复旦大学：《高等数学》课程教学资源（习题解答）14.4 微分形式的外微分

习题14.4微分形式的外微分1.计算下列微分形式的外微分：（1）1-形式の=2xydx+xdy;（2）1-形式の=cosydx-sinxdy;（3）2-形式の=6zdx^dy-xydx^dz。解（1）do=2ydx^dx+2xdy^dx+2xdx^dy=0。(2) do = -sin ydy ^ dx - cos xdx ^dy = (sin y-cos x)dx ^ dy (3) do = 6dz ^dx ^dy-xdy ^dx^dz = (x+ 6)dx ^dy ^dz。2.设o=a,(x)dx,+a,(x,)dx+.+a,(x,)dx,是R"上的1-形式，求do。解 do=a(x,)d,dx,=0=l3.设=a(x2,x)dx^dx;+a(x,x)dx,dx,+a(x1x,)dx,^dx,是R上的2-形式，求do。解设 =ai(x2,3)dx2dx3，由于dxzdxz^dx,=0,dx^dx,^dx,=0,则有Cai dx ^ d2 ^dx; = 0。Qai dx2 ^ dx2 A dx +do,:ax2ax3类似地，设2=a2(x,x)dxdx，=a(xx2)dx,dx2，则d02=d03=0,从而do= do, +do, +do, = 0。4.在R上在一个开区域Q=(a,b)×(c,d)x(e,J)上定义了具有连续导数的函数a,(=)，az(x)，a,(y)，试求形如0 = b,(y)dx + b,(z)dy + b,(x)dz的1-形式の，使得do=a,(z)dy ^dz+a,(x)dz^dx+a,(y)dx ^dy解由题意，可得b(y) = -as(y), b2(-) = -a,(=), bs(x) = -a2(x) ,所以0 = -([a,(y)dy)dx -([a,(=)dz)dy -([az(x)dx)dz 。5.设の=a,d,^dx，（a,=-an，ij=1,2,…,n）是R"上的2-形式，证i,i=l明1

习 题 14.4 微分形式的外微分 1. 计算下列微分形式的外微分： （1）1-形式ω = 2xydx + x 2 dy； （2）1-形式ω = cos ydx − sin xdy ； （3）2-形式ω = 6zdx ∧ dy − xydx ∧ dz 。 解（1）dω = 2ydx ∧ dx + 2xdy ∧ dx + 2xdx ∧ dy = 0 。 （2）dω = −sin ydy ∧ dx − cos xdx ∧ dy = (sin y − cos x)dx ∧ dy。 （3）dω = 6dz ∧ dx ∧ dy − xdy ∧ dx ∧ dz = (x + 6)dx ∧ dy ∧ dz 。 2．设ω = + a x dx a x dx + +a x dx 1 1 1 2 2 2 n n n ( ) ( ) " ( ) 是 n R 上的 1-形式，求dω 。 解 dω ( ) 0 1 = ∑ ′ ∧ = = n i i i i i a x dx dx 3．设ω = ∧ a x x dx dx + a x x dx ∧ dx + a x x dx ∧ dx 1 2 3 2 3 2 1 3 3 1 3 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) 2是 3 R 上的 2-形式，求dω 。 解 设 1 1 2 3 2 3 ω = a (x , x )dx ∧ dx ，由于 dx2 ∧ dx2 ∧ dx3 = 0, dx3 ∧ dx2 ∧ dx3 = 0， 则有 dω1 = 0 3 2 3 3 1 2 2 3 2 1 ∧ ∧ = ∂ ∂ ∧ ∧ + ∂ ∂ dx dx dx x a dx dx dx x a 。 类似地，设 2 2 1 3 3 1 ω = a (x , x )dx ∧ dx ， 3 3 1 2 1 2 ω = a (x , x )dx ∧ dx ，则 dω2 = dω3 = 0， 从而 dω = dω1 + dω2 + dω3 = 0。 4. 在 3 R 上在一个开区域Ω = (,) a b × (c,d) × (e, f ) 上定义了具有连续导数 的函数a1 (z)，a2 (x)，a3 ( y)，试求形如 b ( y)dx b (z)dy b (x)dz ω = 1 + 2 + 3 的 1-形式ω ，使得 d = a (z)dy ∧ dz + a (x)dz ∧ dx + a ( y)dx ∧ dy ω 1 2 3 。 解 由题意，可得 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 1 3 2 1 3 2 b′ y = −a y b′ z = −a z b′ x = −a x ， 所以 ( a ( y)dy)dx ω = − ∫ 3 ( a (z)dz)dy − ∫ 1 ( a (x)dx)dz − ∫ 2 。 5. 设 ∑ （ = = ∧ n i j aijdxi dx j , 1 ω aij = −a ji ，i, j = 1,2,", n）是 n R 上的 2-形式，证 明 1

aayoa jkQaki1"Wdodxdxdk31Jk-Oxkax,ox,证因为Zad, ^d, =7ZandxAd,,Candx,^dx, =0=i.j=lJik=lk,i=l所以2oau dx A dx, Adxjdo=1,J.k=1 OxkCakddk2一iJk-, ax,anddkd,N=1.ik1 ax,由于dxAdx,Adx,=dx,AdxAdx,= dx,Adx,Adxk从而dajaa jkdakido=dxdxdxkOxkax,ox2

dω ∑= ∧ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = n i j k i j k j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 3 , , 1 1 。 证 因为 , 1 n ij i j i j ω a dx dx = = ∧ ∑ , 1 n jk j k j k a dx dx = = ∧ = ∑ = ∧ n k i akidxk dxi , 1 ∑ ， 所以 ∑= ∧ ∧ ∂ ∂ = n i j k k i j k ij dx dx dx x a d , , 1 ω ∑= ∧ ∧ ∂ ∂ = n i j k i j k i jk dx dx dx x a , , 1 ∑= ∧ ∧ ∂ ∂ = n i j k j k i j ki dx dx dx x a , , 1 ， 由于 dxk ∧ dxi ∧ dx j = dx j ∧ dxk ∧ dxi = dxi ∧ dx j ∧ dxk ， 从而 dω ∑= ∧ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = n i j k i j k j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 3 , , 1 1 。 2