广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 4.1 补充例题

4.1数学期望补充1谁的技术比较好？甲、乙两个射手，他们射击的分布律分别为9108击中环数甲射手概率0.60.30.19810击中环数乙射手概率0.30.20.5试问哪个射手技术较好？

甲、乙两个射手, 他们射击的分布律分别为 试问哪个射手技术较好? 乙射手 击中环数 概率 8 9 10 0.2 0.5 0.3 甲射手 击中环数 概率 8 9 10 0.3 0.1 0.6 补充1 谁的技术比较好?

4.1数学期望解 设甲、乙射手击中的环数分别为Xi,X,·E(X )= 8×0.3 + 9×0.1 +10 ×0.6= 9.3(环),E(X2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)故甲射手的技术比较好

解 ( ) E X1 ( ) E X2 , . 设甲、乙射手击中的环 数分别为X1 X2 故甲射手的技术比较好 . = 8 0.3 + 9 0.1 + 10 0.6= 9.3(环), = 8 0.2 + 9 0.5 + 10 0.3 = 9.1(环)

4.1数学期望补充2发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元.设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金各5千元三等奖10个，奖金各1千元：四等奖100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各10元.每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润解，设每张彩票中奖的数额为随机变量X，则X10000100010050001001/1052/105p10/105100/1051000/105P

某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设 头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元; 三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各 100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元. 每张彩票的成 本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润. 解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则 X p 10000 5000 1000 100 10 0 5 1 10 5 2 10 5 10 10 5 100 10 5 1000 10 p0 补充2 发行彩票的创收利润

4.1数学期望每张彩票平均能得到奖金21E(X)=10000x5000x..+0xpo1+105105= 0.5(元),每张彩票平均可赚2-0.5-0.3=1.2(元)因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为100000×1.2=120000(元)

E(X) = 0.5(元), 每张彩票平均可赚 2 − 0.5 − 0.3 = 1.2(元), 每张彩票平均能得到奖金 因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为 1000001.2 = 120000(元). 5 5 0 0 10 2 5000 10 1 = 10000 +  ++  p

4.1数学期望补充3女如何确定投资决策方向？某人有10万元现金想投资于某项目，预估成功的机会为30%可得利润8万元失败的机会为70%，将损失2万元若存入银行同期间的利率为5%问是否作此项投资？X 8-2解设X为投资利润，则p0.70.3E(X)=8×0.3-2×0.7=1(万元)，存入银行的利息10×5%=0.5(万元），故应选择投资

某人有10万元现金，想投资于某 项目，预估成功的机会为 30%，可得 利润8万元 ，失败的机会为70%，将 损失 2 万元．若存入银行，同期间的 利率为5% ，问是否作此项投资? 解 设 X 为投资利润，则 E(X) 存入银行的利息: X p 8 − 2 0.3 0.7 = 8 0.3 − 2 0.7 = 1(万元), 10 5% = 0.5(万元), 故应选择投资. 补充3 如何确定投资决策方向?

4.1数学期望补充4顾客平均等待多长时间？设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计）服从指数分布，其概率密度为-x/5x>05f(x)=0,x≤0.试求顾客等待服务的平均时间？解 E(X)=[~xf(x)dx

补充4 顾客平均等待多长时间? 解   − E(X) = x f (x)d x 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以 试求顾客等待服务的平均时间? f (x) 分计)服从指数分布,其概率密度为 e , 0, 5 1 5  − x x  0, x  0.   =

4.1数学期望-x/5dxx.-e5= 5(分钟),因此，顾客平均等待5分钟就可得到服务

x x x e d 5 1 5 0 −   =  = 5(分钟). 因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务

4.1数学期望补充5设（X，Y）的分布律为X231Y0.20.10-100.30.100.10.10.11求: E(X), E(Y), E(Y/X), E[(X-Y)"]解 X的分布律为X2310.4p0.20.4K

X p 1 2 3 0.4 0.2 0.4 解 X 的分布律为 X Y 1 2 3 − 1 0 1 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0 0 0.3 : ( ), ( ), ( ), [( ) ]. 2 求 E X E Y E Y X E X −Y 补充5 设 ( X , Y ) 的分布律为

4.1数学期望得 E(X)=1×0.4+2×0.2 +3×0.4= 2.Y的分布律为Y1-10p0.30.40.3得 E(Y) =-1×0.3 +0×0.4 +1×0.3 = 0.由于p0.20.10.10.10.10.30.1(3,0)(3,1)(X,Y)(1,0)(2,1)(1,1)(2,-1)(1,-1)YX1-100-1/21/21/3R

得 E(Y ) − 1 0 1 − 1 2 1 2 0 1 3 Y p − 1 0 1 0.3 0.4 0.3 Y 的分布律为 得 E(X) p (X,Y ) Y X (1,−1) 0.2 (1,0) 0.1 (1,1) 0.1 (2,−1) 0.1 (2,1) 0.1 (3,0) 0.3 (3,1) 0.1 由于 = −1 0.3 + 0 0.4 + 1 0.3 = 0. = 1 0.4 + 2 0.2 + 3 0.4 = 2

4.1数学期望PE=-1×0.2+ 0×0.1±1×0.1-× 0.1X2×0.1+0×0.3+=×0.1+2153p0.20.10.30.10.10.10.1(X,Y)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,1) (3,0)(3,1)90(X-Y)044E[(X - Y)]= 4×0.3 + 1×0.2 +0×0.1 + 9×0.4=5

p (X,Y ) (1,−1) 0.2 (1,0) 0.1 (1,1) 0.1 (2,−1) 0.1 (2,1) 0.1 (3,0) 0.3 (3,1) 0.1 2 (X −Y ) 4 1 0 9 1 9 4 [( ) ] 2 E X −Y = 5. . 15 1 = −       X Y E 0.1 2 1 = −1 0.2 + 0 0.1 + 1 0.1 −  0.1 3 1 0.1 0 0.3 2 1 +  +  +  = 4 0.3 + 1 0.2 + 0 0.1 + 9 0.4