ՟4 1 0 lim( ) . 1 2 x x x o ∖  1 lim 1 e x xof x § · ¨  ¸ © ¹   1 0 lim 1 2 x x x o    2 1 2 0 =lim 1 2 x x x o ª º  « » ¬ ¼ 2 e . ՟5 1 0 lim(1 ) . x x x o ∖  㾷   1 0 lim 1 x x x o    1 1 0 =lim 1 x x x   o ª º  « » ¬ ¼ 1 e . 

54两个重要的极限Limlim例6 求 limn→0n解因为1+nnnnn-1n-1V2n-1所以由归结原则>0.im8T-n?n-1=e.n>o数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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