广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第一章 概率论的基本概念 1.6 独立性

第一章概率论的基本概念第六节独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理三、典型例题四、小结概率论与数理统计（第4版）

一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、典型例题 四、小结 第六节 独立性

独立性1.6一、事件的相互独立性1.引例盒中有5个球（3绿2红），每次取出一个，有放回地取两次.记A=第一次抽取,取到绿球.B=第二次抽取,取到绿球。则有P(BA)= P(B) ,它表示A的发生并不影响B发生的可能性大小P(BA) = P(B)P(AB)=P(A)P(B)

一、事件的相互独立性 , , , , . 5 (3 2 ) , , 第二次抽取 取到绿球 第一次抽取 取到绿球 地取两次 记 盒中有 个 球 绿 红 每次取出一个 有放回 = = B A 则有 P(B A) = P(B) , 它表示 A的发生并不影响B 发生的可能性大小. P(B A) = P(B)  P(AB) = P(A)P(B) 1.引例

1.6独立性2.定义设A,B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B相互独立,简称A,B独立。说明事件 A 与 事件 B 相互独立，是指事件 A 的发生与事件B发生的概率无关容易知道,若P(A)>0，P(B)>0，则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立

事件 A 与 事件 B 相互独立, 说明 2.定义 设 A, B 是两事件, P(AB) 则称事件 A,B 相互独立, 如果满足等式 = P(A)P(B) 简称 A, B 独立. 容易知道, 若P(A)  0 , P(B)  0 , 则A,B相互 独立与A,B互不相容不能同时成立. 与事件 B 发生的概率无关. 是指事件 A 的发生

独立性1.6请同学们思考两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立 P(AB)=P(A)P(B)二者之间没有必然联系两事件互斤AB=O例如若 P(A)=,,P(B)=2BAB则 P(AB) = P(A)P(B)A由此可见两事件相互独立，但两事件不互斤

两事件相互独立 P(AB) = P(A)P(B) 两事件互斥 AB =  A , 2 1 , ( ) 2 1 若 P(A) = P B = 则P(AB) = P(A)P(B) . 例如 由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥. 两事件相互独立与两事件互斥的关系. 请同学们思考 二者之间没 有必然联系 B AB

独立性1.6若 P(A)=P(B)2则 P(AB)= 0 ,BP(A)P(B) =故 P(AB)≠ P(A)P(B) 由此可见两事件互但不独立

A B 2 1 , ( ) 2 1 若 P(A) = P B = 故 P(AB)  P(A)P(B) . 由此可见两事件互斥但不独立. 则P(AB) = 0 , , 4 1 P(A)P(B) =

独立性1.64.三事件相互独立的概念定义设A,B,C是三个事件,如果满足不等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立

注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立 4.三事件相互独立的概念 定义 设A,B,C是三个事件, 如果满足不等式 P(AB)=P(A)P(B) P(BC) P(B)P(C) P(AC) P(A)P(C) P(ABC) P(A)P(B)P(C) = =  =       则称事件A,B,C相互独立

独立性1.6注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立例如E：一个硬币抛两次，记录正反面出现的情况A：第一次是正面，B：第二次是反面，C：两次都是正面或都是反面则 ：P(AB）=二,即:A,B相互独立类似可知：B,C相互独立，A,C相互独立但：P(ABC)= 0，即:A,B,C不相互独立

注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立 例如 𝑬:一个硬币抛两次，记录正反面出现的情况. 𝑨:第一次是正面， 𝑩:第二次是反面， 𝑪:两次都是正面或都是反面. 则：𝑷 𝑨𝑩 = 𝟏 𝟒 ，即: 𝑨, 𝑩相互独立. 类似可知： 𝑩, 𝑪相互独立， 𝑨, 𝑪相互独立. 但：𝑷 𝑨𝑩𝑪 = 𝟎，即: 𝑨, 𝑩, 𝑪不相互独立

1.6独立性推广设 A,A2,,A,是 n个事件,如果对于任意k(1<k≤n),任意1<i<i<...<i≤n,具有等式P(AA,L A,)= P(A)P(A)L P(A,)则称A,A,L ,A,为相互独立的事件n个事件相互独立n个事件两两相互独立

n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立 任 意 具有等式 设 是 个事件 如果对于任意 (1 ) , 1 , , , , , 1 2 1 2 k k n i i i n A A A n k n        推广  1 2 , , , . 则称A A A L n为相互独立的事件 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), P A A A P A P A P A L L n n =

1.6独立性二、几个重要定理定理一设 A,B 是两事件,且P(A)>0，若A,B相互独立,则P(BA)=P(B).反之亦然P(AB)证明P(BA)=P(A)P(A)P(B)= P(B)P(A)台 P(BA) = P(B) K

证明 ( ) ( ) ( ) P A P AB P B A = ( ) ( ) ( ) ( ) P B P A P A P B = =  P(B A) = P(B) . 二、几个重要定理 设 A, B 是两事件, 且P(A)  0 , 若A,B 相互独立, 则P(B A) = P(B) . 反之亦然

1.6独立性定理二若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立A与B，A与B,A与B证 因为 A= A(BUB)=ABUAB于是 P(A)=P(ABU AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B) + P(AB)P(AB)=P(A)[1- P(B))=P(A)P(B)因此A与B相互独立.由此可立即推出A与B独立再由B=B，又推出A与B相互独立

若事件A与B相互独立, 则下列各对事 件也相互独立. A与B , A与B , A与B . 证 因为 A= 于是 P(A)= =P(AB) + P(AB) =P(A)P(B) + P(AB) P(AB)=P(A)[1 − P(B)]=P(A)P(B) 因此A与B相互独立.由此可立即推出A与B独立. 再由B = B , 又推出A与B相互独立. A B B AB AB ( )  =  P AB AB ( ) 