广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第一章 概率论的基本概念 1.6 补充例题

1.6独立性更多例题讲解射击问题补充1设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2.若10名机枪射击手同时向一架飞机射击.问击落飞机的概率是多少？解设事件A为“第i名射手击落飞机”i = 1,2,...,10事件B为“击落飞机”，则 B = A, U A, U...UAio ,R

补充1 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是 0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落 飞机的概率是多少? 射击问题 解 设事件 A 为“第i 名射手击落飞机”, i 事件 B 为“击落飞机”, , 则B = A1  A2  A10 更多例题讲解 i = 1,2,  ,10

1.6独立性P(B) = P(A, UA, U...UA)=1-P(A UA, U...UAo)=1- P(AA, ... Ao)=1- P(A)P(A)...P(A0)= 1 - (0.8)1° = 0.893

( ) ( ) P B = P A1  A2  A10 1 ( ) = − P A1 A2 A10 1 ( ) ( ) ( ) = − P A1 P A2 P A10 1 (0.8) 0.893 . 10 = − = 1 ( ) = − P A1  A2  A10

1.6独立性补充2甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4.0.5.0.7.飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中飞机必定被击落，求飞机被击落的概率解设A表示有i个人击中飞机A,B,C分别表示甲、乙、丙击中飞机则 P(A)= 0.4, P(B)= 0.5, P(C)= 0.7,由于 A = ABC+ABC+ABC

甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率. 解 设 A 表示有i 个人击中飞机, i A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 , , 由于 A1 = ABC + ABC + ABC 则 P(A) = 0.4 , P(B) = 0.5 , P(C) = 0.7 , 补充2

1.6独立性故得P(A)= P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7= 0.36 .因为 A, = ABC + ABC + ABC,得 P(A,)= P(ABC + ABC + ABC)= P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)= 0.41

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 = P A P B P C + P A P B P C + P A P B P C 故 得 = 0.40.50.3 + 0.60.50.3 + 0.60.50.7 = 0.36 . , 因为 A2 = ABC + ABC + ABC = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) = 0.41 . ( ) ( ) 得 P A2 = P ABC + ABC + ABC

1.6独立性由 A,= ABC， 得 P(A,)=P(ABC)= P(A)P(B)P(C)= 0.4×0.5×0.7= 0.14.因而，由全概率公式得飞机被击落的概率为P = 0.2×0.36+0.6×0.41+1×0.14= 0.458

, 由 A3 = ABC ( ) ( ) 得 P A3 = P ABC = P(A)P(B)P(C) = 0.4 0.5 0.7 因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为 P = 0.2 0.36 + 0.6 0.41+ 1 0.14 = 0.458 . = 0.14

独立性1.6伯恩斯坦反例补充3一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A，B，C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件问A，B，C是否相互独立？解由于在四面体中红、白、黑分别出现两面，因此P(4)= P(B)= P(C)=2,又由题意知 P(AB)= P(BC)= P(AC)=

伯恩斯坦反例 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色， 第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A，B，C 分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立? 解 由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面， 因此 , 2 1 P(A) = P(B) = P(C) = 又由题意知 , 4 1 P(AB) = P(BC) = P(AC) = 补充3

1.6独立性故有P(AB) = P(A)P(B)4P(BC) = P(B)P(C)IP(AC) = P(A)P(C)则三事件A,B,C两两独立由于P(ABC)= P(A)P(B)P(C) ,兴48因此A，B，C不相互独立

故有 因此 A，B，C 不相互独立.         = = = = = = , 4 1 ( ) ( ) ( ) , 4 1 ( ) ( ) ( ) , 4 1 ( ) ( ) ( ) P AC P A P C P BC P B P C P AB P A P B 则三事件 A, B, C 两两独立. 由于 4 1 P(ABC) = ( ) ( ) ( ) , 8 1  = P A P B P C

1.6独立性补充4同时抛掷一对殷子,共抛两次,求两次所得点数分别为7与11的概率解设事件A为“第i次得7点”i=1,2设事件B，为“第i次得11点”i=1,2.事件A为两次所得点数分别为7与11则有 P(A) = P(A,B, UB,A,)= P(A,B,) + P(B,A)= P(A)P(B,) + P(B)P(A)22663636363654

同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得 点数分别为7与11的概率. 解 事件 A 为两次所得点数分别为 7 与 11. 则有 ( ) ( ) P A = P A1B2  B1A2 ( ) ( ) = P A1B2 + P B1A2 ( ) ( ) ( ) ( ) = P A1 P B2 + P B1 P A2 36 6 36 2 36 2 36 6 =  +  . 54 1 = A i 7 i = 1,2. 设事件 i 为“第 次得 点” B i 11 i = 1,2. 设事件 i 为“第 次得 点” 补充4