广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 4.4 矩、协方差矩阵

第四章随机变量的数字特征第四节矩、协方差矩阵一、矩、协方差矩阵二、n维正态变量的性质三、小结概率论与数理统计（第4版）

一、矩、协方差矩阵 二、n 维正态变量的性质 第四节 矩、协方差矩阵 三、小结

44矩协方差矩一、矩、协方差矩阵基本概念1.矩的概念设X和Y是随机变量，若E(X*), k = 1,2,...存在，称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩.若E([X - E(X)]'}, k = 2,3, ..存在，称它为X的k阶中心矩K

一、矩、协方差矩阵基本概念 1.矩的概念 ( ), k E X 称它为X 的k 阶中心矩. 设 X 和Y 是随机变量, 若 存在, 称它为X 的k 阶原点矩,简称 k 阶矩. k = 1,2,  {[ ( )] }, k E X − E X 若 存在, k = 2,3, 

44短协方差矩险若E(X*y'),k, I =1,2,... 存在,称它为X和Y的k+I阶混合矩。若E([X - E(X)]"[Y - E(Y)]'}, k,I =1,2,...存在，称它为X和Y的k+阶混合中心矩

( ), k l E X Y 存在, 称它为X 和Y 的k + l阶混合矩. 若 k, l = 1,2,  {[ ( )] [ ( )] }, k l E X − E X Y − E Y 存在, 若 称它为X 和Y 的 k + l阶混合中心矩. k,l = 1,2, 

44矩协方差矩防说明(1)以上数字特征都是随机变量函数的数学期望；(2)随机变量X的数学期望E(X)是 X的一阶原点矩，方差为二阶中心矩，协方差Cov(X,Y)是X与Y的二阶混合中心矩；(3)在实际应用中，高于4阶的矩很少使用

说明 (1)以上数字特征都是随机变量函数的数学期望； (2)随机变量 X 的数学期望E(X) 是 X 的一阶原 与Y 的二阶混合中心矩; 点矩, 方差为二阶中心矩, 协方差 Cov(X,Y)是 X (3) 在实际应用中, 高于4阶的矩很少使用

44矩、协方差矩险三阶中心矩EIX-EX)主要用来衡量随机变量的分布是否有偏四阶中心矩EIX-E(X)I}主要用来衡量随机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何

三阶中心矩E{ [X − E(X )]3 }主要用来衡量随 四阶中心矩 E{ [X − E(X )]4 }主要用来衡量随 机变量的分布是否有偏. 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何

44短协方差矩险2.协方差矩阵设 n维随机变量(X,X,,,X,)的二阶混合中心矩C, =Cov(X,,X,)= E([X, -E(X,)I[X, - E(X,)]i,j=1,2,,n都存在,则称矩阵C11C12CinC21C22C2nC=Cnn)CnlCn2为n维随机变量的协方差矩阵

2. 协方差矩阵 设 n维随机变量(X1 , X2 ,  , Xn )的二阶混合 中心矩ij c i, j = 1,2,  ,n都存在, {[ ( )][ ( )] = E Xi − E Xi X j − E X j Cov( , ) = Xi X j 则称矩阵               C = 为n维随机变量的协方差矩阵. n c c c 11 12  1 n c c c 21 22  2    n n nn c c  c 1 2

44矩协方差矩防例如二维随机变量(X,X,)的协方差矩阵为C11C12C=C21C22其中 c11 = E([X, -E(X)}},C12 = E([X - E(X)][X, - E(X2)])C21 = E([X2 - E(X,)I[X, - E(X)]);C22 = E([X, - E(X,)]’}.由于 c= Cj(i,j =1,2,,n),所以协方差矩阵为对称的非负定矩阵K

例如       = 21 22 11 12 c c c c C 二维随机变量(X1 ,X2 )的协方差矩阵为 其中 11 c {[ ( )] }, 2 E X1 − E X1 = 12 c 21 c 22 c = = = {[ ( )][ ( )]}, E X1 − E X1 X2 − E X2 {[ ( )][ ( )]}, E X2 − E X2 X1 − E X1 {[ ( )] }. 2 E X2 − E X2 阵为对称的非负定矩阵. c c (i, j 1,2, ,n) , 由 于 ij = ji =  所以协方差矩

44矩协方差矩防协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究

协方差矩阵的应用 协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概 率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多 维随机变量的研究

44矩协方差矩险以二维正态随机变量(Xi,X）为例.概率密度[(xj -u)?1f(xi,x2) =exp= 2元0,02 /1-p[2(1 - p2) (xi -μi)(xz -μz) , (xz -μz)2-2p20102现在将上式中花括号内的式子写成矩阵形式，为此引入下面的列矩阵XX=UK

概率密度    −    − − − = 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2π 1 1 σ x μ σ σ ρ ρ , ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2      −  + − − − σ x μ σ σ x μ x μ ρ ( , ) x1 x2 f 现在将上式中花括号内的式子写成矩阵形式, 引入下面的列矩阵 为此 , 2 1       = x x X . 2 1       = μ μ μ ( , ) . 以二维正态随机变量 X1 X2 为例

44矩协方差矩险(X,X)的协方差矩阵为C12)_(p,021Co2(po02C21C22）它的行列式detC=,(1-p), C 的逆矩阵为o2- pO,O2?detC(-po,02经过计算可知(这里矩阵(X-μu)是(X-μ)的转置矩阵).K

(X1 ,X2 )的协方差矩阵为 C , 2 1 2 2 1 2 2 1       ρσ σ σ σ ρσ σ det (1 ), 2 2 2 2 它的行列式 C =  1 −  C 的逆矩阵为  =      = 21 22 11 12 c c c c −1 C 经过计算可知(这里矩阵(X − ) T是(X − )的转置 矩阵).         − − = 2 1 2 1 1 2 2 2 det 1 ρσ σ σ σ ρσ σ C