广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望

第四童随机变量的数字特行第一节数学期望一、数学期望的概念二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质四、小结概率论与数理统计（第4版）

第一节 数学期望 一、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、小结

4.1数学期望一、数学期望的概念引例1分赌本问题（产生背景）A,B 两人赌技相同，各出赌金100元，并约定先胜三局者为胜，取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时不得不终止赌博，如果要分赌金该如何分配才算公平？

引例1 分赌本问题(产生背景) A, B 两人赌技相同, 一、数学期望的概念 该如何分配才算公平? 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 外情况 , 在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 胜, 取得全部 200 元. 由于出现意 金100元, 并约定先胜三局者为 各出赌

4.1数学期望分析假设继续赌两局，则结果有以下四种情况ABAABABBA胜B负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负把已赌过的三局(A胜2局B胜1局）与上述结果相结合，即A、B赌完五局A胜2局B胜1局前三局：AAABBABB后二局：A胜B胜K

前三局: A 胜 2 局 B 胜 1 局 后二局: 把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果 相结合, 即 A、B 赌完五局, A A A B B A B B A 胜 B 胜 分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: A A A B B A B B A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 B胜A负

4.1数学期望故有，在赌技相同的情况下，，A,B最终获胜的可能性大小之比为3：1.3-而B只能获得赌金的即A应获得赌金的4因此，A能“期望”得到的数目应为3200×+0×==150(元),44而B能“期望”得到的数目，则为3 =50(元)200×=+0×=44

因此, A 能“期望”得到的数目应为 4 1 0 4 3 200 +  = 150(元), 而B 能“期望”得到的数目, 则为 4 3 0 4 1 200 +  = 50(元). 故有, A, B 最终获胜的 可能性大小之比为 3 :1, , 4 3 即A应获得赌金的 . 4 1 而B只能获得赌金的 在赌技相同的情况下

4.1数学期望若设随机变量X为：在A胜2局B胜1局的前提下继续赌下去A最终所得的赌金2000则X所取可能值为：31其概率分别为：44“期望”值，因而A期望所得的赌金即为X的200×3 + 0×= =150(元).等于X即为X的可能值与其概率之积的累加R

因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 X 的可能值与其概率之积的累加. 4 1 0 4 3 200 +  即为 若设随机变量 X 为: 则X 所取可能值为: 200 0 其概率分别为: 4 3 4 1 继续赌下去 A 最终所得的赌金. = 150(元). 在 A 胜2局B 胜1局的前提下

4.1数学期望引例2射击问题设某射击手在同样的条件下，瞄准靶子相继射击90次(命中的环数是一个随机变量)射中次数记录如下0４45123命中环数k20213151030命中次数nk21315102030nk频率909090909090n试问：该射手每次射击平均命中靶多少环？

设某射击手在同样的条 引例2 射击问题 试问: 0 1 2 3 4 5 2 10 30 90 2 90 10 90 30 命中环数 k 命中次数 nk n 频率 nk 射中次数记录如下 (命中的环数是一个随机变量). 件下, 瞄准靶子相继射击90次 该射手每次射击平均命中靶多少环? 13 15 90 15 90 13 90 2020

4.1数学期望射中靶的总环数解：平均射中环数射击次数0×2+1×13+2×15+3×10+4×20+5×3090152132010+2x=0×+3x+4x+1x909090909030+5x905nkZ=3.37.k=nk=0设射手命中的环数为随机变量Y大

解 平均射中环数 射击次数 射中靶的总环数 = 90 0 2 + 113 + 215 + 310 + 4 20 + 5 30 = 90 30 5 90 20 4 90 10 3 90 15 2 90 13 1 90 2 0 +  =  +  +  +  +   = 3.37. = =  5 k 0 k n n k 设射手命中的环数为随机变量 Y

4.1数学期望5NkZk平均射中环数nk=0频率随机波动一随机波动“平均射中环数”的稳定值一？55k.nkZn8Zk·Pknk=0k=0随机波动稳定值“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加

= =  5 k 0 k n n 平均射中环数 k 频率随机波动 随机波动 =  5 k 0 k n n k n → =  5 k 0 k pk 随机波动 稳定值 “平均射中环数”的稳定值 = ? “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加

4.1数学期望1.离散型随机变量的数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为P[X = xr} = Pk, k =1,2,....82若级数XkPkk=18xPs的和为随机变量X 的绝对收敛,则称级数k-18数学期望,记为 E(X).即 E(X)=XkPkk-1大

1. 离散型随机变量的数学期望 ( ) . 1   = = k E X xk pk 设离散型随机变量X 的分布律为 { } , P X = xk = pk 则称级数 x p 的和为随机变量X 的 k  k k  =1 记为E(X). 定义 k = 1,2,  . 若级数   k=1 xk pk 绝对收敛, 数学期望, 即

4.1数学期望分赌本问题A期望所得的赌金即为X的数学期望3E(X) = 200×= + 0×= =150(元)射击问题“平均射中环数”应为随机变量Y的数学期望E(Y)=0×po+1×Pi+2×P2+3×p3+4×P4+5×ps

分赌本问题 A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望 射击问题 “平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望 E(Y ) = E(X) 0 1 2 3 4 5 .  p0 +  p1 +  p2 +  p3 +  p4 +  p5 4 1 0 4 3 = 200 +  = 150(元)