广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第二章 随机变量及其分布 2.4 连续型随机变量及其概率密度

第二章随机变量及其分布第四节连续型随机变量及其概率密度一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量及其概率分布三、小结概率论与数理统计（第4版）

一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量及其概率分布 三、小结 第四节 连续型随机变量及其概率密度

2.4造续型随机变量及具概率密度一、概率密度的概念与性质1.概率密度函数的定义如果对于随机变量X的分布函数F(x），存在非负可积函数f（x），使对于任意实数有f(x) F(x)=fmf(t)dt,则称X为连续型随机变量其中函数f(x)称为X的0x概率密度函数，简称概率密度连续型随机变量的分布函数是连续函数

一、概率密度的概念与性质 1.概率密度函数的定义 如果对于随机变量X的分布函数F(x) , 存在 非负可积函数f (x) , 使对于任意实数x有 F(x)  ， − x = f (t)dt 则称X为连续型随机变量, 其中函数f (x)称为X的 概率密度函数, 简称概率密度. 连续型随机变量的分布函数是连续函数. o x • f (x)

24造续型随机专量景及工概率密度2.概率密度函数的性质1° f(x)≥0;2° Jm f(x)dx = 1 ;3°对于任意实数x,x（x≤x），P(x) <X≤x2}= F(x2)- F(x)=(* f(x)dx ;4°若f(x)在点x处连续，则有F(x)=f(x)

2.概率密度函数的性质 1 f (x)  0 ;  2 ( )d = 1 ;   − f x x  3 , ( ) , 对于任意实数x1 x2 x1  x2  { } 1 2 P x  X  x ( )d ; 2 1 f x x x x ( ) ( ) = F x2 − F x1 = 4 若f (x)在点x处连续,  则有F(x) = f (x)

24透续型随机变量及工概率密度证明 2° 1=F(o)=[t f(x)dx.3° P(x <X≤x)) =F(x2)-F(x)=" (x) dx - (x) dx-f" f(x)dx.f(x)S = J- f(x)dx =1SS, = [" f(x)dxxXi X2

证明 f (x)d x .  + − 1=F() = { } 1 2 P x  X  x ( ) ( ) F x2 − F x1 = f x x x ( ) d 2 − = f x x x ( ) d 1 − − ( )d . 2 1 f x x x x = o x f (x) 1 = ( )d = 1  + − S f x x S1 S f x x x x ( )d 2 1 1  = 1 x • x2 •  2  3

24造续型随机专量景及工概率密度同时得以下计算公式P(X≤a)= F(a) = ["m f(x)dx ,P(X>a)=1- P[X≤a)=1- F(a)= (x) dx-" f(x) dx=" f(x)dx+ J f(x)dx= J f(x)dx.4° 若 f(x)在点x处连续,则有 F(x)= f(x)

4 ( ) , ( ) ( ) . o 若 f x 在 点 x 处连续 则 有 F x = f x P{X  a} = F(a) f (x)d x , a − = P{X  a} = 1 − P{X  a} f x x f x x a ( ) d ( ) d  −  − = − = 1− F(a) f x x f x x a ( )d ( )d    − − = + f (x)d x . a  = 同时得以下计算公式

24造镇型随机专量及工概率密度注意对于任意指定值a，连续型随机变量取α的概率等于零.即P(X=α)=0.ca+Ar证明 P(X =a)=limf(x)dx =0.Ar->0JaPia≤X≤b)=Pia<X≤b}=Pla≤X<b= Pia<X<b).连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关

注意 对于任意指定值 a, 连续型随机变量取 a的概 率等于零. 即 P{X = a} = 0 . 证明 P{X = a} f x x a x x a lim ( )d 0  +  → = = 0 . P{a  X  b}= P{a  X  b} = P{a  X  b} = P{a  X  b}. 连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关

24造续型随机专量景及工概率密度注意若X是连续型随机变量，（X=a是不可能事件,则有PX =α=0.连续型若P(X=a)=0,则不能确定(X=α是不可能事件离散型若X为离散型随机变量(X=a是不可能事件台PX==0

注意 若X是连续型随机变量，{ X=a }是不可 能事件，则有 P{X = a} = 0 . 若 P{X = a} = 0 , 则不能确定{X = a} 是不可能事件 连 续 型 {X = a} 是不可能事件 P{X = a} = 0 . 若 X 为离散型随机变量, 离 散 型

24造续型随机专量景及工概率密度例1设随机变量X具有概率密度kx,0≤x<3,f(x)=2_ x3≤x≤4,20,其他.(1)确定常数k;(2)求X的分布函数；(3)求P(l<x≤))解(1)由(f(x)dx=1,得大

例1 设随机变量 X 具有概率密度 }. 2 7 P{1  X  f (x) =      kx , 0  x  3 , , 2 2 x − 3  x  4 , 0 , 其他. (1) 确定常数k ; (2)求 X 的分布函数; (3) 求 解 (1) ( )d 1 ,   − 由 f x x = 得

24造读型随机变量及工概率密度上I(2-号)dx=1,kxdx+002解得k =于是X的概率密度为6X0≤x<3,6Xf(x) =323≤x≤4,2其他.0.K

x x kx x )d 2 d (2 3 0 4  3 + − = 1 , . 6 1 解得 k = 于是X 的概率密度为 f (x) =      , 6 x 0  x  3 , , 2 2 x − 3  x  4 , 0 , 其他

24造续型随机专量景及工概率密度(2)X的分布函数为x<0,1oxxdx, 0≤x<3,06F(x)=3X+f'(2-号)dx, 3≤x<4,dx+06x≥4.K

(2)X的分布函数为 F(x)=        0 , x  0 ,  x x x 0 d , 6 0  x  3 ,   + − 3 0 3 )d , 2 d (2 6 x x x x x 3  x  4 , 1 , x  4