中国矿业大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第三章 行列式及其应用

线性代数行列式及其应用第三章行列式及其应用3.1 行列式的定义3.2行列式的性质3.3行列式的应用大China University of Mining and Technology退页页质退出X

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 行列式及其应用 第三章 行列式及其应用 3.1 行列式的定义 3.2 行列式的性质 3.3 行列式的应用

线性代数行列式及其应用学习要点：1.了解行列式的定义及其性质。2.会运用行列式的性质求行列式的值。3.重点掌握行列式在理论推导中的应用，主要有以下三个定理：（1）行列式展式定理；（2）克莱姆法则；（3）行列式乘法定理。?China University of Mining and Technology退页页质后退山主

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 行列式及其应用 学习要点： 1. 了解行列式的定义及其性质。 2. 会运用行列式的性质求行列式的值。 3. 重点掌握行列式在理论推导中的应用，主要有以下三 个定理： （1）行列式展式定理； （2）克莱姆法则； （3）行列式乘法定理

线性代数行列式及其应用3.1 行列式的定义引例3.1用消元法解一元线性方程组ax +ai2x, = ba2ix, +a22x, = b,解第一个方程乘以a22，第二个方程乘以ai2，然后两方程相减得(a,a22 - aiza,)x, = b,a22 -azb,(aia22 -aizaz,1)x, = a,b, -b,a21类似可得当 a,α22-αizα2 0 时,得方程组的解b,a22 -aizb,a,b, - b,a21x=Xarα22 - ai2α21aα22 -a12α2王China University of Mining and Technology上一页页退退主页后出

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 行列式及其应用 3.1 行列式的定义 引例3.1 用消元法解二元线性方程组 . 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1        a x a x b a x a x b 解 第一个方程乘以a22，第二个方程乘以a12，然后两方程 相减得   . 1 1 2 2 1 2 2 1 1 b1 a2 2 a1 2b2 a a a a x   类似可得   . 1 1 2 2 1 2 2 1 2 a1 1b2 b1 a2 1 a a a a x   当 a1 1a2 2 a1 2a2 1  0 时, 得方程组的解 , . 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 a a a a a b b a x a a a a b a a b x      

线性代数行列式及其应用我们引进二阶行列式的概念，即定义atai2= α,α22 - 12α212a21α22那么，方程组的解可整齐地表示为b.b,anai2b,b,a22a21X2x-aniaiai2ai2[a21a22a21a22aana12ai2二阶行列式又称为二阶方阵A=的行列式α21a22[a21α22aα12记作A== aiα22 - αi2α211a22a21XChina University of Mining and Technology上页页退退主页后出个

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 行列式及其应用 , . 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 a a a a a b b a x a a a a b a a b x       我们引进二阶行列式的概念, 即定义 , 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a a a a a   那么, 方程组的解可整齐地表示为 , . 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 a a a a a b a b x a a a a b a b a x   . 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1        a x a x b a x a x b 二阶行列式 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a 又称为二阶方阵        2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a A 的行列式 11 12 21 22 a a A a a 记作  11 22 12 21   a a a a

线性代数行列式及其应用含有三个未知量的线性方程组airx, +a2x, + ar3x, = ba21x +a22x, +a23x, = b,asx +a32x, +as3x, = b,类似地，如果定义三阶行列式airai2ara21a23a22[a1 32α33]=aiα22a3 +ai2α23a31 +a13232-a,a23a32 ai2a2α33 -ai3α22a312米China University of Mining and Technology退页页页后退出主

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 行列式及其应用 类似地，如果定义三阶行列式 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a  a1 1a2 2a3 3  a1 2a2 3a3 1  a1 3a2 1a3 2a1 1a2 3a3 2 a1 2a2 1a3 3 a1 3a2 2a3 1 含有三个未知量的线性方程组 , 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1               a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

线性代数行列式及其应用airx +ai2x, +ai3x, = b,当系数矩阵的行列式a2r +a22x, +a23x, = b,a αi2ar3a21 α22±az3± 0a3ix +a32x, +a33x, = bD=[a31 32 33]时，通过计算可知其解可整齐地表示为[b αi2 α13b[ai baranai2ba2221 b, b,2 α23a21a22a23[b,b,[a31 b, aa3]a32a32a33Xi =XX3ailaiiar312anai2ai3a13ai2a21a23a21a21a22a22α23a22α23[a31a32a31a32a32a33a31a33a335?China University of Mining and Technology上一页一页退退主页后出人

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 行列式及其应用 , 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1               a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 0 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3   a a a a a a a a a D 当系数矩阵的行列式 时，通过计算可知其解可整齐地表示为 1 12 13 11 1 13 11 12 1 2 22 23 21 2 23 21 22 2 3 32 33 31 3 33 31 32 3 1 2 3 11 12 13 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 31 32 33 , , b a a a b a a a b b a a a b a a a b b a a a b a a a b x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a   

线性代数行列式及其应用问题设nxn的线性方程组ax +a2x, +...+a,x, = b,a2ix +a22x, +:..+ a2nx, = b,anx +ax, +...+ax, =b如何定义n阶行列式aiiainα12a21a22a2n：:anlaman2使得方程组的解可整齐地表示为China University of Mining and Technology退页页页退出主后

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 行列式及其应用 问题                    n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 使得方程组的解可整齐地表示为 设n×n的线性方程组 如何定义 n 阶行列式

线性代数行列式及其应用b,baidnnai2ai2b2b,a22a21annα22...:......[b,b.an2[aniOmman2.xixnananiα12ainαji2aina21a2znanna21a22a22......[anian2amanannan2（这里假设分母不为零）China University of Mining and Technology退上一页页退出主页后

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 行列式及其应用 1 12 1 11 12 1 2 22 2 21 22 2 2 1 2 1 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 , , n n n n nn n n n n n n n n n n nn n n nn b a a a a b b a a a a b b a a a a b x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a   （这里假设分母不为零）

线性代数行列式及其应用arαi2ainV11a21a2n0222...a2nα21 α22A一A=anannan2anan2ann2.在A中划掉第i行和第i列元素而剩下的元素按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为（i）元素的余子式，记为M, ,称A,=(-1)iti Mi,为(i,ji)元素的代数余子式。例如a22a21aznazna23α23a3na3na31α33a32a33M12 =Mil =::...anlan3annIn-1an2an3ann In-1A =(-1)+MA, = (-1) +2 M12XChina University of Mining and Technology上一页退退页页后出主卜

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 行列式及其应用              n n n n n n a a a a a a a a a A . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a A . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1  在 中划掉第 i 行和第 j 列元素而剩下的元素按原来相对位置 不变所构成的低一阶的行列式，称为 (i,j) 元素的余子式，记为 Mij ,称Aij = (-1)i+j Mij为 (i,j) 元素的代数余子式。 A M11  M12  1 1 1 1 1 1 A ( 1) M    1 2 1 2 1 2 A ( 1) M    例如 22 23 2 32 33 3 2 3 1 n n n n nn n a a a a a a a a a  21 23 2 31 33 3 1 3 1 n n n n nn n a a a a a a a a a  n n n n n n a a a a a a a a a A . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 

线性代数行列式及其应用n 阶行列式定义3.1（行列式的递归定义）arainα12aznα21α22A-.anan2ann的值定义如下：当n=1时，A =an;当n≥2时，假设对n-1阶行列式已有定义，则[A| =Z a,(-1) +/ M,=(3.1)2α,A., = anA.. + ai2Ai, + ... + ain A,/=1（上式又称按第一行展开）?China University of Mining and Technology页退退页页后出主福

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 行列式及其应用 n 阶行列式 的值定义如下：    n j j j A a j M 1 1 1 1 (-1) 定义3.1（行列式的递归定义） 当n=1时， =a11; 当n≥2时，假设对n-1阶行列式已有定义，则 （上式又称按第一行展开） 11 12 1 21 22 2 1 2 . . . n n n n nn a a a a a a A a a a  n n n j a j A j a1 1A1 1 a1 2A1 2 a1 A1 1   1 1       （3.1） A