长春大学：《高等数学》课程作业习题（微积分）第四章 不定积分总习题、自测题及其详解

第四章不定积分总习题、自测题及其详解

第四章 不定积分 总习题、自测题及其详解

总习题四1.求下列各不定积分，-273xx2.3*-5.2dx(3)3#COS231(6)5Xx2+925x2x-31-x2dx :782-3x+8dx(10)xcos? x/tan x1(12)[sinxcos'xdx :(11)(arcsinx)?i-xa) +ldx(13)14/x+1派(15)dx(16)x(/x+/x)[x2~4-xdx:(17)(18)dx1（19）(20)dxdx1+x2)V1+x[xsin2xdx :Inxdx（21)[ xarctan xdx ;(23)（24）4x3X2x2-5(25)dx5x2+62.若f(x)的导函数是sinx，求f(x)的全体原函数

总习题四 1. 求下列各不定积分. (1) 3 27 3 x dx x − −  ； (2) 2 2 3 1 x dx + x  ； (3) 2 3 5 2 3 x x x dx  −   ； (4) 2 2 sin 1 cos 2 x dx x − +  ； (5) 2 1 1 25 dx − x  ； (6) 2 1 2 9 dx x +  ； (7) 2 2 3 3 8 x dx x x − − +  ； (8) 2 x x dx 1−  ； (9) 3 2 x x e dx −  ； (10) 2 1 cos tan dx x x  ； (11) 2 2 1 (arcsin ) 1 dx x x −  ； (12) 3 5 sin cos x xdx  ； (13) 3 ( ) 1 1 x dx x + +  ； (14) 4 1 dx x x +  ； (15) 3 3 ( ) x dx x x x +  ； (16) 1 2 x dx x x + −  ； (17) 2 2 x x dx 4 −  ； (18) 2 2 2 a x dx x −  ； (19) 2 2 2 (1 ) x dx + x  ； (20) 2 1 1 dx x x +  ； (21) x xdx sin 2  ； (22) 2 ln xdx  ； (23) x xdx arctan  ； (24) 3 3 1 4 x dx x x − −  ； (25) 2 4 2 2 5 5 6 x dx x x − − +  . * 2 . 若 f x( ) 的导函数是 sin x ，求 f x( ) 的全体原函数

xxdx3*.求-cosxdx4.求1-cos2x5解答下列各题[evzx- dx:(1)求x(2) 求[dxx4+2x2+5(3)设[xf(x)dx=arcsinx+C,求sin×是f()的一个原菌数，求Jx f(x)dx.,已知(4）x（这些题目都是硕士研究生入学统一考试试题，供大家参考。）

* 3 . 求 x x dx  . * 4 . 求 1 cos 1 cos2 x dx x − −  . * 5 解答下列各题 （1） 求 2 1 x e dx −  ； （2） 求 4 2 2 5 x dx x x + +  ； （3）设 xf x dx x C ( ) arcsin = +  ，求 1 ( ) dx f x  ； （4） 已知 sin x x 是 f x( ) 的一个原函数，求 3 x f x dx ( )  . （这些题目都是硕士研究生入学统一考试试题，供大家参考.）

总习题四详解1.求下列各不定积分，3.x-27dx22.3*-5.2dx(3)3#COS23-(6)5xx2+925x2x-31-xdx782-3x+8dx(10)dxcos? x/tan x1(12)[sin'xcos' xdx :(11)(arcsinx)i-xa +ldx(13)(14)/x+1派(15)dx(16)x(/x+/x)-2Vq2x[x2~4-xdx:(17)(18)dx(a>0) 1(19)(20)dxdx1+x2)V1+x[xsin2xdx:In’ xdx（21)[xarctan xdx;(23)(24)d4r3X2x2-5(25)dx5x2+6

总习题四详解 1. 求下列各不定积分. (1) 3 27 3 x dx x − −  ； (2) 2 2 3 1 x dx + x  ； (3) 2 3 5 2 3 x x x dx  −   ； (4) 2 2 sin 1 cos 2 x dx x − +  ； (5) 2 1 1 25 dx − x  ； (6) 2 1 2 9 dx x +  ； (7) 2 2 3 3 8 x dx x x − − +  ； (8) 2 x x dx 1−  ； (9) 3 2 x x e dx −  ； (10) 2 1 cos tan dx x x  ； (11) 2 2 1 (arcsin ) 1 dx x x −  ； (12) 3 5 sin cos x xdx  ； (13) 3 ( ) 1 1 x dx x + +  ； (14) 4 1 dx x x +  ； (15) 3 3 ( ) x dx x x x +  ； (16) 1 2 x dx x x + −  ； (17) 2 2 x x dx 4 −  ； (18) 2 2 2 ( 0) a x dx a x −   ； (19) 2 2 2 (1 ) x dx + x  ； (20) 2 1 1 dx x x +  ； (21) x xdx sin 2  ； (22) 2 ln xdx  ； (23) x xdx arctan  ； (24) 3 3 1 4 x dx x x − −  ； (25) 2 4 2 2 5 5 6 x dx x x − − + 

[2-27dx =[(αx-3) +3x+9]dx解：（1）「x-3=J(x* +3x+9)dx =兰+3r2+9x+c;323x2+3-33x心(2)dx=1+xdx =3x-3arctan x+c;[3dx-[H[2-3*-5.2′ d = [x=2 dx-5][() db2-5 ((3)3x2-3=2x-In2-In32-sinx1+cosxdx=/2xd(4)dx2cosx+cos2xtanxx+c22(5x)5251(5x)arcsin5x+C;56）2Vx3V22-arctan36x-3adx=[,-3x+8-d(x2-3x+8)(7)-3x+8=In|x2-3x+8|+c;(8)[x/1-xdx=--[/1-xd(1-x)(1

解：（1） 3 27 3 x dx x − −  2 ( 3)( 3 9) 3 x x x dx x − + + = −  2 = + + ( 3 9) x x dx  3 2 3 = + 9 3 2 x x + +x c ； （2） 2 2 3 1 x dx + x  2 2 3 3 3 1 x dx x + − = +  = 2 3 3 1 dx dx x − +   = − + 3 3arctan x x c ； （3） 2 3 5 2 3 x x x dx  −   2 2 2 5 2 5 3 3 x x dx dx dx       = −  = −                  2 3 2 5 ln 2 ln 3 x x c       = −  + − ； （4） 2 2 sin 1 cos 2 x dx x − +  2 2 1 cos 2cos x dx x + =  = 1 1 2 sec 2 2 dx xdx +   tan 2 2 x x = + + c ； （5） 2 1 1 25 dx − x  ( ) 2 1 1 5 5 1 (5 ) d x x = −  1 arcsin 5 5 = +x c ； （6） 2 1 2 9 dx x +  2 1 2 9 1 3 dx x =       +          2 2 arctan 6 3 = +x c ； （7） 2 2 3 3 8 x dx x x − − +  2 2 1 ( 3 8) 3 8 d x x x x = − + − +  2 = − + + ln 3 8 x x c ； （8） 2 x x dx 1−  1 2 2 1 (1 ) 2 = − − − x d x  3 2 2 1 (1 ) 3 = − − + x c ；

[x?.e- dx :（9）-r d(-x3lefcSer-（10）ddtanxcos?xytanxtanxtanx=2/tanx+c;(11)darcsinxdx(arcsinx)/-x?(arcsinxParcsinx(12)[sin'xcos' xdx =[sin x(1-cos’ x)cos' xdx=-J(1-cos’ x)cos xd cosx1cos"x-cosx+c86(Vx +1)(x- Vx +1)Vx+1(13）dxdb/x +1Vx+1-[(x-x+1)x=→-+x+c;23(14）设x=t，x=t4dx=4t dt,则C.4r3-dx =[dt4-x+4x1+[-1+ldt=4[(-1])d+J,-dtt+1= 2(t? -2t+21n|t+1)+c= 2(Vx-2/x+21n|x+1+c)(15）设x=t，x=t，dx=6tdt，则3/x

（9） 3 2 x x e dx −   ( ) 3 1 3 3 x e d x − = − −  1 3 3 x e c − = − + ； （10） 2 1 cos tan dx x x  2 sec 1 tan tan tan x dx d x x x = =   = + 2 tan x c ； （11） ( ) 2 2 1 arcsin 1 dx x x −  ( ) 2 1 arcsin arcsin d x x =  1 arcsin c x = − + ； （12） 3 5 sin cos x xdx  ( ) 2 5 = − sin 1 cos cos x x xdx  ( ) 2 5 = − −1 cos cos cos x xd x  = 1 1 8 6 cos cos 8 6 x x c − + ； （13） ( ) 3 1 1 x dx x + +  ( 1) 1 ( ) 1 x x x dx x + − + = +  = − + ( x x dx 1) 1 2 2 3 = 2 3 x x x c − + + ； （14） 设 4 x = t ， 4 x t = 3 dx t dt = 4 ,则 4 1 dx x x +  3 4 2 2 1 4 = t dt dt t t t t = + +   ( ) 2 1 1 1 4 4[ 1 ] 1 1 t dt t dt dt t t − + = = − + + +    = 2 2( 2 2ln 1) t t t c − + + + = 4 4 2( 2 2ln 1 ) x x x c − + + + ； （15） 设 6 x = t ， 6 x t = ， 5 dx t dt = 6 ，则 ( ) 3 3 x dx x x x +  ( ) ( ) 2 2 5 6 6 3 2 6 3 2 (6 ) = t t t dt dt t t t t t t  = + +  

= 6ln-6ln|t+1|+c/x+1x+1（16）（解法一）x/x/r2d(x-2)+v2x-=2/x-2+2arctan设x-2=t，x=?+2，dx=2tdt，则（解法二）[+2+l,2tdt =2(x+1dx=d2 +(2)1/x-2(t2 +2)t+actanx2x-2)+c=2/x-2+/2arctan= 2(t +V2(17）设x=2sint(t=arcsin)dx=2costdt，则[x?/4-x dx =[4sin?t.2costd2sint=16 sin’t.cos'tdt1- cos 4f t4sin?2tdt=422[| dt-Jcos 4td(4t) =2t-sin4t+c1=2t-↓:2sin 2tcos21+c2=2t-2sint-cost(1-2sin2t)+=2arcsin =-2.二.V4-222--14-V4-x2+=2arcsin242

2 1 1 1 6 6 ( ) 1 dt dt t t t t = = − + +   = 6ln 6ln 1 t t c − + + = ( ) 6 6 ln 1 x c x + + ； （16）（ 解法一） 1 2 x dx x x + −  1 1 2 2 dx x x x   = +     − −  = ( ) 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 x d x d x x   − − +     −   −   +       = 2 2 2 2 arctan 2 x x c − − + + ； （ 解法二） 设 x − 2 = t ， 2 x t = + 2, dx tdt = 2 ,则 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 .2 2( ) 2 ( 2) ( 2) 2 x t t dx tdt dt dt x x t t t t + + + + = = + − + + +     tan 2 2( ) c 2 x ac = + + = t 2 2 2 2 arctan 2 x x c − − + + （17） 设 x t = 2sin （ arcsin ) 2 x t = ， dx tdt = 2cos ，则 2 2 x x dx 4 −  2 2 2 = 4sin 2cos 2sin 16 sin cos t td t t tdt  =    = 2 1 cos 4 4 sin 2 4 2 t tdt dt − =   = cos 4 (4 )] 4 1 2[ dt td t   − = 1 2 sin 4 t 2 t c − + = 1 2 2sin 2 cos 2 2 t t t c −  + = ( ) 2 2 2sin cos 1 2sin t t t t c −  − + = 2 2 4 2arcsin 2 1 2 2 2 2 4 x x x x c −   −   −  +     = 3 2 2 2arcsin 4 4 2 2 4 x x x − − + − + x x c ；

（18）（解法X-arcsin=+c;1aX(解法二）设x=asint（t=arcsin=)dx=acostdt，则aVa?-xYa?-(asint)?rcostdt[cot? tdt = [(csc t -1)dtacostdt=(asint)?sin"tcOsX-cott-t+c=-arcsin=+cxsinxaaAJa?-x?-arcsin-+ca(19）设x=tant（t=arctanx），dx=sectdt，则tan"ttant2dtantsecsec-1-cos2t2sin2t+c24x-arctanxFC2(1 +x2)2（解法dxa(20)设XF=xdt=-In+ V1+Vi+t?

（18）（ 解法一 ) 2 2 2 a x dx x −  2 2 2 2 2 2 1 1 1 a x d a x dx x x a x = − − = − − − −   1 2 2 arcsin x a x c x a = − − − + ； (解法二） 设 x a t = sin （ arcsin ) x t a = ， dx a tdt = cos ，则 2 2 2 a x dx x −  2 2 2 2 2 2 2 (a sin ) cos = a cos cot (csc 1)dt (a sin ) sin a t tdt tdt tdt t t t − = = = −     2 1 ( ) cos cott t c arcsin sin x x x a t c x a x a − = − − + = − − = − − + 1 2 2 arcsin x a x c x a = − − − + （19） 设 x t = tan （ t x = arctan ）， 2 dx tdt = sec ，则 ( ) 2 2 2 1 x dx + x  2 2 4 2 tan tan tan sec sec t t d t dt t t = =   2 1 cos 2 sin 2 t tdt dt − = =   1 1 sin 2 2 4 = − + t t c = 2 1 arctan 2 2(1 ) x x c x − + + ； （20） （解法一）设 1 x t = ， 1 t x = 2 1 dx dt t = − 2 1 1 dx x x +  2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 1 d t t t t dt t t dt t t c t = +   = −  +   = − = − + + + +   

设x=tant（t=arctanx)，dx=sec tdt，则（解法二）1sect.sectdtd1tanttan t/1 + tan? t-Jcsc tdt= ncsct-cott+cn+-Y11,csct=/1+cot"1=/1+()cott=tant(注：(21) [xsin2xdx =- xd(cos2x)=-(xcos 2x-Jcos 2xdx1xcos2x+sin2x+c4.(22)[In'xdx =xn'x-J xd In'x=xn' x-2[In xdx=xn x-2(xinx-J xd Inx)=xln2x-2x(lnx-1)+c;(23) [xarctan xdx =[arctan xdXdarctanxarctanxxarctanx2211xarctanxarctanx+c:X-2122(24)

= 1 ln 1 x c x + − + ２ １ ； （解法二） 设 x t = tan （ t x = arctan ）， 2 dx tdt = sec ，则 2 2 2 1 1 sec .sec 1 tan 1 tan tan t dx tdt dt x x t t t = = + +    = tdt = t − t + c  csc ln csc cot = 1 ln 1 x c x + − + ２ １ （注： 2 2 ) 1 ,csc 1 cot 1 ( 1 tan 1 cot x t t t x t = = = + = + ） （21） x xdx sin 2  ( ) 1 = cos 2 2 − xd x  ( ) 1 cos 2 cos 2 2 = − − x x xdx  = 1 1 cos 2 sin 2 2 4 − + + x x x c ； （22） 2 ln xdx  2 2 2 = − = − x x xd x x x xdx ln ln ln 2 ln   ( ) 2 = ln 2 ln ln x x x x xd x − −  ( ) 2 = − − + x x x x c ln 2 ln 1 ； （23） x xdx arctan  2 = arctan 2 x xd        ( ) 2 2 2 2 2 1 arctan arctan = arctan 2 2 2 2 1 x x x x d x x x dx x = − − +   1 1 1 2 arctan arctan 2 2 2 = − + + x x x x c ； （24） 3 3 1 4 x dx x x − − 

- x) + (8x- 4)-7x4x4x347x(2x +1)(2x -1)(2x +1)8712x+12(2x -1)2(2x9/2(2x +1)2(2x-1+c16h11211.132/32V2x+>2x+/32.若f(x)的导函数是sinx，求f(x)的全体原函数.解：因为f(x)的导函数是sinx,即f"(x)=sinx,有f(x)=「sinxdx=-cosx+c[ f(x)dx=J(-cosx+c)dx=-sinx+cx+c2,3'.求[x|xdx.解：当x>0时，[xxx=[x?dx=！当x≤0时，[x|xdx={-x°dx=-cosx_dxcos2x-cosx dx =r1-cosx dx解：cos2x2sinx

3 3 1 (4 ) (8 4) 7 = 4 4 1 4 7 1 4 (2 1) (2 1)(2 1) 1 4 8 7 7 1 ( ) 4 2 1 2(2 1) 2(2 1) 1 4 9 7 1 4 2(2 1) 2(2 1) x x x xdx x x dx x x x x dx x x x x dx x x x − + − − −   = + −     + − +   = + − − +     +−+   = + − −     + −     1 7 9 ln ln 2 1 ln 2 1 4 16 16 = + − − − + + x x x x c ； (25) 2 4 2 2 5 5 6 x dx x x − − +  2 2 1 1 2 3 dx x x   = +     − −  1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 dx dx x x x x     = − + −       − + − +     1 2 1 3 ln ln 2 2 2 2 3 3 x x c x x − − = + + + + ． * 2 . 若 f x( ) 的导函数是 sin x ，求 f x( ) 的全体原函数. 解：因为 f x( ) 的导函数是 sin x ,即 f x x ( ) = sin ,有 1 f x xdx x c ( ) sin cos = = − +  f x dx x c dx x c x c ( ) cos sin = − + = − + + ( 1 1 2 )   ． * 3 . 求 x x dx  . 解：当 x  0 时, 2 3 1 3 x x dx x dx x c = = +   当 x  0 时, 2 3 1 3 x x dx x dx x c = − = − +   ． * 4 . 求 1 cos 1 cos2 x dx x − −  . 解： 1 cos 1 cos 2 x dx x − −  2 1 cos 2sin x dx x − = 