中国矿业大学：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）泰勒公式

《高等数学A(1)》教案课题3.3泰勒公式2学时学时分配教学目的1.理解泰勒中值定理，熟悉带有拉格朗日型余项和佩亚诺型余项的泰勒公式；2.掌握常见函数麦克劳林公式的求法；3.掌握泰勒公式在近似计算、求极限以及证明题中的恰当使用。教学内容泰勒公式的引出；泰勒中值定理；常见函数的麦克劳林公式；泰勒中值定理的相关应用。教学重重点：泰勒公式的引出、泰勒中值定理；点、难点难点：泰勒公式在近似计算、求极限以及证明题中的应用。教学方法以讲授为主，板书与幻灯片课件相结合，问题启发式教学。和手段教学进程一、问题的提出例1计算无理数e的近似值，使得误差不超过10-6在微分应用中有近似公式：f(x)= f(x)+ f(xo)(x-x)取x=0，当x很小时，e~1+x.（参见图3.8)?=1+令x=1得：e~1+1=2问：上面的近似值2达到要求了吗(误差不超过10-)？(图3.8)【分析】f(x)=f(xo)+f(xo)(x-xo)令 p(x)= f(x)+ f'(x)(x-xo)注：P(x)是一次多项式则f(x)=p(x),且p(xo)=f(x);p(x)=f(x)由微分公式：f(x)=f(x)+f(x)(x-xo)+o(x-xo）可知：用一次多项式p(x)在x附近近似代替f(x)的误差是：o(x-x)这种近似代替的不足：1.精确度不高；2、误差不能估计如何提高精度?需要解决的问题如何估计误差？将上面的分析进行总结，得如下问题：问题：设f(x)在含有x的(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，继续选择多项式的缘由：能否找到一个n次的多项式：多项式函数较简单，进行有限次、加减、乘三种运算，p,(x)=ao +a(x-xo)+a,(x-x) +.+a,(x-xo)"便能求出它的函数值在x=x。的附近近似表达f(x)?要求：(1)提高精确度；(2)给出误差f(x)-p,(x)的具体表达式，便于估计

《高等数学 A (1)》教案 课题 3.3 泰勒公式 学时分配 2 学时 教学目的 1.理解泰勒中值定理，熟悉带有拉格朗日型余项和佩亚诺型余项的泰 勒公式； 2.掌握常见函数麦克劳林公式的求法； 3.掌握泰勒公式在近似计算、求极限以及证明题中的恰当使用。 教学内容 泰勒公式的引出； 泰勒中值定理；常见函数的麦克劳林公式；泰勒 中值定理的相关应用。 教学重 点、难点 重点：泰勒公式的引出、泰勒中值定理； 难点：泰勒公式在近似计算、求极限以及证明题中的应用。 教学方法 和手段 以讲授为主，板书与幻灯片课件相结合，问题启发式教学。 教 学 进 程 一、问题的提出 6 1 10 . e 例 计算无理数 的近似值，使得误差不超过  在微分应用中有近似公式: 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )     0 0 1 . x 取 x x e x    ，当 很小时， (参见图 3.8) 令x e     1 1 1 2. 得： 6 10 问：上面的近似值2达到要求了吗(误差不超过  )？ 【分析】 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )     1 0 0 0 令 p x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )     1 则 f x p x ( ) ( )  ， 1 0 0 且 p x f x ( ) ( )  ；1 0 0 p x f x   ( ) ( ).  0 0 0 0 由微分公式：f x f x f x x x o x x ( ) ( ) ( )( ) ( )       可知： 1 0 0 ( ) ( ) ( ). p x x f x o x x  用一次多项式 在 附近近似代替 的误差是： 这种近似代替的不足： 1. 精确度不高； 2、误差不能估计.    如何提高精度? 需要解决的问题 如何估计误差? 将上面的分析进行总结，得如下问题： 0 2 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )? n n n f x x a b n n p x a a x x a x x a x x x x f x          ：设 在含有 的( , )内具有直到( +1)阶导数， 能否找到一个 次的多项式 : 在 的附近近似表达 问题 ( ) ( ) n f x p x  ： ； ， 要求 (1) 提高精确度 (2) 给出误差 的具体表达式 便于估计. （图 3.8） 1 注：p x( ) . 是一次多项式 继续选择多项式的缘由： 多项式函数较简单，进行有 限次、加减、乘三种运算， 便能求出它的函数值

二、多项式p,(x)的确定【分析】（参见图3.9）1.若p,(x)与f(x)在x处相交，则p,(x)=f(x)2.若p,(x)与f(xo)在x处有相同的切线，则p(x)=f(xo)3.若p(x)与(x）在xg处弯曲方向相同，则p(x）=f"(xo）4.....(图3.9)总结：从1到2，2到3，...．近似程度越来越好！通过上述分析，我们在寻找多项式p,(x)时除假设f(x)在含有x的(a,b)内具有直到(n+1)阶导数 ()之外，我们进一步要求：p,(xo)= f(xo), p"(xo)= f'(xo),.*, p"(xo)= f(")(xo)(2)下面我们就在(1)和(2)成立的基础上去寻找p,(x)，即，确定多项式p,(x)=ao+a(x-xo)+a(x-x)+...+a,(x-x)的系数aa，a.，an设pn(x)=ao+a(x-x)+a(x-x)+..+a,(x-x)"则 p,(x)=a +2a,(x-xo)+.+na,(x-x)"-p,(x)= 2a, +...+n(n-1)a,(x-x)"-2p("(x)= n!a: ao =p(x)=f(xo), a =p'(xo)=f'(xo)1(n)(xo)f"(xo),.., a, -pl"(x):az =p(x)=n!12n!1f"(xo)(x-xo)故，P,(x)=f(x)+f'(x)(x-x)+2!泰勒多项式(m)(x)(x-x0)+...n!三、泰勒中值定理泰勒中值定理设f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有板书详解，应用柯西中值定直到(n+1)阶导数，则对Vxe(a,b)，f(x)可以表示为理证明泰勒中值定理(x-xo)的一个n次多项式与一个余项R,(x)之和，即，一f"(xo)(x-xof(x)=f(x)+f'(x)(x-x)+2!1f("(x0)(x-x0)"+R,(x)+.++.n!(n)()(x其中，R,(x)=拉格朗日型余项x-x）"+1（介于x与之间）(n+1)!记 P()-(2(-0)k=0k!f(x)按(x-xo)的幂展开的n次泰勒多项式

( ) n 二、多项式 p x 的确定 【分析】（参见图 3.9） 0 0 0 0 1. ( ) ( ) ( ) ( ). n n 若p x f x x p x f x 与 在 处相交，则  0 0 0 0 2. ( ) ( ) ( ) ( ). n n 若p x f x x p x f x 与 在 处有相同的切线，则    0 0 0 0 3. ( ) ( ) ( ) ( ) n n 若p x f x x p x f x 与 在 处弯曲方向相同，则    总结：从 1 到 2，2 到 3, 近似程度越来越好！ ( ) n 通过上述分析，我们在寻找多项式 p x 时除假设 0 f x x a b n ( ) 1 在含有 的( , )内具有直到( )  阶导数 (1) 之外，我们进一步要求： ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) n n n n n p x f x p x f x p x f x    ，   ， ， ( ) n 下面我们就在(1)和(2) 的基础上 p x ，即， 确 成立 去寻找 定多项式 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n p x a a x x a x x a x x         0 1 2 . n 的系数a a a a ， ， ， ， 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) . n n n 设 p x a a x x a x x a x x         ( ) n 则 p x   1 1 2 0 0 2 ( ) ( )n n a a x x n a x x       ( ) n p x   2 2 0 2! ( 1) ( )n n a n n a x x      ( ) ( ) n n p x  ! n n a 0 0 0 ( ) ( ) n    a p x f x ， 1 0 0 ( ) ( ), n a p x f x     2 0 0 1 1 ( ) ( ), 2 2 n a p x f x     , ( ) ( ) 0 0 1 1 ( ) ( ) ! ! n n n n a p x f x n n   2 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2! n 故，p x f x f x x x f x x x        ( ) 0 0 1 ( )( ) ! n n f x x x n    三、泰勒中值定理 0 0 0 ( ) ( ) ( ) n f x x a b n x f x x x n R x    ， ， ， 泰勒中值定理 设 在含有 的某个开区间( , )内具有 直到( +1)阶导数，则对 (a, b) 可以表示为 ( )的一个 次多项式与一个余项 之和 即 2 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2! f x f x f x x x f x x x        ( ) 0 0 1 ( )( ) ( ) ! n n n f x x x R x n     ( 1) 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x x x n        其中， 介于 与 之间 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! n k k n k f x p x x x  k 记    0 —— f x x x n ( ) ( ) 按  的幂展开的 次泰勒多项式 （图 3.9） - - 泰勒多项式 板书详解，应用柯西中值定 理证明泰勒中值定理. - 拉格朗日型余项

" f(xo)(()f(x) :x.)K=ok!(n +1)!一带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式【注】当n=0时，泰勒公式就变成拉格朗日中值公式f(x)=f(x)+f()(x-x）(在x与x之间)回到最初的问题，要求寻找到的n次多项式p,(x)做到：(1)提高精确度；(2)给出误差f(x)-p,(x)的具体表达式，便于估计那么，泰勒中值定理中的泰勒多项式p,(x)和误差R,(x)能否做到以上两点呢？佩亚诺型余项(提高了精确度)(l) R,(x)=o[(x-x)"(2)若对于某个固定的n，当xe(a,b)时，()≤M,用洛比达法则详细证明M+(三)(x- x0)(1)，并解释(2)则RGx-xo)"+1(n+1)!(n+1)!(给出了误差f(x)-p,(x)的具体表达式R,(x)，且便于估计)这样，泰勒中值定理就圆满解决了前面提出的问题！ f(k)(x0)f(x)=(x-x)* +o[(x-x)"]k!带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式在泰勒公式中，取x=0,此时，R(x)中的三在0与x之间，则=9x(0<<1)于是，泰勒公式变为较简单形式：f"(0)2f(m)() r"f(x)= f(0)+ f(0)x+2!n!f(+)(0x)n+(0<0<1)(n+1)!麦克劳林（Maclaurin）公式f(n)(0)f"(0) ,2f(x)= f(0)+ f'(0)x+2!n!(n+) (0x)(0<0<1)(n+1)!一带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式f("(0) " +0(x")()= (0)+*)++.2!n!带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式板书详解例1，得到满足误例1计算无理数e的近似值，使得误差不超过10-6差要求的近似值，体会泰勒四.几个初等函数的麦克劳林公式公式在近似计算中的应用。(I) f(x)=er

( ) ( 1) 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ( 1)! n k n k n k f x f f x x x x x k n           ——带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式 0 0 0 f x f x f x x x x ( ) ( ) ( )( ) ( )       ， 与 当n = 0时 泰勒公式就变成拉格朗日中值公 在 【 】 式 之间 注 ( ) n 回到最初的问题，要求寻找到的n p x 次多项式 做到： ( ) ( ) n f x p x  ； ， (1) 提高 (2) 给出误差 的具体表达式 精确度 便于估计. ( ) ( ) n n ， p x R x ？ 那么 泰勒中值定理中的泰勒多项式 和误差 能否做到以上两点呢 0 (1) ( ) [ ) ( ] ( ) n R x o x x n   提高了精确度 (2) ( , ) 若对于某个固定的n x a b ，当  时， ( 1) ( ) n f M    ， 则     ( 1) 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 ! 1 ! n n n n f M R x x x x x n n           ( ( ) ( ) ( ) ) n n 给出了误差 f x p x R x  的具体表达式 ，且便于估计 这样，泰勒中值定理就圆满解决了前面提出的问题! ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) [( ) ] ! n k k n k f x f x x x o x x  k      -带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式. 0 在泰勒公式中，取 x  0， ( ) 0 (0 1). R x x x n 此时， 中的    在 与 之间，则    于是，泰勒公式变为较简单形式： ( ) 2 (0) (0) ( ) (0) (0) 2! ! n n f f f x f f x x x n        ( 1) 1 ( ) (0 1) ( 1)! n n f x x n         ——麦克劳林( Maclaurin )公式 ( ) 2 (0) (0) ( ) (0) (0) 2! ! n n f f f x f f x x x n        ( 1) 1 ( ) (0 1) ( 1)! n n f x x n         ——带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式 ( ) 2 (0) (0) ( ) (0) (0) ( ) 2! ! n n n f f f x f f x x x o x n         ——带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式 6 1 10 . e 例 计算无理数 的近似值，使得误差不超过  四. 几个初等函数的麦克劳林公式 ( ) ( ) x   f x e - 佩亚诺型余项 用洛比达法 则详细证明 （1），并解释（2）. 板书详解例 1，得到满足误 差要求的近似值，体会泰勒 公式在近似计算中的应用

2eorx"+(0-1)a(α-+..(1+x)^=1+αx-2+α(α-1). (α-n+1)x"+R,(x)n!α(α-1)...(α-n)其中, R,(x)=(1+0x)a-n-lxn+1 (0-1)x2x3+(1)- "n(1+ x) = x --+R,(x)23n其中, R(n)=二1。(01+=_r例4证明(x>0)28

2 3 1 1 2! 3! ! ( 1) ! n x x n x x x e e x x n n           (0 1)    . (II) f x x ( ) sin  3 5 2 1 1 2 sin ( 1) ( ) 3! 5! (2 1) ! m m m x x x x x R x m           2 1 2 ( 1) cos( ) ( ) (2 1) ! m m m x R x x m      其中， (0 1)    . ( ) ( ) cos   f x x 2 4 2 2 1 cos 1 ( 1) ( ) 2! 4! (2 ) ! m m m x x x x R x m         1 2 2 2 1 ( 1) cos( ) ( ) (2 2) ! m m m x R x x m        其中， (0 1)    . f x x x ( ) (1 ) ( 1)  (ΙV)    2 ( 1) (1 ) 1 2 x x x           ( 1) ( 1) ( ) ! n n n x R x n         1 1 ( 1) ( ) ( ) (1 ) (0 1). ( 1)! n n n n R x x x n                 其中， ( ) ( ) ln(1 ) ( 1) V f x x x     2 3 1 ln(1 ) ( 1) ( ) 2 3 n n n x x x x x R x n          1 1 ( 1) ( ) 1 (1 ) n n n n x R x n x        其中, (0 1)    . 五. 泰勒公式的应用 1. 近似计算 ( ) 2 (0) (0) ( ) (0) (0) 2! ! n n f f f x f f x x x n        误差 1 ( ) ( 1)! n n M R x x n    ， ( 1) 0 ( ) . n M f x x x 是  在包含 ， 的某区间上的上界 前面的例1就是泰勒公式在近似计算方面的应用. 2. 利用泰勒公式求极限 2 4 0 2cos 3 lim x x e x  x   例 2 求 2 0 3 4 4 3 4 lim . x x x  x     例 3 求 1. 利用泰勒公式证明不等式 2 1 1 ( 0). 2 8 x x 例 4 证明      x x 板书带领学生写出常见初 等函数的麦克劳林公式. 例 2 板书详解，例 3 学生课 堂练习，掌握泰勒公式求极 限的方法

例5设f(x)在(a,b)内存在二阶导数，且"(x)>0，证明：板书详解例4，例5，掌握(1)对于(a,b)内任意n个点有泰勒公式证明不等式的方1(x)+ (x)+ (x,)≥ (++ ++);法nn(2)xx,+++n作业习题 3-35,6,7,10 (1,2)预习3.4函数单调性与曲线的凹凸性课后自我本节主要内容是泰勒中值定理、几个初等函数的麦克劳林公式以及总结与分泰勒公式的应用，本节理论性较强，泰勒多项式的引入所占时间较析多，学生理解上也有一定的难度，学生在使用泰勒公式的应用时普遍反应较难，因此，讲解时需要详尽说明解题的方法和技巧，《高等数学A(1)》教案课题3.4函数单调性与曲线的凹凸性学时分配2学时教学目的1.掌握单调性的判别法；2.掌握函数凹凸性的判别和拐点的求法教学内容1.函数单调性的判别法以及求单调区间2.函数凹凸区间与拐点的定义3.函数凹凸性的判别法以及拐点的求法教学重求函数的单调区间、利用函数单调性证明不等式、凹凸性的判定、点、难点凹凸性的判定教学方法以讲授为主，板书与幻灯片课件相结合，问题启发式教学和手段教学进程一单调性的判别法通过观察图3.10和图3.11可知：y= f(a)f(x)单增，f'(x)>0;f(x)单减，f(x)>0由此，猜想下面的定理成立：定理1：设y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导f'(x)>0(1)若在(a,b)内(x)>0，则y=f(x)在[a,b]上单调增加;(图3.10)(2)若在(a,b)内f(x)<0，则y=f(x)在[a,bl上单调减少（应用拉格朗日定理板书详细证明定理1.）V=f(x)【注1】函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在B这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来oa判别一个区间上的单调性f'(x)<0

1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( , ) ( ) 0 (1) ( , ) 1 [ ( ) ( ) ( )] ( ); (2) . n n n n n f x a b f x a b n x x x f x f x f x f n n x x x x x x n              例 5 设 在 内存在二阶导数，且 ，证明: 对于 内任意 个点有 板书详解例 4，例 5，掌握 泰勒公式证明不等式的方 法. 作 业 习题 3-3 5,6,7,10（1,2） 预习 3.4 函数单调性与曲线的凹凸性 课后自我 总结与分 析 本节主要内容是泰勒中值定理、几个初等函数的麦克劳林公式以及 泰勒公式的应用，本节理论性较强，泰勒多项式的引入所占时间较 多，学生理解上也有一定的难度，学生在使用泰勒公式的应用时普 遍反应较难，因此，讲解时需要详尽说明解题的方法和技巧. 《高等数学 A (1)》教案 课题 3.4 函数单调性与曲线的凹凸性 学时分配 2 学时 教学目的 1. 掌握单调性的判别法； 2. 掌握函数凹凸性的判别和拐点的求法; 教学内容 1. 函数单调性的判别法以及求单调区间 2. 函数凹凸区间与拐点的定义 3. 函数凹凸性的判别法以及拐点的求法 教学重 点、难点 求函数的单调区间、利用函数单调性证明不等式、凹凸性的判定、 凹凸性的判定 教学方法 和手段 以讲授为主，板书与幻灯片课件相结合，问题启发式教学 教 学 进 程 一. 单调性的判别法 通过观察图 3.10 和图 3.11 可知： f x( ) 单增， f x ( ) 0  ； f x( ) 单减， f x ( ) 0  . 由此，猜想下面的定理成立： ( ) [ , ] ( , ) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] . y f x a b a b a b f x y f x a b a b f x y f x a b        ， ， 定理 1：设 在 上连续，在 内可导. （1）若在 内 则 在 上单调增加； （2）若在 内 则 在 上单调减少 （应用拉格朗日定理板书详细证明定理 1.） 【注 1】函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在 这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来 判别一个区间上的单调性． （图 3.10）

(图3.11)【注2】定理中的a,b|可换成其它区间（含无穷区间)分别举例说明注1，注2，【注3】函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不同注3和注4.的区间上具有单调性，【注4】划分函数单调性的点只可能是导数为零的点及导数不存在的点。例1确定f(x)=2x2-9x2+12x-3的单调区间板书详解例1，学生课堂练习例2.例 2 确定f(x)=x2的单调区间总结：讨论函数单调性的一般步骤：(1）确定函数的定义域；(2)求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点；(3）这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论.(4）区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性，★利用单调性证明不等式板书详解例3和例5，学生例3当x>0时，证明：x>In(1+x)课堂练习例4.例4当xE(0,号）时，证明e-+sinx(αx)+ ()(+)(2)若恒有f(22olXiX2x则称f(x）的图形在区间I上是凸的（图3.13）拐点：函数图形上凹凸的分界点2.曲线凹凸性的判定=f(x)通过观察图3.14和图3.15可知：(1）若f(x)的图形在区间a,bl上是凹的，则f(x)递增，于是，由定理1知：y>0；(2）若f(x)的图形在区间I上是凸的，则f(x)递减，（图3.14）于是，由定理1知：V"0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f"(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的b0（应用拉格朗日定理板书详细证明定理2

【注 2】定理中的[ , ] a b 可换成其它区间(含无穷区间). 【注 3】函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不同 的区间上具有单调性. 【注 4】划分函数单调性的点只可能是导数为零的点及导 数不存在的点． 3 2 例 1 确定 f x x x x ( ) 2 9 12 3 .     的单调区间 3 2 例 2 确定 f x x ( ) .  的单调区间 总结：讨论函数单调性的一般步骤： (1) 确定函数的定义域； (2) 求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点； (3) 这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论. (4) 区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性. ★ 利用单调性证明不等式 例 3 当x x x    0 ln(1 ). 时，证明： 1 2 2 2 (0, ) sin 1 . x x e x x   例 4 当     时，证明 3 2 例 5 证明x x x    1 0 . 只有一个实根 二、曲线的凹凸性及拐点 问: 如何研究曲线的弯曲方向? 观察图 3.12 和图 3.13 发现： 在图 3.13 中“弧在弦下”；在图 3.14 中“弧在弦上”. 1. 曲线的凹凸与拐点的定义 1 2 定义 设 f x I x x I ( ) , , 在区间 上连续，  1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , 2 2 x x f x f x f   (1)若恒有  则称 f x I ( ) . 的图形在区间 上是凹的 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , 2 2 x x f x f x f   (2)若恒有  则称 f x I ( ) . 的图形在区间 上是凸的 拐点：函数图形上凹凸的分界点. 2. 曲线凹凸性的判定 通过观察图 3.14 和图 3.15 可知： (1) 若 f x a b ( ) [ , ] 的图形在区间 上是凹的 ，则 f x ( )递增， 于是，由定理 1 知： y   0 ； (2) 若 f x I ( )的图形在区间 上是凸的 ，则 f x ( )递减， 于是，由定理 1 知： y   0. 由此，猜想下面的定理成立： ( ) [ , ] ( , ) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] . f x a b a b a b f x f x a b a b f x f x a b     ， ， 定理 2：若 在 上连续，在 内具有二阶导数，则 (1)若在 内 则 在 上的图形是凹的; (2)若在 内 则 在 上的图形是凸的 （应用拉格朗日定理板书详细证明定理 2.） （图 3.11） 分别举例说明注 1，注 2， 注 3 和注 4. 板书详解例 1，学生课堂练 习例 2. 板书详解例 3 和例 5，学生 课堂练习例 4. （图 3.12） （图 3.13） （图 3.14）

（图3.15）例6判断曲线y=x的凹凸性【注1】在个别二阶导数为0的点，若此点两侧二阶导数板书讲解例6，学生课堂练习例7和例8，课后练习例不变号，则不改变曲线的凹凸性9，掌握函数凹凸性和拐点【注2】改变凹凸性的点只可能是二阶导为零及二阶导数的判别方法。不存在的点。例7判断曲线y=x的凹凸性例8求曲线y=/x的拐点总结：判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤：(a)求f"(x);(b)求出使f(x)=0的点及f"(x)不存在的点；(c)检查在这些点左右两边厂"(x)的点符号，从而决定曲线的凹凸区间及其拐点例9求y=3x4-4x+1的凹凸区间及拐点【注3】若函数在闭区间上为凹（凸）函数，则最大（小）值在作图解释注3边界达到.2板书详解例10，学生课堂元x.例10证明：当0(x+y)ln(x>0,y>0)2作业习题3-41,3（4,6），5(2,5）,6,8(3,4),9（3,6）,10（1,2）13,14预习3.5函数的极值与最大值最小值课后自我本节主要学习了如何使用一阶导函数判断函数的单调性，求解函数总结与分单调区间的方法，以及如何根据二阶导函数的特点判别出函数的凹析凸区间及拐点。使用函数单调性证明不等式有一定的难度，单调性和凹凸性同时判断时很容易出现差错，此部分内容讲解时关键是让学生在理解定理的同时如何使用定理结论，定理内容需要强化记忆

4 例 6 . 判断曲线 y x  的凹凸性 【注1】 在个别二阶导数为 0 的点，若此点两侧二阶导数 不变号，则不改变曲线的凹凸性. 【注2】改变凹凸性的点只可能是二阶导为零及二阶导数 不存在的点。 3 例 7 . 判断曲线 y x  的凹凸性 3 例 8 求曲线 y x  的拐点. 总结：判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤： ( ) ( ); a f x 求  ( ) ( ) 0 ( ) b f x f x 求出使    的点及 不存在的点； ( ) ( ) c f x 检查在这些点左右两边  的点符号，从而决定曲线 的凹凸区间及其拐点. 4 3 例 9 3 4 1 . 求 y x x    的凹凸区间及拐点 【注3】若函数在闭区间上为凹(凸)函数，则最大(小)值在 边界达到. 2 0 sin . 2 x x x   例 10 证明：当    时，有 11 ln ln ( )ln ( 0, 0). 2 x y x x y y x y x y  例 证明:      （图 3.15） 板书讲解例 6，学生课堂练 习例 7 和例 8，课后练习例 9，掌握函数凹凸性和拐点 的判别方法. 作图解释注 3. 板书详解例 10，学生课堂 练习例 11，学会用函数的 凹凸性证明不等式. 作 业 习题 3-4 1,3（4,6）,5（2,5）,6,8（3,4） ,9（3,6） ,10（1,2）13,14 预习 3.5 函数的极值与最大值最小值 课后自我 总结与分 析 本节主要学习了如何使用一阶导函数判断函数的单调性，求解函数 单调区间的方法，以及如何根据二阶导函数的特点判别出函数的凹 凸区间及拐点。使用函数单调性证明不等式有一定的难度，单调性 和凹凸性同时判断时很容易出现差错，此部分内容讲解时关键是让 学生在理解定理的同时如何使用定理结论，定理内容需要强化记忆