长春大学：《高等数学》课程作业习题（概率论与数理统计）第二章 随机变量及其分布总习题、自测题及其详解

第二章随机变量及其分布总习题、自测题及其详解

第二章 随机变量及其分布 总习题、自测题及其详解

总习题二1.从有2只次品的15件同型号的产品中，不放回地连取3次，每次任取1件.X表示取出次品的件数，求×的分布律2、随机变量x的分布律为CakP(X=k} =(k=0,1,2,..;a>0),k!试确定常数C.3.一个篮球运动员的投篮命中率为45%.X表示他首次投中时累计已投篮次数，（1）求x的分布律；（2）计算×取偶数的概率.4.设随机变量X的概率密度为x,0≤x<1,f(x)=2-x, 1≤x<2,0,其它.求 x的分布函数 F(x).5.设随机变量×的分布函数为0,x<1Fr(x)=}lnx, 1<x<e,1,x≥e(1) 求P(X<1)，P(0<X≤3). (2)求概率密度fx(x)6.在区间[0,51上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,5]中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正比例.试求×的分布函数7.设随机变量×的分布律为x-2-1013111111Pk-515161530求Y=X的分布律.8.设x为连续随机变量，其分布密度为

总 习 题 二 1.从有 2 只次品的 15 件同型号的产品中，不放回地连取 3 次，每次任取 1 件.X 表示取 出次品的件数，求 X 的分布律. 2、随机变量 X 的分布律为 { = } ! k C P X k k  = （ k =  0,1,2, ; 0  ）， 试确定常数 C. 3.一个篮球运动员的投篮命中率为 45%.X 表示他首次投中时累计已投篮次数，（1）求 X 的分布律；（2）计算 X 取偶数的概率. 4.设随机变量 X 的概率密度为 , 0 1, ( ) 2 , 1 2, 0, x x f x x x     = −      其它. 求 X 的分布函数 F(x). 5. 设随机变量 X 的分布函数为 0, 1 ( ) ln , 1 , 1, X x F x x x e x e    =       （1）求 P X{ 1}  ， P X {0 3}   ； （2）求概率密度 ( ) X f x . 6.在区间 [0,5] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标.设这个质点落在 [0,5] 中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正比例.试求 X 的分布函数. 7. 设随机变量 X 的分布律为 2 求Y X = 的分布律. 8.设 x 为连续随机变量，其分布密度为 X -2 -1 0 1 3 k p 1 5 1 6 1 5 1 15 11 30

0≤x≤1,ax,a,1x)≤0.05设X~N(3,2），求（1）PX>2)，（2）确定℃使得(1)P(X >c)= P(X≤c)[ox≤014.求分布函数F(x)=Ax20<x<1，中的常数及随机变量X的密度函数[x≥115.某商店出售某种高档商品，根据以往经验，每月销售量×服从入=3的泊松分布.问在月初进货时要库存此商品多少件，才能以99%的概率满足顾客的需要，16对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在[a,b]内，求球体积的概率分布.17.设X～N(u,α），×的概率密度为

, 0 1, , 1 2, ( ) 3 , 2 3, 0 ax x a x f x ax a x        =  − +      ， 其他. （1）确定 a 值； （2）若 1 2 3 x x x , , 是对 x 的三次独立观测值（观测值从理论上可看成与 x 同分布的随机 变量）.求三个观测值中恰有一个大于 1.5 的概率. 9.某一公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为 2 t 的泊松分 布，而与时间间隔的起点无关（时间的单位：小时）. （1）求某一天中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率； （2）求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次紧急呼救的概率. 10.检查测高器的精确性，结果表明误差不超过 2.5 米的情况占所有情况的 90%，若已 知测高器的误差服从 2 N(0, )  ，求  的值. 11.若 2 X N(0,5 ) ，求 2 P X (1 4)   . 12.某地区 18 岁的女青年的血压（收缩压，以 mm-Hg 计）服从 2 N(110,12 ).在该地 区任选一 18 岁的女青年，测量她的血压 X.求（1） P X{ 110}  ，P X {100 120}   ； （2）确定最小的 x ， 使得 P X x { } 0.05   . （1） 设 2 X N(3,2 ) ，求（ 1 ） P X{ 2}  ； （ 2 ）确定 c 使 得 P X c P X c { } { }  =  . 14. 求分布函数 ( )      = 1 0 2 F x Ax 1 0 1 0     x x x ，中的常数及随机变量 X 的密度函数. 15.某商店出售某种高档商品，根据以往经验，每月销售量 X 服从  = 3 的泊松分布.问 在月初进货时要库存此商品多少件，才能以 99%的概率满足顾客的需要. 16 对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在 [ , ] a b 内，求球体积的概率分布. 17.设 2 X N( , )   ，X 的概率密度为

x2-4.x+k232f(x)=ke试求k,k，μ,o的值418.设C在（0，5）服从均匀分布，求x的方程4x2+4Cx+C+2=0有实根的概率.19.设X在（-1,1)上服从均匀分布，求Y=4-X2的概率密度20.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分记）服从指数分布，其概率密度为15evsx>0,fx(x)=)0,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y的分布律，并求出P(Y≥1)21.连续随机变量x的分布密度函数f(x)=3x2，-1≤x≤0，对任一数b6(-1b)X<2

2 2 4 32 1 ( ) x x k f x k e − + − = , 试求 1 2 k k, , ,   的值. 18.设 C 在（0，5）服从均匀分布，求 x 的方程 2 4 4 2 0 x Cx C + + + = 有实根的概率. 19.设 X 在 ( 1,1) − 上服从均匀分布，求 2 Y X = −4 的概率密度. 20.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分记）服从指数分布，其概率密度为 1 5 , 0 ( ) 5 0, . x X e x f x  −   =    ， 其它 某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟，他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个 月内他未等到服务而离开窗口的次数.写出 Y 的分布律，并求出 P Y{ 1}  . 21. 连续随机变量 x 的分布密度函数 2 f x x ( ) 3 = ， −   1 0 x ，对任一数 b （ −   1 0 b ），计算 2 b P X b X        

总习题二详解1、解：×的所有可能取值为0, 1,2,且P(X=0)==AA_12,P(X=1)=4As35As35AA-1P(X = 2) :所以x的分布律为35AsX1202212P1353535"cakok2k2、解：由离散型随机变量分布律的归一性得，1，即C而厂K k!ok!k=o k!所以C=e（这里之芸Dx得到的，e是利用f(x)=e的幂级数展开式erK=0 k!Ko k!请查阅《微积分》教材第九章的第4节中的例4）3、解：（1）×的所有可能取值为：1，2，3，..。k..且P(X=I)=0.45，P/X =2)=(1-0.45)×0.45, P(X =3)=(1-0.45)×0.45=(0.55)×0.45, .P(X=k)=(1-0.45)*-1×0.45=(0.55)*-1×0.45，.，故x的分布律为P(X =n) = (0.55)k- ×0.45,(k =1,2,3..)(2)所求为P(X=2k)=0.45[0.55+(0.55)+(0.55)*+.+(0.55)2k-1 +..]k=1=0.45×0.55[1+(0.55)? +(0.55)* +..+(0.55)2(k-1) +.. ]1-[(0.55)jk0.45x0.5511=0.45x0.55lim1-(0.55)2—1-(0.55)2-310,x<0 tdt,0≤x<14 、解：由 F(x)=f(l)dt 得F(x)=即tdt+(2-t)dt,1≤x<2Jtdt+['(2-1)dt, x≥2

总习题二详解 1、解：X 的所有可能取值为 0，1，2，且 3 13 3 15 22 { 0} 35 A P X A = = = ， 1 2 2 13 3 15 12 { 1} 35 A A P X A = = = ， 2 1 2 13 3 15 1 { 2} 35 A A P X A = = = ，所以 X 的分布律为 X 0 1 2 P 22 35 12 35 1 35 2、解：由离散型随机变量分布律的归一性得， 0 1 ! k k C k   =  = ，即 0 1 ! k k C k   =  = ，而 0 ! k k e k    =  = 所以 C e = （这里 0 ! k k e k    =  = 是利用 ( ) x f x e = 的幂级数展开式 0 ! k x k x e k  = = 得到的， 请查阅《微积分》教材第九章的第 4 节中的例 4）. 3、解：（1）X 的所有可能取值为：1，2，3，．．．k．．．且 P X{ 1} 0.45 = = ， P X{ 2} (1 0.45) 0.45 = = −  ， 2 2 P X{ 3} (1 0.45) 0.45 (0.55) 0.45 = = −  =  ，．．．， 1 1 { } (1 0.45) 0.45 (0.55) 0.45 k k P X k − − = = −  =  ，．．．，故 X 的分布律为 1 { } (0.55) 0.45,( 1,2,3.) k P X n k − = =  = （2）所求为 3 5 2 1 1 { 2 } 0.45[0.55 (0.55) (0.55) . (0.55) .] k k P X k  − =  = = + + + + + 2 4 2( 1) 0.45 0.55[1 (0.55) (0.55) . (0.55) .] k− =  + + + + + 2 2 2 1 [(0.55) ] 0.45 0.55 11 0.45 0.55lim 1 (0.55) 1 (0.55) 31 k k→ −  =  = = − − 4 、解：由 ( ) ( ) x F x f t dt − =  得 0 1 0 1 1 2 0 1 0, ,0 1 ( ) (2 ) ,1 2 (2 ) , 2 x x x tdt x F x tdt t dt x tdt t dt x         =  + −      + −        即

0,x1. 5)n (x,1. 5)P(x,1.5)n(x,<1.5)n(x <1.5)=(1-X-2289.解：（1）从中午12点至下午3点（15点）×服从参数为三(15-12)=的泊松分布

2 0, ,0 1 2 ( ) (2 ) 1,1 2 2 1, 2 x x x F x x x x x         =   − −       5、解：（1）P={X＜1}=P{X≤1}=F(1)=ln1=0，P{0＜X≤3}=F(3)-F(0)=1=0=1 （2）f(x)=F′(x)= 1 ,1 0, 1 1 x e x x x          或 6、解：有题意得 X 的分布函数为： 0, 0 ( ) ,0 5 5 1, 5 x x F x x x     =        7、解：由 X 的分布律易得 Y=X2 的分布律为 X 2 2 ( 2) − 2 ( 1) − 2 0 2 1 2 3 P 1 5 即为 Y 0 1 4 9 P 7 30 1 5 8、解：（1）由 ，即 ，得 （2）若观测值 中恰有一个大于 1.5 的是 ，则有 P{( 1 x ＞1.5)∩（ ＜1.5）∩（ ＜1.5）}=P{ ＞1.5}P{ 2 x ＜1.5}P{ 3 x ＜1.5} =[1- P{ 1 x ＜1.5}] P{ ＜1.5}P{ ＜1.5}， 且 P{ ＜1.5}= P{ ＜1.5}= P{ ＜1.5} = 1.5 0 f x dx ( ) =  2 1 1.5 1 1.5 0 1 0 1 1 1 2 2 4 2 2 x x x dx dx + = + =   ， 于是 P{( 1 x ＞1.5)∩（ 2 x ＜1.5）∩（ 3 x ＜1.5）}= 1 1 1 1 (1 ) 2 2 2 8 −   = 9.解：（1）从中午 12 点至下午 3 点（15 点）X 服从参数为 1 3 (15 12) 2 2 − = 的泊松分布， 1 6 1 5 1 15 11 30 1 5 11 30 f x dx ( ) 1 + − =  1 2 3 0 1 2 axdx adx ax a dx + + − + = ( 3 ) 1    1 2 a = 1 2 3 x x x , , 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x

(3)*e-i所求为P(X=0)=e-=0.223其分布律为PX=k:k!(2） 此时×服从参数为的泊松分布，其分布律为P(X=k)=所求为2k!P(X≥1)=1-P(Xx)≤0. 05 得 P(X≤x)>0. 95,而 P(X≤x)= 0(-110)12)≥0.95，仅查正态分布表得-110即Φ(-110)≥1.645，解得x≥129.74，1212所以x=129.742-3.13、解：(1) P(X|>2)=1-P(X≤2)=1-P(-2≤X≤2)=1-Φ(二+Φ22)+@(-5)1=1-Φ(-)=1-[1-0()]+[1-0()]22=Φ(0.5)+1-Φ(2.5)=0.697714、解：由F(x)是连续函数得，F(x)在x=1点也是连续的，所以有F(It)= lim F(x)=lim(Ax)= A=F(I)=1, 即 A=1,x-→1x-→>10,x<0,2x,0≤x<1于是F(x)=x2,0≤x<1,，×的密度函数f(x)=F(x)=10,其它1,x≥1

其分布律为 3 3 2 2 ( ) { } ! k e P X k k − = = ，所求为 3 2 P X e ( 0) 0.223 − = = = （2）此时 X 服从参数为 5 2 的泊松分布，其分布律为 5 5 2 2 ( ) { } ! k e P X k k − = = ，所求为 P{X≥1}=1-P{X＜1}=1-P{X=0}= 5 2 1 0.918 e − − = 10.解：设测高器的误差为 X，则 X～ 2 N(0, )  ，已知 P{-2.5＜X＜2.5}=0.90，即 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 ( ) ( ) ( ) [1 ( )] 2 ( ) 1 0.90      −  −  =  − −  =  − = ，所以 2.5 ( ) 0.95   = ，查正态分布表得， ，故  1.52 11、解：P{1＜ 2 X ＜4}=P{1＜ X ＜2}=P{ ＜2}-P{ ＜1}=P{-2＜X＜2}- P{-1＜X＜1} = 2 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2( ) 1 2 (0.4) 2 (0.2) 5 5 5 5 5 5 − −  −  −  −  =  − − + =  −  12、解：（1）P{X≥110}=1-P{X＜110}=1- =1- = ， P{100＜X≤120}= 120 110 100 110 10 10 ( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 12 12 − − −  −  =  −  5 2 ( ) 1 0.5934 6 =  − = （2）由 P{X＞ x }≤0.05 得 P{X≤ }＞0.95,而 P{X≤ x }= 110 ( ) 12 x −  即 110 ( ) 0.95 12 x −   ，仅查正态分布表得 ，解得 ， 所以 13、解：（1）P{ X ＞2}=1-P{ ≤2}=1-P{-2≤X≤2}=1- 14、解：由 F(x)是连续函数得，F(x)在 x=1 点也是连续的，所以有 2 1 1 (1 ) lim ( ) lim( ) (1) 1 x x F F x Ax A F + + + → → = = = = = ，即 A =1 ， 于是 ，X 的密度函数 2.5 1.645  = X X = − = 2(0.6554 0.5793) 0.1522 110 110 ( ) 12 −  (0) 1 2 x 110 1.645 12 x −  x 129.74 x =129.74 X 2 3 2 3 ( ) ( ) 2 2 − − −  +  1 5 1 5 1 ( ) ( ) 1 [1 ( )] [1 ( )] 2 2 2 2 = −  − +  − = − −  + −  =  + −  = (0.5) 1 (2.5) 0.6977 2 0, 0, ( ) ,0 1, 1, 1. x F x x x x    =       2 ,0 1 ( ) '( ) 0, x x f x F x    = =   其它

15、解：设在月初进货时要库存此商品k件，才能以99%的概率满足顾客的要求，则所求为：3*e-3P(X =k)= -=0.99，解得：k=8k!4X"x，记V的分13一16、解：设球的直径为X，则X～U(a,b)，且球的体积为V元362布函数为F(y)，则6yF,()= P(V≤以= P(x≤)= P(X≤6所以球体积的密度函数f,(y)=F,y)=fx([0,其它[6y元a?1元b3Sys663(b-a) V 元(x-μ)12g217、解：由X~N(μ,α2)知，其密度函数f(x)=，而已知12元0r2_4x+k(x-2) +, 412x4232，因此μ=2,k=4,g=4,k=f(x)=k,e=ke4/2元18、解：方程4x2+4cx+c+2=0，当（4c)2-16(c+2)≥0时有实根，即c≥2或c≤-1，=-3故P（方程4x2+4cx+c+2=0有实根）=12=5J2.419、解：设Y的分布函数为F（y)，则有F(y)=P(Y≤y) = P(4- X? ≤y)= P(X2 ≥4-y)= P(X|≥/4-y) = P(X≥ /4-y)U(X≤-4-y)=P(X≥/4-y)+P(X≤-/4-y)-+---1-/4-+JJ4-y22所以Y的密度函数为：1,3≤y<42/4-yfr()= F()=320,其它

15、解：设在月初进货时要库存此商品 k 件，才能以 99%的概率满足顾客的要求，则所求为： ，解得： 16、解：设球的直径为 X，则 X～U(a,b)，且球的体积为 ，记 V 的分 布函数为 ，则 所以球体积的密度函数 3 3 6 6 ( ) '( ) ( )( )' V V X y y f y F y f   = = 3 3 0, 1 6 , 3( ) 6 6 y a b y b a      =      − 其它 17、解：由 X～N 2 ( , )   知，其密度函数 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x f x e    − − = ，而已知 2 2 2 2 2 4 ( 2) 4 32 2 4 1 1 ( ) x x k x k f x k e k e − + − + − − −  = = ，因此 2 1 1 2, 4, 4, 4 2   k k  = = = = 18、解：方程 2 4 4 2 0 x cx c + + + = ，当 2 (4 ) 16(c 2) 0 c − +  时有实根，即 c  2 或 ， 故 P{方程 有实根} 5 5 2 2 1 3 5 5 5 x = = = dx  19、解：设 Y 的分布函数为 ( ) F y Y ，则有 2 ( )= { } {4 } F y P Y y P X y Y  = −  2 =  − =  − P X y P X y { 4 } { 4 } =  −  − − P X y U X y {( 4 ) ( 4 )} 1 4 1 4 4 1 4 1 1 1 1 4 2 2 2 2 y y y y t t dt dt y − − − − − − − − = + = + = − −   ， 所以 Y 的密度函数为： 1 ,3 4 ( ) '( ) 2 4 0, Y Y y f y F y y     = =  −   其它 3 3 { } 0.99 ! k e P X k k − = = = k = 8 4 3 3 ( ) 3 2 6 X V X  = =  ( ) F y V 3 3 3 6 6 ( ) { } { } { } ( ) 6 V X y y F y P V y P X y P X F    =  =  =  = c −1 2 4 4 2 0 x cx c + + + = =  − +  − − P X y P X y { 4 } { 4 }

20. : 由随意知顾客高开的极率为 P(>≥10- / ()±- ed =-c/= -2,于是 Y~B(5,e-),其分布律为 P(Y=k)=C(e~)*(1-e-2)5-k,=0,1,2,3,4,5,所以P(Y ≥1) =1-P[YbX≤-P(Xs6)b3+83x-dx2-12J-1

20、解：由题意知顾客离开的概率为 P{X＞10}= 5 5 2 10 10 10 1 ( ) 5 x x f x dx e dx e e + + − − + − = = − =   ， 于是 Y～B 2 (5, ) e − ，其分布律为 2 2 5 5 ( ) ( ) (1 ) , 0,1,2,3,4,5 k k k P Y k C e e k − − − = = − = ， 所以 P Y{ 1} 1  = − P{Y＜1}=1- 2 5 1 { 0} 1 (1 ) 0.5167 P Y e− − = = − − = . 21、解：P{X＞b 2 b X  }= 3 2 2 2 3 3 2 2 3 2 1 1 { } 3 7 2 8 { } 3 2 b b b b b b b x P b X x dx b b b P X x dx x − −   − = = = +   

第二章随机变量及其分布自测题（一）填空题（每小题2分，共10分）1.设x~N(μ,),P(X≤65)=},则μ=22.设X的概率密度为f(x)，则P(aμ)(B) P(Xμ)(C)P(XP(X>μ)(D) P(Xμ)已知随机变量X的分布律如下，3.023X-11PK0.30.20. 10. 2则K的值（)(A) 1(B)0.2(C)0.3(D)0. 14.：已知随机变量X的分布律如下，x-10123P0.20. 10.30.20. 2则EX（)(A) 1. 5(B)1. 7(C)1. 3(D)1. 15.已知随机变量X的分布律如下，03X-1V2P0.20. 10. 20.30.2)且Y=2X+1，则EY的值（

第二章 随机变量及其分布自测题（一） 一、 填空题(每小题 2 分，共 10 分） 1.设 2 X N~ ( , )   ， 1 (X 65)= 2 P  ，则  =_ ． 2.设 X 的概率密度为 f(x)，则 P a b ( X )   为_ ． 3. 离 散 型 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.5, 则 P(X ≤ 1.5)=_ ． 4.连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x),则概率 P(X≥a)用 F(x)表示为_ ． 5. X N(0,1) ，则  − = ( ) x _ ． 二、 单选题(每小题 2 分，共 10 分） 1.设总体 2 X N(1,3 ) ，则有（ ） 1 ( ) ( 3) 2 3 A P X  = =  2 1 (B) P(X =1) = (C) 2 1 P(X 1) = (D) 2 1 P(X  3) = 2.设 2 X N( , )   (正态分布)，则（ ）成立. ( ) ( ) ( ) A P X P X      ( ) ( ) ( ) B P X P X  − =    ( ) ( ) ( ) C P X P X      ( ) ( ) ( ) D P X P X  =    3. 已知随机变量 X 的分布律如下， X -1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.2 K 0.3 则 K 的值( ) ( ) A 1 ( ) B 0.2 ( ) C 0.3 ( ) D 0.1 4. 已知随机变量 X 的分布律如下， X -1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.2 0.2 0.3 则 EX ( ) ( ) A 1.5 ( ) B 1.7 ( ) C 1.3 ( ) D 1.1 5. 已知随机变量 X 的分布律如下， X -1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.2 0.2 0.3 且 Y=2X+1，则 EY 的值( )