广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第二章 随机变量及其分布 2.4 补充例题

24造型随机变量及工概率密度补充例题

补充例题

24造续型随机专量景及工概率密度补充1设连续型随机变量X的分布函数为[o,x≤-a,xF(x)=A+Barcsin--aa.求：(1)系数 A, B的值;(2) P(-a<X <2(3)随机变量X的概率密度

设连续型随机变量X的分布函数为         + −    − = 1 , . arcsin , , 0 , , ( ) x a a x a a x A B x a F x 求: (1)系数 A, B的值; }; 2 (2) { a P −a  X  (3)随机变量 X 的概率密度. 补充1

24造镇型随机专量及工概率密度解（1)因为X是连续型随机变量，所以F(x)连续故有 F(-a)= lim F(x),F(a) =limF(x),x2-ax-→a元-2即B= 0,A+ BarcsinA一元-2A+BarcsinB=1=A+a解得A:B=元K

解 (1) 因为 X 是连续型随机变量, 所以F(x)连续, 故有 lim F(x) , x→−a F(−a) = limF(x) , x→a F(a) =       − + a a 即 A Barcsin A B 2 π = − = 0 ,       + a a A Barcsin A B 2 π = + = 1 , , 2 1 解得 A = . π 1 B =

24造型随机变量及工概率密度0x≤-a,1-1x所以F(x)=-arcsin-aa. = F(})-F(-a)(2) P(-a <X <) 7arcsin一22a元121元X?236元K

} 2 (2) { a P −a  X  ) 2 ( a = F − F(−a) ) 0 2 arcsin( π 1 2 1 = + − a a 6 π π 1 2 1 = +  . 3 2 = 所以 F(x) 0 , x  −a , arcsin , , π 1 2 1 a x a a x + −   1 , x  a .      =

24造型随机变量及工概率密度(3)随机变量X的概率密度为[1/元a?-x?,-a<x<a,f(x) = F'(x)=其他。0

(3)随机变量 X 的概率密度为 f (x) = F(x)    − −   = 0 , . 1 , , 2 2 其 他  a x a x a

24透续型随机变量及真概率密度补充2设随机变量X在「2,51上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率解X的分布密度函数为12≤x≤5,f(x)=33 [0，其他.设A表示“对X的观测值大于3的次数”即 A={ X>3 }

设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大 于3 的概率. X 的分布密度函数为        = 0 , . , 2 5 , 3 1 ( ) 其他 x f x 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”, 解 即 A={ X >3 }. 补充2

24造镇型随机专量及工概率密度251由于 P(A)= P(X >3)=dx==3J33设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数Y~ (3, )则因而有((-((-)-P[Y ≥ 2} =

P{Y  2} . 27 20 = 因而有 设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则 . 3 2 ~ 3,       Y b        −            = 3 2 1 3 2 2 3 2 3 0 3 2 1 3 2 3 3        −            + 由于 P(A) = P{X  3} , 3 2 d 3 51 3 = =  x

24造镇型随机专量及工概率密度某类日光灯管的使用寿命X服从参数为补充30-2000的指数分布(单位：小时)(1)任取一只这种灯管，求能正常使用1000小时以上的概率(2）有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上，求还能使用1000小时以上的概率解X的分布函数为F(x) = J1-e 2000*x≥0,10,x<0

某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 θ=2000的指数分布(单位:小时). (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小 时以上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小 时以上, 求还能使用1000小时以上的概率. 解 X 的分布函数为      −  = − 0 , 0 . 1 e , 0 , ( ) 2000 1 x x F x x 补充3

24造型随机变量及工概率密度(1) P(X >1000) =1-P(X≤1000)= 1- F(1000)= 0.607.K

(1) P{X  1000} = 1− P{X  1000} = 1 − F(1000) 2 1 e − = = 0.607

24透续型随机变量及工概率密度(2) PX>2000X>1000)PX >2000,X >1000P(X > 1000)PX>2000P[X >1000)1- PX ≤2000)1-P(X≤1000)1- F(2000)e = 0.607 .1- F(1000)

(2) P{X  2000X  1000} { 1000} { 2000, 1000}    = P X P X X { 1000} { 2000}   = P X P X 1 { 1000} 1 { 2000} −  −  = P X P X 1 (1000) 1 (2000) F F − − = 2 1 e − = = 0.607