广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第三章 多维变量及其分布 3.5 补充例题

两个随机变量的函数的分布3.5补充1 设随机变量（X,Y)的分布律为Y0-2-1X31-1二2222112121101222301212求(1)X+Y,(2)X-Y的分布律K

X Y − 2 − 1 0 − 1 2 1 3 12 3 12 1 12 1 0 12 1 12 2 12 2 0 12 2 设随机变量 (X,Y)的分布律为 求 (1)X +Y, (2) X − Y 的分布律. 补充1

两个随机变量的函数的分布3.5Y解0-2X3心22221121211等价于01222301212223211概率1212121212 1212(-2)(2-1 (3-2 (3,0)(X,Y)(-1,-2) (-1,-1) (-1,0)K

概率 ( X , Y ) ( − 1 , − 2 ) 121 (−1,−1) 121 (−1,0) 123   −2 21 , 122   −1 21 , 121 (3,−2) 122 (3,0) 122 X Y − 2 − 1 0 − 1213 123 121 121 0 121 122 122 0 122 解 等价于

3.5两个随机变量的函数的分布23221概率12121212121212(G-2) (2-1 (3,-2) (3,0)(X,Y)(-1,-2) (-1,-1) (-1,0)31-3-2-13X+Y225335-2X-YE2大

概率 (X,Y ) (−1,−2) 12 1 (−1,−1) 12 1 (−1,0) 12 3       ,−2 2 1 12 2       ,−1 2 1 12 1 (3,−2) 12 2 (3,0) 12 2 X +Y − 3 − 2 − 1 2 3 − 2 1 − 1 3 X −Y 1 0 1 2 5 2 3 5 3

两个随机变量的函数的分布3.5所以X+Y,X-Y的分布律分别为313-2X+Y-3-1222231211P121212121212125353X-Y一022222411P121212121212K

X +Y P − 3 − 2 − 1 2 3 − 2 1 − 1 3 12 1 12 1 12 3 12 2 12 1 12 2 12 2 X −Y P 0 1 2 5 2 3 5 3 12 4 12 1 12 2 12 1 12 2 12 2 所以 X + Y, X − Y 的分布律分别为

3.5两个随机变量的函数的分布补充2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为XY3124P0.60.440.70.3求随机变量Z-X+Y的分布律解 因为X与 Y 相互独立,所以P(X = x,Y = y,} =P(X = x,}P(Y = y;},24X得0.180.12130.280.42K

X PX 1 3 0.3 0.7 Y PY 2 4 0.6 0.4 求随机变量 Z=X+Y 的分布律. P{X = xi ,Y = y j } = 得 Y X 2 4 1 3 0.18 0.12 0.42 0.28 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 { } { }, i j P X = x P Y = y 补充2 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为

3.5两个随机变量的函数的分布Z=X+Y(X,Y)PY2430.18(1,2)X可得0.12150.180.12(1,4)0.423(3,2)50.420.280.287(3,4)537Z=X+Y所以P0.180.540.28K

可得 (X,Y ) (3,4) P 0.18 0.12 0.42 0.28 Z = X +Y 3 5 5 7 所以 Z = X +Y P 3 5 7 0.18 0.54 0.28 Y X 2 4 1 3 0.18 0.12 0.42 0.28 (1,2) (1,4) (3,2)

3.5两个随机变量的函数的分布补充3设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为X1试求：P0.50.5Z =max(X,Y)的分布律解因为X与Y相互独立所以 PIX=i,Y =j=PX =iPY= ,于是V01X1/221/2201/221/22K

X P 0 1 0.5 0.5 试求: 所以 P{X = i,Y = j} = 于是 X Y 0 1 1 0 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 解 因为X与Y相互独立, 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律, 且 X 的分布律为 Z = max(X,Y)的分布律. P{X = i}P{Y = j}, 补充3

3.5两个随机变量的函数的分布P(max(X,Y) =i)H01X1/221/22=PIX=i,Y<i01/221/22+PX≤i,Y=i= P(max(X,Y) = 0}= P(0,0) :22P(max(X,Y) = 1) = P(1,0} + P[0,1) + P[1,1)１3222222-22K

P{max(X,Y ) = i} = P{X = i,Y  i} + P{X  i,Y = i} P{max(X,Y ) = 0}= P{0,0} , 2 1 2 = P{max(X,Y ) = 1} = P{1,0}+ P{0,1}+ P{1,1} 2 2 2 2 1 2 1 2 1 = + + . 2 3 2 = X Y 0 1 1 0 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 

两个随机变量的函数的分布3.5故z=max(X,Y)的分布律为Z73P4

故Z = max(X,Y)的分布律为 Z P 0 1 4 3 4 1

3.5两个随机变量的函数的分布补充4设XY分别表示两只不同型号的灯泡的寿命，X,Y相互独立,它们的概率密度分别为e-x, x>02e-2y, y>0,f(x) =g(y)0，其他,其他.L0,X试求Z的概率密度函数，一Y解由公式fz(z) = Jo yf(yz,y)d y - fmyf(yz, y)d y,R

设 X,Y 分别表示两只不同型号的灯泡的 fZ (z) = 解 由公式 试 求 的概率密度函数. Y X Z = 寿命, X,Y 相互独立,它们的概率密度分别为 f (x)    = g( y)    = e ,  0, − x x 0, 其他, 2e , 0, 2  − y y 0, 其他 . ( , )d ( , )d , 0 0 yf yz y y yf yz y y  −  − 补充4