长春大学：《高等数学》课程教学资源（授课教案）微积分教案（任课教师：王羽）

长春大学旅游学院教师教案（2013—2014学年第一学期）课程名称：高等数学（微积分）王羽任课教师：基础部所在分院（部）：长春大学旅游学院教务处制

长春大学旅游学院 教 师 教 案 （2 01 3 2 014 学年第 一 学期） 课 程 名 称： 高等数学（微积分） 任 课 教 师： 王羽 所在分院（部）： 基础部 长 春 大 学 旅 游 学 院 教 务 处 制

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容第一章函数与极限第一节函数一、集合与区间1.集合的概念一般说来，集合是指具有某种属性的事物的全体，用A,B,C等等表示.构成集合的事物叫做元素，用α,b,c等等表示若a是集合A的元素，就说a属于A，记作aEA：若a不是集合A的元素，就说α不属于A，记作α史A.集合的表示方法通常有列举法和描述法.列举法：就是把集合的全体元素一一列出来，并用花括号括起来描述法：若集合A是由具有某种属性P(α)的元素α的全体组成，则表示为A = (a|P(a)设A，B是两个集合，若集合A的元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作AB（读作A包含于B），或BA（读作B包含A）.若ACB且BCA，则称A与B相等，记作A=B.例如，A={xx+x-2=0)，B=(1,-2)，则A=B.若AcB，且AB，则称A是B的真子集记为AEB.2.集合的运算（1）集合的并设A，B是两个集合，由A和B的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集（简称并），记作AUB=(αxxEA或xeB)(2)集合的交设A.B是两个集合，由A和B的所有公共元素构成的集合，叫做集合A与B的交集（简称交），记作ANB=(xxEA且xEB）(3)集合的差设A,B是两个集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合叫做A与B的差集（简称差），记作A-B={xxEA且xB全集U与集合A的差称为A的余集（简称余），记作A°=(xxU且xA)2页

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 2 页 第一章 函数与极限 第一节 函 数 一、集合与区间 1.集合的概念 一般说来，集合是指具有某种属性的事物的全体，用 A,B,C 等等表示.构成集合 的事物叫做元素，用 a,b,c 等等表示. 若 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A ，记作 a  A ；若 a 不是集合 A 的元素，就 说 a 不属于 A ，记作 a  A .集合的表示方法通常有列举法和描述法. 列举法：就是把集合的全体元素一一列出来，并用花括号{}括起来. 描述法：若集合 A 是由具有某种属性 P(a) 的元素 a 的全体组成，则表示为 A = {a P(a)} 设 A，B 是两个集合，若集合 A 的元素都是 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记 作 A  B (读作 A 包含于 B ）,或 B  A (读作 B 包含 A ）.若 A  B 且 B  A ,则称 A 与 B 相等，记作 A = B .例如， { 2 0} 2 A = x x + x − = ， B = 1,−2，则 A = B . 若 A  B ,且 A  B,则称 A 是 B 的真子集记为 A B   . 2.集合的运算 （1）集合的并 设 A，B 是两个集合，由 A 和 B 的所有元素构成的集合，叫做 A 与 B 的并集（简称并），记作 A B ={x x A或xB} (2)集合的交 设 A,B 是两个集合，由 A 和 B 的所有公共元素构成的集合，叫做 集合 A 与 B 的交集（简称交）,记作 A B ={x x A且xB} (3)集合的差 设 A,B 是两个集合，由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合， 叫做 A 与 B 的差集（简称差），记作 A− B ={x x A且x B} 全集 U 与集合 A 的差称为 A 的余集（简称余），记作 A {x x U x A} C =  且 

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容3.区间和邻域(1)区间（2）邻域定义1设a，是两个实数，且>0.数集x-叫做点α的邻域，记作U(a,)，即U(a,)=x-α)点a叫做中心，叫做半径二、函数1.函数的概念定义2设有两个变量x和y，D是一个给定的非空数集.若按照某个法则f，使得对于每个数xED，变量y都有唯一确定的数值与之对应，则称这个对应法则f为定义在D上的函数，或称变量y是变量x的函数.记作y=f(x),xED其中x叫做自变量，y叫做因变量，数集D叫做函数的定义域，记作D，当x取值xD,时，所对应的y值，记作=或(xo)并称其为函数y=f(x)在点x。处的函数值.全体函数值所组成的集合叫做函数的值域，记作f(D)=y=f(x),xeD)从函数的定义可以看到，定义域和对应法则是确定函数关系的两个要素，中学数学中介绍了下面五种最基本的函数（1）幂函数y=x"（μ为实数）(2)指数函数y=a(a>0,al)(3）对数函数y=log。x(a>0,a￥1)（4）三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx(5）反三角函数y=arcsinx,y=arccosx y=arctanx,y=arccotx这五种函数叫做基本初等函数，2.显函数与隐函数如果一个函数能表示成y=f(x）的形式，称其为显函数变量x与y之间的函数关系由方程F（x,y)=0来表示，称这样的函数为隐函数三、分段函数若函数在其定义域不同的部分，对应法则不能用一个统一的算式表示，而要用两3页P

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 3 页 3. 区间和邻域 (1)区间 （2）邻域 定义 1 设 a ， 是两个实数，且  >0.数集 x x − a   叫做点 a 的  邻域， 记作 U(a, ) ，即 U(a, ) = x x − a  ， 点 a 叫做中心， 叫做半径. 二、函数 1.函数的概念 定义 2 设有两个变量 x 和 y , D 是一个给定的非空数集.若按照某个法则 f ，使 得对于每个数 xD ，变量 y 都有唯一确定的数值与之对应，则称这个对应法则 f 为 定义在 D 上的函数，或称变量 y 是变量 x 的函数.记作 y = f (x), x D 其中 x 叫做自变量， y 叫做因变量，数集 D 叫做函数的定义域，记作 D f . 当 x 取值 Df x0  时，所对应的 y 值，记作 x x0 y = 或 ( )0 f x 并称其为函数 y = f (x) 在点 0 x 处的函数值.全体函数值所组成的集合叫做函数的值 域，记作 f (D) = y y = f (x), xD 从函数的定义可以看到，定义域和对应法则是确定函数关系的两个要素. 中学数学中介绍了下面五种最基本的函数. （1）幂函数  y = x (  为实数) （2）指数函数 y = a (a  0,a 1) x （3）对数函数 y = log x(a  0,a  1) a （4）三角函数 y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x （5）反三角函数 y = arcsinx, y = arccosx y = arctan x, y = arc cot x 这五种函数叫做基本初等函数， 2.显函数与隐函数 如果一个函数能表示成 y = f (x) 的形式，称其为显函数. 变量 x与y 之间的函数关系由方程 F（x, y）= 0 来表示，称这样的函数为隐函数. 三 、分段函数 若函数在其定义域不同的部分，对应法则不能用一个统一的算式表示，而要用两

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容个或两个以上的算式表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的表达式虽然用几个算式表示，但它表示的是一个函数而不是几个函数。例1绝对值函数x当x≥0y=x:是分段函数，x当x01当x=0是分段函数，它的定义域D,=(-80,+o)，W=(-1,0,1)C=sgnx:-1当x<0例3设x为任意一个实数，函数f(x)=[冈]表示不超过x的最大整数，叫做取整函数。f(x)=[x]的定义域为D,=(-o0,+o0)，值域为整数集Z四、反函数设y=(t)是定义在数集 D上的函数，值域为数集(D)，若对每一个yEf(D)，数集D中都有唯一的使f(s)=y与之对应，这样得到一个定义在(D)上的新函数（其定义域为(D)，值域为D）称其为=()的反函数，记作×=-()用=-(x)表示×=(),五、复合函数与初等函数1.复合函数先看一个例子，y=/x2-1称函数=-i是由函数=u与=-1复合而成的复合函数.若是u的函数=f(u),而"又是的函数"=9(x),且(t)函数值的全部或部分在(u)的定义域内，则通过“成为×的函数，这个函数叫做由函数=f(u)与u=(t)复合而成的复合函数，记作=[9(x)],，其中"叫做中间变量,2.初等函数由基本初等函数及常数经过有限次四则运算和有限次复合构成，并且可以用一个算式表示的函数，叫做初等函数。六、函数的几种特性1.函数的有界性贝4-

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 4 页 个或两个以上的算式表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的表达式虽然用几个 算式表示，但它表示的是一个函数而不是几个函数. 例 1 绝对值函数    −   = = 0 0 y x x x x x 当 当 是分段函数， 例 2 符号函数      −  =  = = 1 0 0 0 1 0 y sgn x x x x 当 当 当 是分段函数，它的定义域 ( , ) Df = − + ，W = −1,0,1 例 3 设 x 为任意一个实数，函数 f (x) = x 表示不超过 x 的最大整数，叫做取 整函数. f (x) = x 的定义域为 = (−,+) Df ，值域为整数集 Z . 四、反函数 设 y = f (x) 是定义在数集 D 上的函数，值域为数集 f (D) ，若对每一个 y f (D) ，数集 D 中都有唯一的 x 使 f (x) = y 与之对应，这样得到一个定义在 f (D) 上 的新函数（其定义域为 f (D) ，值域为 D ）称其为 y = f (x) 的反函数，记作 ( ) 1 x f y − = 用 ( ) 1 y f x − = 表示 ( ) 1 x f y − = ， 五、复合函数与初等函数 1.复合函数 先看一个例子， 1 2 y = x − ， 称函数 1 2 y = x − 是由函数 y = u 与 1 2 u = x − 复合而成的复合函数 . 若 y是u 的函数 y = f (u) ，而 u 又是 x 的函数 u = (x) ，且 (x) 函数值的全部或 部 分在 f (u) 的定义域内，则 y 通过 u 成为 x 的函数，这个函数叫做由函数 y = f (u) 与 u = (x) 复合而成的复合函数，记作 y = f[(x)]，其中 u 叫做中间变量. 2.初等函数 由基本初等函数及常数经过有限次四则运算和有限次复合构成，并且可以用一个 算式表示的函数，叫做初等函数. 六、函数的几种特性 1.函数的有界性

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容设y=f(x)，若存在正数M，使得对一切xe(a,b),恒有f(x)≤M就称函数f(x)在(a,b)内有界；若这样的M不存在，就称函数f(x)在(a,b)内无界.2.函数的奇偶性设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称，若对于每一个xED都有f(-x)=(x)，则称函数f(x)为偶函数.若对于任一个xeD都有 f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数.例4判断f(x)=3x+x的奇偶性.3.函数的单调性若函数f(x)在区间(a,b)内随着x增大而增大，即对于(a,b)内任意两点x及，当xf(x)，则称函数f(x)在区间(a,b)内是单调减小（或单调递减）的4.函数的周期性对于函数f(x)，若存在一个不为零的数1，使得关系式f(x+I)=f(x)对于定义域内任何x值都成立，则f(x)叫做周期函数，1是f(x)的周期.七、建立函数关系式1.总成本函数、总收入函数和总利润函数总成本由固定成本和可变成本两部分构成.固定成本是产量的单调增加函数；总收入R(x)是销量x与销售单价P的乘积，即R(x)=Px；总利润L()等于总收入减去总成本，即 L(x)=R(x)-C(x).例6/13p2.需求函数与供给函数最简单的需求函数是线性函数.即，2.=α-bP，其中4,b均是正的常数。5页

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 5 页 设 y = f (x) ，若存在正数 M ，使得对一切 x(a,b) ,恒有 f (x)  M 就称函数 f (x) 在 (a,b) 内有界；若这样的 M 不存在，就称函数 f (x) 在 (a,b) 内无界. 2.函数的奇偶性 设函数 y = f (x) 的定 义域 D 关于原 点对 称， 若对 于每 一个 xD 都有 f x f x ( ) ( ) − = ，则称函数 f (x) 为偶函数. 若对于任一个 xD 都有 f (−x) = − f (x)，则称函数 f (x) 为奇函数. 例 4 判断 4 2 f (x) = 3x + x 的奇偶性. 3.函数的单调性 若函数 f (x) 在区间 (a,b) 内随着 x 增大而增大，即对于 (a,b) 内任意两点 1 x 及 2 x ，当 1 x ＜ 2 x 时，有 ( ) ( ) 1 2 f x  f x ，则称函数 f (x) 在区间 (a,b) 内是单调增加 （或单调递增）的.若函数 f (x) 在区间 (a,b) 内随着 x 增大而减小，即对于 (a,b) 内 任意两点 1 x 及 2 x ，当 1 x ＜ 2 x 时，有 ( ) ( ) 1 2 f x  f x ，则称函数 f (x) 在区间 (a,b) 内是单调减小(或单调递减）的. 4.函数的周期性 对于函数 f (x) ，若存在一个不为零的数 l ，使得关系式 f (x + l) = f (x) 对于定 义域内任何 x 值都成立，则 f (x) 叫做周期函数， l 是 f (x) 的周期. 七、建立函数关系式 1.总成本函数、总收入函数和总利润函数 总成本由固定成本和可变成本两部分构成.固定成本是产量 x 的单调增加函数； 总收入 R(x) 是销量 x 与销售单价 P 的乘积，即 R(x) = Px ；总利润 L(x) 等于总收入 减去总成本，即 L(x) = R(x) −C(x) . 例 6/13p 2.需求函数与供给函数 最简单的需求函数是线性函数.即， Qd = a −bP ，其中 a,b 均是正的常数

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容最简单的供给函数是线性函数，即，O.=dP-c，其中C,d 均是正的常数.例7/14p第二节函数极限很多实际问题的精确解，只通过有限次算术运算是难以求得的.需要通过分析一个无限变化过程的变化趋势方能求得，因此产生了极限的概念和方法一、数列极限1. 数列定义1设x，=f(n)是定义在正整数集N*的函数（叫做整标函数），当自变量n依次取1,2,3….n时，相应的函数值按其顺序排成的一列数：f(1), f(2),f(3)...,f(n),...叫做数列，记作x，.数列中每一个数叫做数列的项，第n项x，叫做数列的通项。2.数列的极限定义2设有数列x，，若存在常数‘，使得对任意给定的任意小的正数，总存在正整数N，当n>N时恒有。-αX时，恒有[f(x)-A<8成立，则常数A叫做x→时函数F(x)的极限，记作

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 6 页 最简单的供给函数是线性函数，即， Q dP c s = − ，其中 c,d 均是正的常数. 例 7/14p 第二节 函数极限 很多实际问题的精确解，只通过有限次算术运算是难以求得的.需要通过分析一 个无限变化过程的变化趋势方能求得，因此产生了极限的概念和方法. 一、数列极限 1.数列 定义 1 设 x f (n) n = 是定义在正整数集 + N 的函数（叫做整标函数），当自变量 n 依次取 1,2,3,  n 时，相应的函数值按其顺序排成的一列数: f (1), f (2), f (3) , f (n), 叫做数列，记作 n x .数列中每一个数叫做数列的项，第 n 项 n x 叫做数列的通项. 2.数列的极限 定义 2 设有数列 n x ，若存在常数 a ，使得对任意给定的任意小的正数  ，总存 在正整数 N ，当 n  N 时恒有 x − a   n 成立，则称当 n →  时，数列 n x 以常数 a 为极限，也称数列 n x 收敛于 a ,记作 xn a n = → lim 或 x →a(n→) n 若这样的常数不存在，则称数列 n x 没有极限，或称数列 n x 是发散的. 例 1 用定义证明 1 1 2 lim 1 = + + → （ ） n n 定理 1 （收敛数列的有界性）若数列 n x 收敛，则数列 n x 一定有界. 定理 2 单调有界数列必有极限. 二、函数极限 1. x →  时函数 f (x) 的极限 定义 3 设函数 f (x) 在 x 大于某正数 M 时有定义，若存在常数 A 使得对于任 意给定的任意 小的正数  ，总存在一个正数 X ， 使得当 x  X 时，恒有 f (x) − A   成立，则常数 A 叫 做 x →  时函数 f (x) 的极限，记作

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容lim f(x) = A或f(x) → A(x → 00)limf(x)=A的几何解释：任意给定一个正数ε，作平行于x轴的两条直线y=A+s和y=A-6，y=f(α)的图形就位于这两条直线之间。lim (g)= A的充分且必要条件是： lm f(x)=A= lim,f(x)结论：例2用定义证明lim=0X2. x→x时函数(x)的极限定义 4 设函数f(x)在点x的某一去心邻域内有定义.若存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式0<xCo<时，不等式|f(x)-A<8，则 A叫做x→x时函数f(x)的极限，lim f(x)= A或f(x)→ A(当x→x)f(x)当x→xo时极限为A几何解释：任意给定一正数8，作平行于x轴的两条直线y=A+ε和y=A-6，介于这两条直线之间是一横条形区域.根据此定义，对于给定的ε，存在着点x的一个去心邻域(-3,x)U(xo,+)，当x在该去心邻域内时，y=f(x)的图形都在上面所作的横条形区域内。例4用定义证明lim(ax+b)=axo+b（a,b均为常数且a±0)3左、右极限左极限，记作 lim(x)=A或r()=A右极限，记作 lim(s)=A或()=A-

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 7 页 lim ( ) = ( ) → ( → ) → f x A f x A x x 或 f x A x = → lim ( ) 的几何解释：任意给定一个正数  ，作平行于 x 轴的两条直线 y = A+ 和 y = A− , y = f (x) 的图形就位于这两条直线之间。 结论： f (x) A x = → lim 的充分且必要条件是： = = →+ f x A x lim ( ) lim f (x) x→− 例 2 用定义证明 0 1 lim = x→ x 2. 0 x → x 时函数 f (x) 的极限 定义 4 设函数 f (x) 在点 0 x 的某一去心邻域内有定义.若存在常数 A ，对于任意 给定的正数  （无论它多么小）,总存在正数  ，使得当 x 满足不等式 0  x − x0   时 ， 不 等 式 f (x) − A   ， 则 A 叫 做 0 x → x 时 函 数 f (x) 的 极 限 ， lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 f (x) 当 0 x → x 时极限为 A 几何解释： 任意给定一正数  ，作平行于 x 轴的两条直线 y = A+和y = A− ,介于这两 条直线之间是一横条形区域.根据此定义，对于给定的  ，存在着点 0 x 的一个去心  邻域 ( − ) ( + ) 0 0 0 0 x , x  x , x ，当 x 在该去心邻域内时, y = f (x) 的图形都在上面 所作的横条形区域内。 例 4 用定义证明 lim ( ) , 0) 0 0 + = +  → ax b ax b a b a x x （ 均为常数且 3 .左、右极限 左极限，记作 f (x) A f (x ) A x x = = − → − 0 0 lim 或 右极限，记作 f (x) A f (x ) A x x = = + → + 0 0 lim 或

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容结论： lim f(g)=A的充分且必要条件是：(xa)=A=F()例5/21p例6/21p第三节无穷小量和无穷大量一、无穷小量1.无穷小量的概念定义1若当x→x(或x→)时，函数α(x)的极限为0，则α(x)叫x→xo(或x→>)的无穷小量(简称无穷小).定理1在自变量的某个变化过程中，函数f(x)以数A为极限的充分必要条件是：f(x)= A+α其中a是同一变化过程中的无穷小2.无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；（2）有限个无穷小量的积仍是无穷小量：（3）有界变量与无穷小量的积是无穷小量例 1 lim sin x+X3.无穷大量定义2设函数(*)在的某一去心邻域内有定义（或叫大于某一正数时有定义),若对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数（或正数X），只要适[f(x)>M合不等式0X,对应的面数值()但有成立，则称()是当→（或→）时的无穷大量(简称无穷大)记作lm /(x)=00 (或 lm f(n)=00) ,4.无穷小与无穷大之间的关系定理2在自变量的同一个变化过程中,若 f(x）是无穷大量,则(g)是无穷小量;87

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 8 页 结论： f (x) A x x = → 0 lim 的充分且必要条件是： ( ) ( ) − + 0 = = 0 f x A f x 例 5/21p 例 6/21p 第三节 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量 1.无穷小量的概念 定义 1 若当 ( ) x →x0 或x → 时，函数 (x) 的极限为 0，则 (x) 叫 0 x → x (或x →) 的无穷小量(简称无穷小). 定理 1 在自变量的某个变化过程中，函数 f (x) 以数 A 为极限的充分必要条件是： f (x) = A+ 其中 a 是同一变化过程中的无穷小. 2.无穷小量的性质 （1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； （2) 有限个无穷小量的积仍是无穷小量； （3）有界变量与无穷小量的积是无穷小量. 例 1 x x x sin lim → 3．无穷大量 定义 2 设函数 f (x) 在 0 x 的某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时有定义）， 若对于任意给定的正数 M （无论它多么大），总存在正数  （或正数 X ）,只要 x 适 合不等式 0  x − x0 （或x  X） ，对应的函数值 f (x) 恒有 f (x)  M 成立，则称 f (x) 是当 0 x → x （或 x →  ）时的无穷大量(简称无穷大)记作 =  → lim ( ) 0 f x x x （或 =  → lim f (x) x ）, 4.无穷小与无穷大之间的关系 定理 2 在自变量 的同一个变化过程中，若 f (x) 是无穷大量，则 f (x) 1 是无穷小量；

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容反之，若()是非零的无穷小量，则一是无穷大量(x)第四节极限运算法则定理1若函数f(x)和g(x)错误!未找到引用源。在x→x(或x→o)时都存在极限，则它们的和、差、积、商（当分母的极限不为零时）在×→x(或x→)时也存在极限，且有(1) lim[ f(x)±g(x)= lim f(x)± lim g(x)(2) lim[ f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)f(x)_1lim f(,(im g(x)±0)（3）limg(x)lim g(x)(4) lim cf(x)=clim f(x)(5) lim[f(x)]" =[im f(x)]" = A"4x2-3x +1例2求lim例1求lim(x2+4x-7)1 3x2 6x + 5x-23x2-2x-4例3lim例 4求limx→2x242x3+x2+54x2-32x +x2+5求lim例6求lim例 505x2+2xx→3x2-2x-41+2+3+..+nlim例n?n→ot第五节两个重要极限sinx1. 第一个重要极限 lim=10X页9

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 9 页 反之，若 f (x) 是非零的无穷小量 ，则 f (x) 1 是无穷大量 第四节 极限运算法则 定理 1 若函数 f (x)和g(x) 错误!未找到引用源。在 ( ) x → x0 或x → 时都存在极 限，则它们的和、差、积、商（当分母的极限不为零时）在 ( ) x → x0 或x →  时也存 在极限，且有 （1） lim[ f (x)  g(x)] = lim f (x)  lim g(x) （2） lim[ f (x) g(x)] = lim f (x)lim g(x) （3） ,(lim ( ) 0) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim = g x  g x f x g x f x （4） lim cf (x) = c lim f (x) （ 5） m m m lim[ f (x)] =[lim f (x)] = A 例 1 求 lim ( 4 7) 2 1 + − → x x x 例 2 求 3 6 5 4 3 1 lim 2 2 1 − + − + →− x x x x x 例 3 4 2 lim 2 2 − − → x x x 例 4 求 2 5 3 2 4 lim 3 2 2 + + − − → x x x x x 例 5 求 3 2 4 2 5 lim 2 3 2 − − + + → x x x x x 例 6 求 2 2 4 3 lim x 5 2 x → x x − + 例 2 1 2 3 lim n n n + + + + → 第五节 两个重要极限 1. 第一个重要极限 0 sin lim 1 x x → x =

长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容定理 1 若g(x)≤f(x)≤h(x), 且 limg(x)=limh(x)=A,则 limf(x)= A例 3 求lim tan xtanx例 2求limSin3x例1求lim→0x-→(x-→0xxx2.第二个重要极限：lim(1+-=e 或lim(I+x)=e例 4 求lim(1+例 5 求lim(1+2x)例 lim(1+2x)第六节无穷小量的比较定义：设α,β在x→x（或x→8）时均是无穷小量，且β±0B(1)若lim0，就说β是比α高阶的无穷小量，记作β=o(α)aβ(2)若lim0，就说β是比α低阶的无穷小量；Pαβ(3)若lim=c≠0，就说β是与α同阶的无穷小量；αβ(4)若 lim=1，就说β是与α等价的无穷小量，记作α～β，α定理1β与α是等价无穷小量的充分必要条件是β=α+o(α)B定理2设x→x（或x→0）时，α~α，β~β且lim存在，则αββlimQαtan3x例 2 求 lim nsin ≥例1求lim0sin5x0n第七节函数的连续性、函数连续性的概念设函数y=f(x)在含有点x的某个领域内有定义.当自变量x在这个邻域内从x变到x+△x时，函数y相应地从f(xo)变到f(x+Ax）称f(x+△r)-f(x）为函数的改变量或增量，记作Ay，即Ay=f(+Ar)-f(x)称△x为自变量的改变量或增量。10页

长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 10 页 定理 1 若 g x f x h x ( ) ( ) ( )   ，且 lim ( ) lim ( ) g x h x A = = ，则 lim ( ) f x A = 例 1 求 0 tan lim x x → x 例 2 求 0 sin 3 lim x x → x 例 3 求 2 0 tan lim x x → x 2. 第二个重要极限： e x x x + = → ) 1 lim (1 或 1 0 lim(1 ) x x x → + = e 例 4 求 3 lim(1 ) . x x→ x + 例 5 求 1 0 lim(1 2 ) x x x → + 例 1 1 0 lim (1 2 ) − → + x x x 第六节 无穷小量的比较 定义：设  , 在 0 x x → （或 x → ）时均是无穷小量，且   0 ⑴若 lim 0   = ，就说  是比  高阶的无穷小量，记作   = o( ); ⑵若 lim   =  ，就说  是比  低阶的无穷小量； ⑶若 lim 0 c   =  ，就说  是与  同阶的无穷小量； ⑷若 lim 1   = ，就说  是与  等价的无穷小量，记作   ~ . 定理 1  与  是等价无穷小量的充分必要条件是    = + o( ). 定理 2 设 0 x x → （或 x → ）时，     ~ ~ ˊ， ˊ，且 lim   ˊ ˊ 存在，则 lim =lim     ˊ ˊ 例 1 求 0 tan 3 lim x sin 5 x → x 例 2 求 lim sin n n n  → 第七节 函数的连续性 一、函数连续性的概念 设函数 y f x = ( ) 在含有点 0 x 的某个领域内有定义.当自变量 x 在这个邻域内从 0 x 变到 0 x x + 时，函数 y 相应地从 0 f x( ) 变到 0 f x x ( ) + ， 称 0 0 f x x f x ( ) ( ) +  − 为函数的改变量或增量，记作 y ， 即 0 0  = +  − y f x x f x ( ) ( ) 称 x 为自变量的改变量或增量