广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第五章 大数定律及中心极限定理 5.1 大数定律

第五章大数定律及中心极限定理第一节大数定律一、问题的引入二、 基本定理三、典型例题四、小结概率论与数理统计（第4版）

第一节 大数定律 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结

5.1大数定律一、问题的引入实例频率的稳定性事件发生的频率逐渐稳随着试验次数的增加，定于某个常数ESC键退出单击图形播放/暂停投币试验试验次数200反面正面启示：从实践中人们发现大量测量值的算术平均频率频率0.510.49值有稳定性

一、问题的引入 实例 频率的稳定性 随着试验次数的增加, 启示:从实践 定于某个常数. 单击图形播放/暂停 ESC键退出 值有稳定性. 的算术平均 大量测量值 中人们发现 事件发生的频率逐渐稳

5.1大数定律二、 基本定理辛钦资料1.弱大数定理（辛钦大数定理）X-u是一个随机事件等式表明，当n→8时这个事件的概率趋于1即对于任意正数，当n充分大时，不等式x-uk成立的概率很大X-μ6=Plimn-→0nk=

二 、基本定理 1. 弱大数定理（辛钦大数定理） 则对于任意  0 , , , , 设X1 X2 是相互独立 服从同一分布的随 机变量序列， ( ) = , 且具有数学期望：E Xk (k = 1, 2, ), , 1 1 = n k Xk n 作 前 n 个变量的算术平均 有 1 . 1 lim 1 =        −  = →   n k k n X n P | | . , , , 1, {| | } , 式 成立的概率很大 即对于任意正数 当 充分大时 不 等 明 当 时这个事件的概率趋于 是一个随机事件 等式表      −  →  −  X n n X 辛钦资料

5.1大数定律证x)-E(Xt) = 1.(nμ)= μ,k=(2x)-2D(X) =2)=(no2nkk=1由切比雪夫不等式得g/n1≥P/,2x--M00

证       = n k Xk n E 1 1 ( ) 1 n n        = n k Xk n D 1 1 ( ) 1 1 = n k E Xk n  , ( ) 1 2 2 n n ( )  1 1 2 = n k D Xk n , 2 n  由切比雪夫不等式得 = = = = = = 2 2 1 / 1 1 1     n X n P n k k  −         −  = 1 . 1 lim 1 =        −  = →   n k k n X n P 在上式中令n → ， 即得 证毕

5.1大数定律说明当n很大时,随机变量X,X,,,X,的算术平均-x,接近于数学期望nk=lE(X) = E(X2) = ... = E(Xr) = μu,（这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下，n个随机变量的算术平均当n无限增加时，几乎变成一个常数

说明 几乎变成一个常数. 当 n 很大时, 随机变量X1 , X2 ,  , Xn的算术平 均  接近于数学期望 = n k Xk n 1 1 （这个接近是概率意义下的接近） ( ) ( ) ( ) , E X1 = E X2 = = E Xk =  即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时

5.1大数定律弱大数定理（辛钦大数定理）还可表述为：设随机变量X,X,,…,X,,….相互独立，服从同一分布且具有数学期望 E(X)= μ(k=1,2,)，则序列X=xl依概率收敛于μ,即P→μ.n设Y,Y,…,Y,,是一个随机变量序列，a 是一个常数.若对于任意正数ε，有lim P(lY, -α<ε} =1,Y0则称序列Y,Y2,.…,Yn,..·依概率收敛于a，记为Y,-P→a

⎯→ . P 即 X , , , , , 设随机变量X1 X2  Xn 相互独立 E(X ) = (k = 1, 2, ) , 同一分布且具有数学期望 k  服从 , 1 1 则序列  依概率收敛于 = = n k Xk n X Y a . P n ⎯→ , , , , , 设Y1 Y2  Yn 是一个随机变量序列 一个常数 . a 是 若对于任意正数  , 有 lim {| − | } = 1 , → P Y a  n n , , , , , 则称序列 Y1 Y2  Yn 依概率收敛于a 记为 弱大数定理（辛钦大数定理）还可表述为：

5.1大数定律定理一的另一种叙述设随机变量X，X设Y,Y,·,Y,是一个随且具有相同的数学期机变量序列a是一个常D(X) =α2 (k =1, 2,..数,若对于任意正数8有 lim P(|Y,-a}=1,即X依概率收敛于u1n>00则称序列Y,Y2,…,Y依概率收敛于a,记为Y.P→a

, . 1 ( ) ( 1, 2, ), ( ) , , , , , , 1 2 1 2     ⎯→ = = = = = P n k k k k n X X n D X k X E X X X X 依概率收敛于 即 则序列 且具有相同的数学期望和方差： 设随机变量 相互独立    Y a a Y Y Y P Y a a Y Y Y P n n n n n ⎯→ −  = → 依概率收敛于 记 为 则称序列 有 数 若对于任意正数 机变量序列 是一个常 设 是一个随 , , , , lim {| | } 1, , , , , , 1 2 1 2     定理一的另一种叙述:

5.1大数定律依概率收敛序列的性质：设 X,-P→a, Y,-P>b,又设函数g(x,y)在点(a,b)连续，则g(Xn,Yn)-P→g(a,b)证明因为g(x,y)在(a,b)连续>0,0>0,使得当x-a+y-b<s时g(x,y)-g(a,b)<8,R

依概率收敛序列的性质: 证明 因为g(x, y)在(a,b)连续,   0,   0, 使得当x − a + y − b   时, g(x, y) − g(a,b)   , Y b , P 设 Xn ⎯P→a , n ⎯→ 又设函数 g(x, y)在点(a,b)连续，则 g(X ,Y ) g(a,b) P n n ⎯→

5.1大数定律于是 (g(X,,Y,)-g(a,b)≥)C(X,-a+Y,-b≥)[x,-a9u[r.-≥]因此 P(g(Xn, Yn)-g(a,b) ≥ 8)sP[x,-d2号]+P[7-2号]n0>0,故 lim P[g(X, Y,)-g(a,b)]<6}=1. [证毕]n80

, 2 2      −         −    Xn a  Yn b { g(X ,Y ) − g(a,b)   } 于 是 n n  { X − a + Y − b   } n n P{ g(X ,Y ) − g(a,b)   } 因 此 n n       + −         −  2 2   P Xn a P Yn b ⎯ ⎯→0, n→ lim { ( , ) − ( , )  } = 1. → P g X Y g a b  n n n 故 [证毕]

5.1大数定律2.伯努利大数定理伯努利资料设f是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意正数ε>0，有lim P[-p<6|=1n-8或P[-p≥6]-0.lim n-0

lim = 0.       −  → p  n f P A n 2. 伯努利大数定理 设 fA 是 n次独立重复试验中事件A发生的 次数 , p 是事件 A 在每次试验中发生的概率, 于任意正数  0 , 则对 有 lim = 1       −  → p  n f P A n 或 伯努利资料