长春大学：《高等数学》课程作业习题（概率论与数理统计）第一章 随机事件及其概率总习题、自测题及其详解

第一章随机事件及其概率总习题、自测题及其详解

第一章 随机事件及其概率 总习题、自测题及其详解

总习题一1.已知P(A)=0.7，P(B)=0.4，P(AUB)=0.9，则有P(AB)=P(A-B)=11， P(BIA)=, 则 P(4|B)=-P(B)=2.已知P(A)3263*设A,B,C是三个随机事件,AC,BC,P(A)=0.7,P(A-C)=0.4,P(AB)=0.5则 P(ABC)=4. 已知 P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(A|B)=0.32.求 P(AUB)及P(AB)11,P(AB) = 0, P(AC)= P(BC)= 5. 已知 P(A)=P(B)=P(C)=，求事件A,B,C61全不发生的概率，6．从0,1,2,3…，9这10个数码中随机可重复地取出5个数码作为电话号码.求下面事件的概率：A=(5个数码全相同)：B=[5个数码全不相同);C=[5个数码中数码3出现两次),7.将数码1,2,3，.，n随机排成一列，求至少有一个数码与它占位置的号数一致的概率8*.甲袋中有9个白球与1个黑球共10个球，乙袋中只有10个白球，每次从甲、乙袋中随机的各取1个球，交换放入另一袋中，这样做了三次，求黑球仍在甲袋中的概率9.设A、B是两事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7，问（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P（AB)取到最小值，最小值是多少？10.某工厂的产品合格率为0.96，而合格品中的一级品率为0.75，求该工厂产品的一级品率11.袋中有a个白球和b个红球，从中任意取一球，然后放回，并同时再放入与取出的球同色的球c个，再取出第二个球，按此手续，连续去3个球，求第一次、第二次都取红球，第三次去白球的概率12.某工厂有车床300台，各台车床发生故障的概率都是0.01，且各台车床故障的发生是相互独立的.在通常情况下，一台车床的故障可以由一名维修工人来处理。今该工厂配有3名维修工人，问1.车床发生故障而不能及时修理的概率是多少？2.若要保证不能及时修理的概率小于0.05，需要配备几名工人？13*，甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两次，每次试验的成功率甲为0.7，乙为0.6，试求二人试验成功次数相同的概率，14*，设每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，已知k次命中时击毁目标的概率为

总 习 题 一 1. 已 知 P(A)=0.7 ， P(B)=0.4 ， P(AB) = 0.9 ，则有 P(AB) = ， P(A− B) = . 2. 已知 2 1 P(A) = ， 3 1 P(B) = ， 6 1 P(B | A) = ，则 P(A| B) = . 3*.设 A, B,C 是三个随机事件, A  C, B  C, P(A) = 0.7, P(A − C) = 0.4, P(AB) = 0.5, 则 P(ABC) = _ . 4. 已知 P(A) = 0.3， P(B) = 0.4， P(A| B) = 0.32.求 P(AB) 及 P(AB) . 5. 已知 6 1 , ( ) 0, ( ) ( ) 4 1 P(A) = P(B) = P(C) = P AB = P AC = P BC = ，求事件 A, B,C 全不发生的概率. 6. 从 0,1,2,3.，9 这 10 个数码中随机可重复地取出 5 个数码作为电话号码.求下面事 件的概率： A={5 个数码全相同}； B={5 个数码全不相同}; C={5 个数码中数码 3 出现两次}. 7. 将数码 1,2,3，.，n 随机排成一列，求至少有一个数码与它占位置的号数一致的 概率. 8*. 甲袋中有 9 个白球与 1 个黑球共 10 个球，乙袋中只有 10 个白球，每次从甲、乙袋 中随机的各取 1 个球，交换放入另一袋中，这样做了三次，求黑球仍在甲袋中的概率. 9.设 A、B 是两事件且 P A( ) 0.6 = ，P B( ) 0.7 = ，问（1）在什么条件下 P AB ( ) 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下 P AB ( ) 取到最小值，最小值是多少？ 10. 某工厂的产品合格率为 0.96，而合格品中的一级品率为 0.75，求该工厂产品的一级 品率. 11. 袋中有 a 个白球和 b 个红球，从中任意取一球，然后放回，并同时再放入与取出的 球同色的球 c 个，再取出第二个球，按此手续，连续去 3 个球，求第一次、第二次都取红球， 第三次去白球的概率. 12. 某工厂有车床 300 台，各台车床发生故障的概率都是 0.01，且各台车床故障的发生 是相互独立的.在通常情况下，一台车床的故障可以由一名维修工人来处理.今该工厂配有 3 名维修工人，问 1.车床发生故障而不能及时修理的概率是多少？ 2.若要保证不能及时修理的概率小于 0.05，需要配备几名工人？ 13*. 甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两次，每次试验的成功率甲为 0.7，乙为 0.6， 试求二人试验成功次数相同的概率. 14*. 设每次射击命中目标的概率为 p (0  p 1) ，已知 k 次命中时击毁目标的概率为

1-r（0<r<1).现在对目标进行n次射击，求目标被击毁的概率，15.在射击室里有9支枪，其中经试射的有2支，试射过的枪的命中率是0.8，未试射过的枪的命中率是0.1，今从射击室里任取一支枪，发射一次，结果命中，求“所取的枪未试射过”的概率16.一只箱子里，有n双不同型号的鞋子.从中随机取出2r只（2r<n）,求下列事件的概率：（1）没有两只同型号的：（2）恰有一双同型号的17.盒中装有5个乒乓球，其中仅有4个是新的，第一次比赛时，从中任取2个去用比赛后仍放回盒子中.第二次比赛时再从盒中任取2个球，求第二次取出的球都是新球的概率，18.已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(BAUB)19.从5双不总同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两配成一双的概率20.将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率21.医学资料表明，某一家3口人，患某种传染病的概率规律是：P(孩子得病)=0.6，P亲得病|孩子得病)=0.5，P(父亲得病|母亲及孩子得病)=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率22.现有两箱同种类的零件.第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品.今从两箱中任选处一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样.（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率23.若某种产品的废品率p=0.01，问：（1）需要取多少件产品，才能使一件废品也没有的概率≥0.95？1（2）需要取多少件产品，才能使至少出现一件废品的概率≥一？224.两个人，每个人掷三枚硬币，求“两人掷出的正面数相等”的概率25.如果二阶行列式的每一个元素都是0或1，并假定行列式各位置上的数均独立以概率1/2取0或1，求“二阶行列式的值大于0”的概率。26.已知100件产品中有10件是绝对可靠的正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而每次使用非正品时均有0.1的可能性发生故障。现从这100件产品中随机取出一件，若使用了n次均未发生故障，问n为多大时，才能有70%的把握认为所取的产品为正品27.将伯努利实验独立重复n次，假定在每次实验中成功的概率为P，失败的概率为q=1一p，求“在恰有r次成功的条件下，第i次试验成功”的概率

1 − r (0  r  1) k .现在对目标进行 n 次射击，求目标被击毁的概率. 15.在射击室里有 9 支枪，其中经试射的有 2 支，试射过的枪的命中率是 0.8，未试射过 的枪的命中率是 0.1，今从射击室里任取一支枪，发射一次，结果命中，求“所取的枪未试 射过”的概率. 16.一只箱子里，有 n 双不同型号的鞋子.从中随机取出 2r 只（2r<n）,求下列事件的概率： （1）没有两只同型号的；（2）恰有一双同型号的. 17.盒中装有 5 个乒乓球，其中仅有 4 个是新的，第一次比赛时，从中任取 2 个去用， 比赛后仍放回盒子中.第二次比赛时再从盒中任取 2 个球，求第二次取出的球都是新球的概 率. 18.已知 P A( ) 0.3 = , P B( ) 0.4 = ， P AB ( ) 0.5 = ，求 P B A B ( ). 19.从 5 双不总同的鞋子中任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两配成一双的概率. 20.将 3 个球随机放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概率. 21.医学资料表明，某一家 3 口人，患某种传染病的概率规律是： P{孩子得病}=0.6，P{母 亲得病|孩子得病}=0.5，P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病 的概率. 22.现有两箱同种类的零件.第一箱装 50 只，其中 10 只一等品；第二箱装 30 只，其中 18 只一等品.今从两箱中任选处一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽 样.（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第 二次取到的也是一等品的概率. 23.若某种产品的废品率 p = 0.01 ，问： （1）需要取多少件产品，才能使一件废品也没有的概率  0.95 ？ （2）需要取多少件产品，才能使至少出现一件废品的概率 1 2  ？ 24.两个人，每个人掷三枚硬币，求“两人掷出的正面数相等”的概率. 25.如果二阶行列式的每一个元素都是 0 或 1，并假定行列式各位置上的数均独立以概率 12 取 0 或 1，求“二阶行列式的值大于 0”的概率. 26.已知 100 件产品中有 10 件是绝对可靠的正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故 障，而每次使用非正品时均有 0.1 的可能性发生故障。现从这 100 件产品中随机取出一件， 若使用了 n 次均未发生故障，问 n 为多大时，才能有 70%的把握认为所取的产品为正品. 27.将伯努利实验独立重复 n 次，假定在每次实验中成功的概率为 p ，失败的概率为 q p = −1 ，求“在恰有 r 次成功的条件下，第 i 次试验成功”的概率

总习题一详解1.解：因为P(AB)=1-P(AB),且由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)得P(AB) = P(A) + P(B)- P(AUB) =0.7+0.4-0.9=0.2,所以P(AB)=1-0.2=0.8因为 A-B= AB,且(AB)U(AB)= A(BUB)= AQ= A则P[(AB)U(AB))=P(AB)+P(AB)= P(A)(AB 与 AB互不相容),于是P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.2=0.5，从而P(A- B)= P(AB)=0.5P(AB)2.解：因为P(A/B)=而由B=QB=(AUA)B得中P(B)P(B)= P[(AB)U(AB))= P(AB)+ P(AB) 于是P(AB)= P(B)-P(AB)= P(B)-P(A)P(B/A)=→-I×}=13264P(AB)_±_3所以 P(A/ B)=P(B)"1"43.解：因为ABC=AB-C，且由BC知，ABC，于是P(ABC)= P(AB-C)= P(AB)-P(C) ,再由 P(A-C)= P(A)-P(C)得P(C)= P(A)- P(A-C)= 0.7-0.4 = 0.3,所以P(ABC)= P(AB-C)= P(AB)-P(C)= 0.5-0.3 =0.24.解：因为P(AUB)=1-P(AUB)=1-[P(A)+P(B)-P(AB))=1- P(A)- P(B)+ P(AB)

总习题一 详解 1.解：因为 P AB P AB ( ) 1 ( ) = − ,且由 P AUB P A P B P AB ( ) ( ) ( ) ( ) = + − 得 P AB P A P B P AUB ( ) ( ) ( ) ( ) = + − =0.7+0.4-0.9=0.2, 所以 P AB ( ) 1 0.2 0.8 = − = 因为 A B AB − = ，且 ( ) ( ) ( ) AB U AB A BUB A A = =  = 则 P AB U AB P AB P AB P A [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) = + = ( AB 与 AB 互不相容), 于是 P AB P A P AB ( ) ( ) ( ) 0.7 0.2 0.5 = − = − = ，从而 P A B P AB ( ) ( ) 0.5 − = = 2.解：因为 ( ) ( ) ( ) P AB P A B P B = ，而由 B B AU A B =  = ( ) 得 P B P AB U AB P AB P AB ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) = = + ， 于是 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) 3 2 6 4 P AB P B P AB P B P A P B A = − = − = −  = , 所以 1 4 1 3 ( ) 3 ( / ) ( ) 4 P AB P A B P B = = = . 3.解：因为 ABC AB C = − ，且由 B C  知， AB C  ，于是 P ABC P AB C P AB P C ( ) ( ) ( ) ( ) = − = − ， 再由 P A C P A P C ( ) ( ) ( ) − = − 得 P C P A P A C ( ) ( ) ( ) 0.7 0.4 0.3 = − − = − = ， 所以 P ABC P AB C P AB P C ( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 0.3 0.2 = − = − = − = . 4.解：因为 P AUB P AUB P A P B P AB ( ) 1 ( ) 1 [ ( ) ( ) ( )] = − = − + − = − − + 1 ( ) ( ) ( ) P A P B P AB

而P(AB)=P(B)·P(AB)=0.4×0.32=0.128所以P(AUB)=1-0.3-0.4+0.128=0.428P(AB)=1- P(AB)=1-0.128 =0.8725.解：所求为P(ABC)，而事件ABC=AUBUC因此P(ABC)=P(AUBUC)=1-P(AUBUC)=1-[P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AB)-P(AC)- P(BC) + P(ABC))7×3-0_1x×2+0)==1-(12A66.解：样本空间包含样本点的个数n=105，事件A、B、C包含样本点分别是K,=Clo=10,K,=Ao=10×9×8×7×6=30240,K。=C×93=40511030240=0.3024,=0.0001, P(B)=于是P(A)=10510000105405P(C)==0.004051057.解：设A={至少有一个数码与它占位置的号数一致)，A={第i个数码占据第i个位置i=1，2.n),则A=UA，于是i=lP(A)= P(U A)= P(A)+ P(A,)+..+ P(A,)- P(AA,)- P(A,A,)-..P(A,A,)-P(A,A,)-..- P(A,A,)-...- P(A--A,)+ P(A,A,A,)+ P(A,A,A,)+.+ P(A,A-A.)-..+(-1)"- P(4,A...A,)-ZP(A)- Z P(4,A,)+ Z P(4A,4)-.+(-I)"--P(AA...A,)Lel1si<j<nIsisi<ksn样本空间包含样本点个数为n!，而事件A包含样本点个数为(n-1)!，因此(n-1)!_1P(A)=-(i=1,2,..n),n!n事件A,A,包含样本点个数为（n-2)！，因此1 (n-2)!P(A,A,)=n(n-1)n!类似地，可得P(4A,4)= (n-3).P(AA...A.)=n!n!所以

而 P AB P B P A B ( ) ( ) ( ) 0.4 0.32 0.128 = • =  = , 所以 P AUB ( ) 1 0.3 0.4 0.128 0.428 = − − + = , P AB P AB ( ) 1 ( ) 1 0.128 0.872 = − = − = 5.解：所求为 P ABC ( ) ，而事件 ABC AUBUC = ， 因此 P ABC P AUBUC P AUBUC ( ) ( ) 1 ( ) = = − ， = − + + − − − + 1 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] P A P B P C P AB P AC P BC P ABC 1 1 7 1 ( 3 0 2 0) 4 6 12 = −  − −  + = . 6.解：样本空间包含样本点的个数 5 n =10 ，事件 A、B、C 包含样本点分别是 1 5 2 3 10 10 5 10, 10 9 8 7 6 30240, 9 405 K C K A K C A B C = = = =     = =  = , 于是 5 10 1 ( ) 0.0001 10 10000 P A = = = ， 5 30240 ( ) 0.3024 10 P B = = ， 5 405 ( ) 0.00405 10 P C = = 7.解：设 A={至少有一个数码与它占位置的号数一致}，Ai={第 i 个数码占据第 i 个位 置}( i=1，2，．．．n),则 1 n i i A U A = = ，于是 1 2 1 2 1 3 1 1 2 3 2 1 1 2 3 1 3 4 1 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) . ( 1) ( . ) ( ) ( ) ( ) n i n n i n n n n n n n n i i j i j k i i j n i j P A P U A P A P A P A P A A P A A P A A P A A P A A P A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A P A A P A A A = − − − =      = = + + + − − − − − − − − + + + + − + − = − +   1 . ( 1) ( . ) n i j n k n P A A A −    − + − 样本空间包含样本点个数为 n!，而事件 Ai包含样本点个数为(n-1)!，因此 ( 1)! 1 ( ) ( 1, 2,., ) ! i n P A i n n n − = = = ， 事件 AAi j 包含样本点个数为 ( 2)! n − ，因此 ( 2)! 1 ( ) ! ( 1) i j n P A A n n n − = = − ， 类似地，可得 1 2 ( 3)! 1 ( ) ,. ( . ) ! ! i j k n n P A A A P A A A n n − = = ， 所以

11+(-1)"-1 1P(A)=n(n-1)n(n-1)(n-2)n!n-..+(-1)*-- --(-1)--+1:12！3！n!k!8.解：（解法一）设A={第i次交换后黑球在甲袋中），i=1,2,3，依题意%, P(4)=1P(A):1010因为A,的发生与事件A,与A,有关；而A,的发生又与A与A,有关，应用全概率公式，P(4)=P(4)P(4.|4)+P(4)P(4|4)=×%+×=8210101010100-18再次应用全概率公式，P(A)=1-P(A2):100P(4)= P(4)P(4|4)+P(4)P(4|丙)=%×%+18×六=0.756100~1010010（方法二）设事件A表示“在一次交换中黑球被取到”则无论黑球在哪个袋中，其被1取到的概率都是，而每次交换只有“黑球被取到”与“黑球没被取到”两种情况。10且各次交换中黑球是否被取到互不影响，这是一个独立重复试验问题，是属于三重贝努利试验，其黑球在三次交换中出现k次的概率为(2)3-*,k =0,1,2,3P(B)=C(1010P(4)= P(B,UB,)= P(B)+ P(B,)=(%) +C;(二)(?=0.75101009.解：（1)因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),且P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1，所以P(AB)±0，即AB±Φ，由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)知，使P(AB)最大，必须P(AUB)最小，由ABCA,ABCB，知P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B)，而已知P(A)<P(B)，所以当P(AUB)=P(B)时P(AUB)最小，即AcB时 P(AB)最大，此时 P(AB)=P(A)=0.6.(1）使P(AB)最小，再根据P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)知，必须P(AUB)最大，而P(AUB)=1为其最大值，即AUB=2,时P(AB)最小，此时P(AB)=1.3-1=0.310.解：设A=（合格品），B=（一级品），则B=AB，所以P(B)= P(AB)= P(A)P(BA) = 0.96 ×0.75 = 0.7211.解：设A={第一次取红球)，B=（第二次取红球)，C=（第三次取白球)，则所求为P(ABC)

2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) . ( 1) ( 1) ( 1)( 2) ! 1 1 1 ( 1) 1 . ( 1) 2! 3! ! ! n n n n k n k P A n C C n n n n n n n n k − − − = =  −  +  − + − − − − − = − + − + − =  8. 解 ：（ 解 法 一 ） 设 Ai={ 第 i 次 交 换 后 黑 球 在 甲 袋 中 } ， i=1,2,3 ，依题意 1 1 9 1 ( ) , ( ) 10 10 P A P A = = , 因为 A3 的发生与事件 A2 与 A2 有关；而 A2 的发生又与 A1 与 A1 有关，应用全概率公式， 2 1 2 1 1 2 1 9 9 1 1 82 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10 10 100 P A P A P A A P A P A A = + =  +  = , 2 2 18 ( ) 1 ( ) 100 P A P A = − = ，再次应用全概率公式， 3 2 3 2 2 3 2 82 9 18 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.756 100 10 100 10 P A P A P A A P A P A A = + =  +  = （方法二）设事件 A 表示“在一次交换中黑球被取到”则无论黑球在哪个袋中，其被 取到的概率都是 1 10 ，而每次交换只有“黑球被取到”与“黑球没被取到”两种情况。 且各次交换中黑球是否被取到互不影响，这是一个独立重复试验问题，是属于三重贝 努利试验，其黑球在三次交换中出现 k 次的概率为 3 3 1 9 ( ) ( ) ( ) , 0,1, 2,3 10 10 k k k P B C k k − = = 3 2 2 3 0 2 0 2 3 9 1 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.75 10 10 10 P A P B UB P B P B C = = + = + = 9.解：（1）因为 P AUB P A P B P AB ( ) ( ) ( ) ( ) = + − ,且 P A P B ( ) ( ) 0.6 0.7 1.3 + = + = ＞ 1 ，所以 P AB ( ) 0  ， 即 AB   ， 由 P AB P A P B P AUB ( ) ( ) ( ) ( ) = + − 知，使 P AB ( ) 最 大 ， 必 须 P AUB ( ) 最小，由 AB A AB B   , ，知 P AB P A P AB P B ( ) ( ), ( ) ( )   ，而已知 P A( ) ＜ P B( ) ，所以当 P AUB P B ( ) ( ) = 时 P AUB ( ) 最小，即 A B  时 P AB ( ) 最大，此时 P AB P A ( ) ( ) 0.6 = = . （1）使 P AB ( ) 最小，再根据 P AB P A P B P AUB ( ) ( ) ( ) ( ) = + − 知，必须 P AUB ( ) 最 大，而 P AUB ( ) =1 为其最大值，即 A B  = , 时 P AB ( ) 最小，此时 P AB ( ) 1.3 1 0.3 = − = . 10.解：设 A=｛合格品｝，B=｛一级品｝，则 B=AB，所以 P B P AB P A P B A ( ) ( ) ( ) ( ) 0.96 0.75 0.72 = = =  = 11.解：设 A={第一次取红球}，B=｛第二次取红球｝，C=｛第三次取白球｝，则所求为 P(ABC)

bb+c而P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB)，且P(A)=P(BA)=a+ba+b+caP(C|AB) :，于是a+b+2cbb+caP(ABC)=a+ba+b+ca+b+2c12.解：这是n=300，P=0.01的二项概率问题。（1）设A=（车床发生故障而不能及时维修)，则时间A发生就是有4台或4台以上车床同时发生故障，所以300P(A)= Pso(k)=1-Z Poo(k)=0.3528k=4k=0（2）若要保证不能及时维修的概率小于0.05，需要配备七名维修工人，则有 Pa() 0 0, 即≥Pm(k) 0. 95, ≥7.k=0k=t+113.解：设B={二人试验成功次数相同)，A=（两人试验各成功i次】i=0,1,2，则B=A.UAUA且Ao,A,A互斥，所以P(B)= P(A,UAUA)= P(A)+ P(A)+ P(A,)=(0.3)2×(0.4)+C,×0.7×0.3×C,×0.6×0.4+(0.7)2×(0.6)2=0.3924.14解：设B={目标被击毁)，A,=（n次射击中有k次击中目标]，k=0,1,2,,n，易见A,A,A...A,是两两互不相容的事件组，由于每次射击的命中率都是p，并且各次射击相互独立，因此应用二项概率公式得P(A)=C,p*(1-p)"-*,k=0,1..,n，依题意：P(BA)=1-rk,k=0,1.,n，再应用全概率公式ZP(A)P(B|A)=Zch p*(1- p)"-*(1-r)*P(B)= k=0k=0Zcp*(1- p)"-k-Zc,(pr)(1- p)"-k =1-c,(pr)*(1- p)"-k=k=0之c(pr)(1-p)"=(1-p+pr)",于是根据牛顿二项式公式：k=0P(B)=1-(1- p+ pr)15.解：设A=（从射击室里任取一支未试射的枪)，则A=(从射击室里任取一支经试射的枪

而 P ABC P A P B A P C AB ( ) ( ) ( ) ( ) = ， 且 ( ) , ( ) b b c P A P B A a b a b c + = = + + + ， ( ) 2 a P C AB a b c = + + ，于是 ( ) 2 b b c a P ABC a b a b c a b c + =   + + + + + . 12.解：这是 n=300，P=0.01 的二项概率问题。 （1）设 A=｛车床发生故障而不能及时维修｝，则时间 A 发生就是有 4 台或 4 台以上车床 同时发生故障，所以 300 3 300 300 4 0 ( ) ( ) 1 ( ) 0.3528 k k P A P k P k = = = = − =   . （2）若要保证不能及时维修的概率小于 0.05，需要配备七名维修工人，则有 300 300 1 ( ) k t P k = +  ＜0.05，即 300 0 ( ) t k P k =  ＞0.95，故 t≥7. 13.解：设 B={二人试验成功次数相同}， Ai =｛两人试验各成功 i 次｝i=0,1,2，则 B A UAUA = 0 1 2 且 0 1 2 A A A , , 互斥，所以 0 1 2 0 1 2 P B P A UAUA P A P A P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + + 2 2 1 1 2 2 2 2 =  +      +  = (0.3) (0.4) 0.7 0.3 0.6 0.4 (0.7) (0.6) 0.3924 C C . 14 解：设 B={目标被击毁}， Ak =｛n 次射击中有 k 次击中目标｝，k=0,1,2,.,n，易见 0 1 2 , , . A A A A n 是两两互不相容的事件组，由于每次射击的命中率都是 p ，并且各次 射击相互独立，因此应用二项概率公式得 ( ) (1 ) , 0,1,., k k n k P A C p p k n k n − = − = ， 依题意： ( ) 1 , 0,1,., k P B A r k n k = − = ，再应用全概率公式 0 0 ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) n n k k n k k k k n k k P B P A P B A C p p r − = = = = − −   0 0 (1 ) ( ) (1 ) n n k k n k k k n k n n k k C p p C pr p − − = = = − − −   0 1 ( ) (1 ) n k k n k n k C pr p − = = − −  根据牛顿二项式公式： 0 ( ) (1 ) (1 ) n k k n k n n k C pr p p pr − =  − = − + ，于是 ( ) 1 (1 )n P B p pr = − − + 15.解：设 A={从射击室里任取一支未试射的枪}，则 A ={从射击室里任取一支经试射的枪}

再设B=（发射一次命中），于是所求为P(A)P(BA)P(AB)P(A|B)=（贝叶斯公式）P(B)P(A)P(B|A)+ P(A)P(BA)7-x0.17923/×0.1+2×0.89916.解：这是古典概率模型，样本空间包含样本点数为C2(1)设A={没有两只同型号的),则事件A包含样本点数为C,C,..C,·C2r=22rC2，22"C2r所以 P(A)=Ccr（2）设B=恰有一双同型号的），则事件B包含样本点数为_n22r-lC2r-2C,C,C...Cj Cr? = 22r-c22, 所以 P(B)=C2r17.解：设A=（第二次取出的2个球都是新球)，B=（第一次取出的2个球中恰有i个新球）（i=1,2），则由全概率公式得P(A)=P(AIB)=C.+C_22Ccc"50i=l18.解： 因为 P(B|AUB)= P[(AUB)B)P(AB)P(A)+ P(B)- P(AB)P(AUB)而由 A= AQ= A(BUB)= ABUAB得 P(A)= P(AB)+ P(AB),于是P(AB)= P(A)- P(AB)= 0.7-0.5 = 0.2 ,0.2所以P(BAUB)==0.25.0.7+0.6-0.519.解：设A=（4只鞋子中至少有2只配成一双），则P(A)=1-CCCCC _ 1321CioC×3!_6320.解：设A=【杯子中球的最大个数为i)，i=1,2,3，则有P(A）=43-168C_1C2×3×29P(A)=,P(A)=43164316°

再设 B=｛发射一次命中｝，于是所求为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A = = + （贝叶斯公式） = 7 0.1 9 7 7 2 23 0.1 0.8 9 9  =  +  . 16.解：这是古典概率模型，样本空间包含样本点数为 2 2 r C n （1）设A=｛没有两只同型号的｝，则事件A包含样本点数为 1 1 1 2 2 2 2 2 2 . 2 r r r C C C C C n n  = ， 所以 2 2 2 2 2 ( ) r r n r n C P A C = （2）设 B={恰有一双同型号的}，则事件 B 包含样本点数为 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 . 2 r r r C C C C C n C n n n − − − − −  = ，所以 2 1 2 2 1 2 2 2 ( ) r r n r n n C P B C − − − = . 17.解：设 A=｛第二次取出的 2 个球都是新球｝， Bi =｛第一次取出的 2 个球中恰有 i 个新球｝（i=1,2），则由全概率公式得 2 1 1 2 2 2 4 1 4 2 3 2 2 2 2 1 5 5 5 9 ( ) ( ) ( ) 50 i i C C C C C P A P A B = C C C = =  + =  . 18.解：因为 [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P AU B B P AB P B AU B P AU B P A P B P AB = = + − ， 而由 A A A BU B ABUAB =  = = ( ) 得 P A P AB P AB ( ) ( ) ( ) = + ， 于是 P AB P A P AB ( ) ( ) ( ) 0.7 0.5 0.2 = − = − = ， 所以 0.2 ( ) 0.25 0.7 0.6 0.5 P B AU B = = + − . 19.解：设 A=｛4 只鞋子中至少有 2 只配成一双｝，则 4 1 1 1 1 5 2 2 2 2 4 10 13 ( ) 1 21 C C C C C P A C = − = 20.解：设 Ai =｛杯子中球的最大个数为 i｝，i=1,2,3，则有 1 4 1 3 3! 6 3 ( ) 4 16 8 C P A  = = = ， 2 4 2 3 3 3 2 9 ( ) , ( ) 4 16 C P A P A   = = = 1 4 3 1 4 16 C =

21.解：设A={孩子得病)，B=（母亲得病)，C=（父亲得病)，则所求为P(BAC)，由乘法公式有：P(BAC)=P(A)P(BA)P(CAB)，而已知P(CAB)=0.4，则P(CAB)=1-P(CAB)=1-0.4=0.6，所以P(BAC)=0.6×0.5×0.6=0.1822.解：设A={取到第一箱)，则A={取到第二箱)（1）再设B,={第一次取到的零件是一等品)，则由全概率公式得P(B)=P(4)P(B,[4)+P(A)P(B[)=↓×10x4 +→×18×29=0.4250×49230×29（2）另设C,={第一次取到第一箱的一等品)，C,=（第一次取到第二箱的一等品)，118110P(C2)B,={第二次取到的零件也是一等品)，则P(C)：再由2~50230全概率公式得：P(B,)= P(C)P(B,C)+ P(C)P(B2C2)11019118118110117)=0.48562*502*49+2*30+*305*50+2*2923.解：（1）设取k件产品，才能使一件废品也没有的概率（1-0.01)*≥0.95，即(0.99)*≥0.95，易得k≤51（2）设取n件产品，才能使至少出现一件废品的概率1-(0.01)"，即2(0.99)"≤0.5，易得n≥6924.解：设B={两人掷出的正面数相等)，A=（两人各掷出i个正面)，i=0，1,2,3，则B=AUAUAUA，且A,A,A,A互，所以113333115P(B)= P(A)+ P(A)+P(A)+ P(A) :8888888816a11a225.解：设A={二阶行列式的值大于0)，并记二阶行列式为则 A=( a=1 ,a2ia22α2=1，a2和a2,中至少有一个是0)，因为二阶行列式各位置上的数均独立地以1-1.1)-311概率：取0或取1，所以P(A)=122-1622 2(26.解：设B={使用n次均无故障)，A=(取出正品)，A,=（取出非正品)，所求是满足

21.解：设 A={孩子得病}，B=｛母亲得病｝，C=｛父亲得病｝，则所求为 P BAC ( ) ，由乘法 公式有： P BAC P A P B A P C AB ( ) ( ) ( ) ( ) = ，而已知 P C AB ( ) 0.4 = ， 则 P C AB P C AB ( ) 1 ( ) 1 0.4 0.6 = − = − = ，所以 P BAC ( ) 0.6 0.5 0.6 0.18 =   = 22.解：设 A={取到第一箱}，则 A ={取到第二箱} （1）再设 B1 ={第一次取到的零件是一等品}，则由全概率公式得 1 1 1 1 10 49 1 18 29 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.4 2 50 49 2 30 29 P B P A P B A P A P B A   = + =  +  =   （2）另设 C1 ={第一次取到第一箱的一等品}， C2 =｛第一次取到第二箱的一等品｝， B2 ={第二次取到的零件也是一等品}，则 1 2 1 10 1 18 ( ) , ( ) 2 50 2 30 P C P C =  =  ，再由 全概率公式得： 2 1 2 1 2 2 2 P B P C P B C P C P B C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1 10 1 9 1 18 1 18 1 10 1 17 ( ) ( ) 0.4856 2 50 2 49 2 30 2 30 2 50 2 29 =   +  +   +  = 23.解：（1）设取 k 件产品，才能使一件废品也没有的概率 (1 0.01) 0.95 k −  ，即 (0.99) 0.95 k  ，易得 k  5 （2）设取 n 件产品，才能使至少出现一件废品的概率 1 1 (0.01) 2 n −  ，即 (0.99) 0.5 n  ，易得 n  69 24.解：设 B={两人掷出的正面数相等}， Ai =｛两人各掷出 i 个正面｝，i=0，1,2,3，则 B A UAUA UA = 0 1 2 3 ，且 0 1 2 3 A A A A , , , 互斥，所以 0 1 2 3 P B P A P A P A P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + 1 1 3 3 3 3 1 1 5 8 8 8 8 8 8 8 8 16 =  +  +  +  = 25.解：设 A={二阶行列式的值大于 0}，并记二阶行列式为 11 12 21 22 a a a a ，则 A={ 11 a =1 ， 22 a =1 ， 12 a 和 21 a 中至少有一个是 0}，因为二阶行列式各位置上的数均独立地以 概率 1 2 取 0 或取 1，所以 1 1 1 1 3 ( ) (1 ) 2 2 2 2 16 P A =  −  = 26.解：设 B={使用 n 次均无故障}， A1 ={取出正品}， A2 =｛取出非正品｝，所求是满足

P(AB)≥0.70的n,P(A)P(B4)0.1×1而 P(4 |B)=P(4)P(B[4)+P(4)P(B[4)0.1x1+0.9×(0.9)"0.10.1+(0.9)*+0.1由0 1+(0.9)m 0.70, 即0.043≥(0.9),， 易得 n≥29.27.解：设B=(n次试验中恰有r次成功)，A,=（第i次试验成功)，i=1,2,…,n。则所求概率为P(A,)P(B|4,) _ pCr=1 pr'ga"-1)-(r-1)Cr-p'q""rP(A |B) =P(B)C,p'q"-Chp'q"-rn

1 P A B ( ) 0.70  的 n， 而 1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) 0.1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.1 1 0.9 (0.9)n P A P B A P A B P A P B A P A P B A  = = +  +  1 0.1 0.1 (0.9)n+ = + ， 由 1 0.1 0.70 0.1 (0.9)n+  + ，即 1 0.043 (0.9)n+  ，易得 n  29 . 27.解：设 B={n 次试验中恰有 r 次成功}， Ai =｛第 i 次试验成功｝，i=1,2,.,n。则所求概 率为 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) r r n r r r n r i i n n i r r n r r r n r n n P A P B A pC p q C p q r P A B P B C p q C p q n − − − − − − − − − − − = = = =