广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第五章 大数定律及中心极限定理（习题课）

第五章大数定律及中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理习题课一、重点与难点二、主要内容三、典型例题概率论与数理统计（第4版）

第五章 大数定律及中心极限定理 习 题 课 二、主要内容 三、典型例题 一、重点与难点

第5章习题课一、重点与难点1.重点中心极限定理及其运用2.难点证明随机变量服从大数定律

一、重点与难点 1.重点 中心极限定理及其运用. 2.难点 证明随机变量服从大数定律

第5幸习题课二、主要内容中心极限定理大数定律定理三定理一定理一定理二定理三定理二定理一的另一种表示

大数定律 二、主要内容 中心极限定理 定 理 一 定 理 二 定 理 三 定理一的另一种表示 定 理 一 定 理 二 定 理 三

第5章习题课切比雪夫定理的特殊情况设随机变量X,X,X,…相互独立且具有相同的数学期望和方差：E(X,)= μ,D(X)=α2(k =1, 2,),作前 n 个随机变量的算术平均 X=-x，贝则对于任意正nk=l数：有x-k-?lim P(l X- μ8n-0

切比雪夫定理的特殊情况 数 有 的算术平均 则对于任意正 作 前 个随机变量 且具有相同的数学期望和方差： 设随机变量 相互独立    , 1 ( ) ( 1, 2, ), ( ) , , , , , , 1 2 1 2 = = = = = n k k k k n X n X D X k n E X X X X    1. 1 lim {| | } lim 1 =       −  =  −  = → →     n k k n n X n P X P

第5章习题课定理一的另一种表示设随机变量X,X2,,Xn相互独立且具有相同的数学期望和方差：E(X,)= μ,12XD(X) = α2 (k = 1, 2,.), 则序列X =nk=l依概率收敛于μ,即X→μ

定理一的另一种表示 , . 1 ( ) ( 1, 2, ), ( ) , , , , , , 1 2 1 2     ⎯→ = = = = = P n k k k k n X X n D X k X E X X X X 依概率收敛于 即 则序列 且具有相同的数学期望和方差： 设随机变量 相互独立   

第5幸习题课伯努利大数定理设n是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率则对于任意正数，有p/-p<s=1或!P/-p≥e=0福limllimn-→8n0

伯努利大数定理 则对于任意正数 有 的次数 是事件 在每次试验中发生的概率 设 是 次独立重复试验中事件 发 生 , , , p A nA n A lim 1 lim = 0.       = −        −  → →  p  n n p P n n P A n A n 或

第5章习题课辛钦定理设随机变量X,X,..,X,相互独立服从同一分布,且具有数学期望E(X)= μ(k =1,2,),则对于任意正数ε,有×-40

辛钦定理 ( 1,2, ), , ( ) , , , , , 1 2    = = k E X X X X k n 服从同一分布 且具有数学期望  设随机变量 相互独立 则对于任意正数 , 有 1. 1 lim 1 =        −  = →   n k k n X n P

第5章习题课独立同分布的中心极限定理设随机变量X,X,,X,相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差：E(X,)= μ,D(X)=2>0(k = 1,2,),则随机变量之和的Zx,-ENXk=标准化变量Y,==的分布函数1ZDXkk=lK

独立同分布的中心极限定理 则随机变量之和的 同一分布 且具有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立 服 从 ( ) 0 ( 1,2, ), , ( ) , , , , , , 2 1 2    =  = = D X k E X X X X k k n   标准化变量 的分布函数             − =    = = = n k k n k k n k k n D X X E X Y 1 1 1

第5章习题课F,(x)对于任意x满足Ex-nμJlim F, (x)= lim P)≤xn-0n-0Jno2 dt = Φ(x)12元

Fn (x) 对于任意x满足 − − = = x t e dt (x). 2π 1 2 2                 − = = → → x n X n F x P n k k n n n   1 lim ( ) lim

第5章习题课李雅普诺夫定理设随机变量X,X,…,X,…相互独立,它们具有数学期望和方差：E(Xk)= μk, D(X,)=0k + 0(k = 1,2,..),B, -Zo,记k=-1若存在正数8,使得当n→8时21E(I X - μr 12+8] → 0,B2+8二k=1

李雅普诺夫定理 {| | } 0, 1 , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), , , , , , 1 2 2 1 2 2 2 1 2 − → →  = = =  =   = + + = n k k k n n k n k k k k k n E X B n B E X D X k X X X        若存在正数 使得当 时 记 们具有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立 它   