广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第七章 参数估计 7.5 补充例题

75正态总体均值与方差的在向估计补充包糖机某日开工包了12包糖，称得重量(单位：克）分别为506.500495,488,504486505,513,521520,512,485.假设重量服从正态分布且标准差为g=10,试求糖包的平均重量u的1-α置信区间(分别取α=0.10和α=0.05)解 =10, n=12,计算得X=502.92(1)当α=0.10时, 1-α,=0.95,2查表得 zα/2 = Z0.05 = 1.645,附表1-1R

包糖机某日开工包了12包糖, 520,512,485. 解  = 10, 计算得 x = 502.92, (1)当 = 0.10时, / 2 0.05 z = z 查表得  且标准差为 = 10, 0.95, 2 1− =  = 1.645, 位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505, 513,521, 假设重量服从正态分布, 置信区间(分别取 = 0.10和 = 0.05). 试求糖包的平均重量的1− 补充1 称得重量(单 附表1-1 n = 12

75正态总体均值与方差的态向估计10Ox×1.645 = 498.17.Zα/2 = 502.92/12n10Ox+×1.645 = 507.67zα/2 = 502.92 +V12n即μ的置信度为90%的置信区间为(498.17, 507.67)α(2)当α = 0.05时, 1-= 0.975,2K

 / 2  z n x + 1.645 12 10 = 502.92 +  = 507.67,  / 2  z n x − 1.645 12 10 = 502.92 −  = 498.17, 即 的置信度为90%的置信区间为 (498.17, 507.67). (2)当 = 0.05时, 0.975, 2 1− = 

75正态总体均值与方差的态向估计查表得附表1-2Zα/2 = Z0.025 = 1.96,同理可得u的置信度为95%的置信区间为(497.26, 508.58),5从此例可以看出当置信度1一α较小时,置信区间也较小当置信度1一α较大时，置信区间也较大

/ 2 0.025 z = z  同理可得  的置信度为95%的置信区间为 (497.26, 508.58). 当置信度1 − 较小时, 置信区间也较小. = 1.96, 查表得 从此例可以看出, 当置信度1 − 较大时, 置信区间也较大. 附表1-2

75正态总体均值与方差的在向估计补充2 设X,X2,,X,是来自正态总体N(μ,)的样本,其中。2和u为未知参数，设随机变量L是关于u的置信度为1-α的置信区间的长度,求E(L)解当。未知时，μ的置信度为1-α的置信区间为SX±a2S置信区间长度Ltα/2(n-1),Nn

解 , , , ( , ) 2 设 X1 X2  Xn 是来自正态总体N   , 当 2未知时  的置信度为1− 的置信区间为 ( 1), 2 = t / 2 n − n S 置信区间长度L  ( ). 2 关于的置信度为1− 的置信区间的长度, 求 E L 的样本, 其中 2和为未知参数, 设随机变量L 是 ( 1) , / 2        t n − n S X  补充2

75正态总体均值与方差的态向估计452[ta/2 (n - 1)]°,L?n2(X,-X)又 E(S2)=E(H[2x-x-]=EL2E(X,)-nE(X2)n-1K

2 L ( ) 2 又 E S             − − = 2 1 2 1 1 X nX n E n i i       − − = ( ) ( ) 1 1 2 1 2 E X nE X n n i i [ ( 1)] , 4 2 / 2 2 t n − n S        − − = n i Xi X n E 1 2 ( ) 1 1 = = = =

75正态总体均值与方差的态向估计Z[D(X,)+ E2(X,)]-n[D(X)+ E2(X))m%+高210* +1-4.52[tα/2(n - 1)]"于是 E(L) =EY=(ta/2(n-1) E(S°) ==[fa/2(n -1)Po2.YK

      + − + − = [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 1 1 2 1 2 D X E X n D X E X n n i i i             + − + − = 2 2 1 2 2 [ ] 1 1     n n n n i = ( ) 2 于是 E L = = = = , 2  [ ( 1)] 4 2 / 2 2         = t n − n S E  [ ( 1)] ( ) 4 2 2 t / 2 n E S n  − [ ( 1)] . 4 2 2 t / 2 n −  n

75正态总体均值与方差的态向估计补充3（续例1）求例1中总体方差。和标准差。的置信度为0.95的置信区间α-2Q解= 0.025,1-= 0.975, n-1=11,2查(n-1)分布表可知:X0.97s(11) = 3.816,x0.02s(11) = 21.920,(78.97, 453.64);方差。？的置信区间标准差。的置信区间（8.87，21.30)

解 0.025, 2 =  (78.97, 453.64); (8.87, 21.30). 1 求 例 中总体方差 2 和标准差 的 方差 2 的置信区间 标准差 的置信区间 (续例1) ( 1) : 查  2 n − 分布表可知 (11) 3.816, 2 (11) 21.920, 0.975 = 2 0.025 = 0.975, n −1 = 11, 2 1− =  置信度为0.95的置信区间. 补充3

75正态总体均值与方差的在向估计补充4甲、乙两台机床加工同一种零件，在机床甲加工的零件中抽取9个样品，在机床乙加工的零件中抽取6个样品，并分别测得它们的长度（单位：mm)由所给数据算得s2=0.245，s，2=0.357,在置信度0.98下，试求这两台机床加工精度之比α/α，的置信区间.假定测量值都服从正态分布，方差分别为di,a2.α =0.02,解 n =9, nz = 6,Fi-α/2(n; -1, nz -1)= Fo.9g(8, 5) = 10.3,K

解 9, n1 = 6, n2 =  = 0.02, 甲、乙两台机床加工同一种零件, 加工的零件中抽取9个样品, 信区间. 由所给数据算得 s1 2 = 0.245, s2 2 = 0.357, 在置信度 0.98下, , . 2 2 2  1  中抽取6个样品, ( 1, 1) F1− / 2 n1 − n2 − = (8, 5) 10.3, F0.99 = 假定测量值都服从正态分布, 方差分别为 试求这两台机床加工精度之比  1  2 的置 并分别测得它们的长度(单位:mm), 在机床乙加工的零件 补充4 在机床甲

75正态总体均值与方差的态向估计Fα/2(8, 5)=F0.01(8, 5)Fo.9(5, 8) 6.631的一个置信度为0.98的置信区间于是得02S2S,1S,' Fa/2(n, -1,n, -1)' s,' Fi-α/2(n, -1,n, -1)0.2450.245×6.63-(0.258, 2.133)0.357×10.30.357K

(8, 5) F / 2 (5, 8) 1 F0.99 0.98 2 于是得 1 的一个置信度为 的置信区间   ( 1, 1) 1 , ( 1, 1) 1 1 / 2 1 2 2 2 2 1 / 2 1 2 2 2 2 1         − − S F − n − n − S S F n n S   0.357 0.245 6.63 , 0.357 10.3 0.245         = =(0.258, 2.133). (8, 5) F0.01 = , 6.63 1 = =