复旦大学：《高等数学》课程教学资源（习题解答）特征值与特征向量练习题

特征值与特征向量练习题$1特征值与特征向量求下列矩阵的特征值及对应的特征向量：32(2）(1)02(2.求n阶矩阵A的特征值（α≠0）。的特征值，求a。3.已知12是矩阵4.已知3阶矩阵A的三个特征值为1，-2，3。(1) 求|A|;（2）求A-和A的特征值；（3）求A?+2A+I的特征值，5. 已知n阶方阵A满足(A+I)*=O，求|A|。已知方阵A满足2A?-3A-5I=0，证明2A+I可逆6.7.设4阶方阵A满足/V2I+A=0，AA=2I，IAK0，求A的伴随矩阵A的个特征值。1设矩阵8.的特征值为1，2，3，求a，bC4001已知矩阵A有三个线性无关的特征向量，问a与b应满足何种关9.00系？

特征值与特征向量练习题 §1 特征值与特征向量 1．求下列矩阵的特征值及对应的特征向量： （1）            0 0 2 0 1 2 1 1 3 ； （2）                 1 1 0 1 0 1 0 1 1 。 2．求 n 阶矩阵                1 1 1        a a a a a a A 的特征值（ a  0 ）。 3．已知 12 是矩阵              4 4 4 7 1 7 4 1 a 的特征值，求 a。 4．已知 3 阶矩阵 A 的三个特征值为 1， 2 ，3。 （1）求 | A| ； （2）求 1 A 和 * A 的特征值； （3）求 A  2A I 2 的特征值。 5．已知 n 阶方阵 A 满足 A  I  O k ( ) ，求 | A|。 6．已知方阵 A 满足 2 3 5 0 2 A  A I  ，证明 2A I 可逆。 7．设 4 阶方阵 A 满足 | 2I  A| 0，AA  2I T ，| A| 0 ，求 A 的伴随矩阵 * A 的 一个特征值。 8．设矩阵            4 2 1 0 1 1 0 a b 的特征值为 1，2，3，求 a，b 。 9．已知矩阵            1 0 0 1 0 0 1 A a b 有三个线性无关的特征向量，问 a 与 b 应满足何种关 系？

10.已知=是矩阵A=a的一个特征向量，求a，b和对应的特h320征值。3O的特征值，是A-的特征值入对11.已知入=-2是Ab(-2)2-2应的特征向量，求a，b，c，的值。12.设3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，与之对应的特征向量分别为a, =(a, a+3, a+2), a, =(a-2, -1, a+1)T, a, =(1, 2a, -1)"a-58若还有0a+18=0，求a与A。103a+325中13.设A是可逆矩阵，a=（1,b,1)是A的伴随矩阵A的特征向量，1a且是a对应的特征值，求a，b，入。2A-1014.已知3阶矩阵A的特征值为1，-1，2，求矩阵的特征值。(A')-I015．设A是n阶矩阵，且每行元素之和均为α。证明：（1）入=a是A的特征值，（1,1,,1)是对应的特征向量；（2）当A可逆且α+0时，分别求A-和2A--3A的各行元素之和。16.设A是对合矩阵，即满足A2=I的方阵。证明：（1）A的特征值只能是1或-1；（2）若A的特征值全为1，则A=I17.已知 4 阶矩阵 A=(α,)有二重特征值0，且1 是A 的单重特征值，求 A的特征多项式A-。18.设A=（a）是n阶方阵。证明：若A的每行元素的绝对值之和小于1，则A的特征值的模小于1。19.设n阶矩阵A=（a）的特征值为，，，，证明：

10．已知             2 1 1 ξ 是矩阵            1 3 2 2 1 2 a A b a 的一个特征向量，求 a，b 和 ξ 对应的特 征值。 11．已知   2 是               2 2 4 1 3 1 0 b A a 的特征值，             2 1 a c 是 1 A 的特征值 0 对 应的特征向量，求 a，b ，c，0 的值。 12．设 3 阶矩阵 A 的特征值为1，0，1，与之对应的特征向量分别为 T (a, a 3, a 2) a1    ， T (a 2, 1, a 1) a2     ， T (1, 2a, 1) a3   。 若还有 0 0 3 3 25 0 1 8 5 8     a a a ，求 a 与 A 。 13．设            1 1 a 1 2 1 2 1 1 A 是可逆矩阵， T a  (1, b, 1) 是 A 的伴随矩阵 * A 的特征向量， 且  是 a 对应的特征值，求 a，b ， 。 14．已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，1，2，求矩阵           * 1 1 ( ) 2 O A A O 的特征值。 15．设 A 是 n 阶矩阵，且每行元素之和均为 a 。证明： （1）   a 是 A 的特征值， T (1, 1,  , 1) 是对应的特征向量； （2）当 A 可逆且 a  0 时，分别求 1 A 和 2A 3A 1   的各行元素之和。 16．设 A 是对合矩阵，即满足 A  I 2 的方阵。证明： （1） A 的特征值只能是 1 或1 ； （2）若 A 的特征值全为 1，则 A  I 。 17．已知 4 阶矩阵 ( ) A  aij 有二重特征值 0，且 1 是 A 的单重特征值，求 A 的特 征多项式 | A I |。 18．设 ( ) A  aij 是 n 阶方阵。证明：若 A 的每行元素的绝对值之和小于 1，则 A 的 特征值的模小于 1。 19．设 n 阶矩阵 ( ) A  aij 的特征值为   n , , , 1 2  ，证明：

2-22aran=l=l120.设A是n阶矩阵。证明：若每个非零n维列向量都是A的特征向量，则A是数量矩阵，即A=kI，（k是数）。21.（1）设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，且m≥n。证明：[ 2Im -AB- 2-n [>I, -BA];(2）设a,（i=1,2,..,n，n≥3）为实数，满足a, +a,+...+a,=0，求矩阵α2 +1a,a, +1)a,a, +1a2 +1azan+1a,a, +1.A(a.a, +1 a,a, +1 ...a2 +1的特征值。h21. 设A=证明A3+（a2+b2+c2)A=0。C2方阵的相似化简1.判断下列矩阵是否能与对角矩阵相似。若相似，求出可逆矩阵P，使得P-IAP为对角矩阵：(1) A(2)2. 设0(00A00A,=A福0050050（1）说明A，A,和A有相同特征值；（2）判别A，A,和A,之间的相似关系0-2000设方阵A-相似，求x，）3.22与B020130101y已知3阶方阵A有特征值1，1，3，与之相对应的特征向量分别为4.a, =(2, 1, 0), a, =(-1, 0, 1),a, =(0, 1, 1)

      n i n j ij ji n i i a a 1 1 1 2  。 20．设 A 是 n 阶矩阵。证明：若每个非零 n 维列向量都是 A 的特征向量，则 A 是 数量矩阵，即 n A  kI （ k 是数）。 21．（1）设 A 是 mn 矩阵， B 是 nm 矩阵，且 m  n 。证明： | I  AB| | I  BA|  n m n  m   ； （2）设 i a （ i 1, 2,  , n，n  3 ）为实数，满足 a1  a2  an  0 ，求矩 阵                         1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a        A 的特征值。 21．设               0 0 0 c a b a b c A ，证明 A  (   )A  O 3 2 2 2 a b c 。 §2 方阵的相似化简 1．判断下列矩阵是否能与对角矩阵相似。若相似，求出可逆矩阵 P ，使得 P AP 1 为对角矩阵： （1）              4 1 3 0 2 0 2 1 1 A ； （2）             0 0 1 0 1 0 1 1 2 A 。 2．设            0 0 5 0 1 0 1 0 0 A1 ，            0 0 5 0 1 1 1 1 0 A2 ，            0 0 5 0 1 0 1 0 1 A2 。 （1） 说明 A1， A2 和 A3 有相同特征值； （2） 判别 A1， A2 和 A3 之间的相似关系。 3．设方阵            3 1 1 2 2 2 0 0 A x 与            0 0 y 0 2 0 1 0 0 B 相似，求 x， y 。 4．已知 3 阶方阵 A 有特征值 1，1，3，与之相对应的特征向量分别为 T (2, 1, 0) a1  ， T ( 1, 0, 1) a2   ， T (0,1,1) a3 

求矩阵A。5.已知3阶方阵A有特征值1，2，3，与之相对应的特征向量分别为at = (1, 1, 1)’, a2 =(1, 2, 4),a, =(1, 3, 9)T 。设b=(1. 1. 3)T。（1）将b用ar，az，a,线性表示；(2) 求A"b (n≥1)。12已知是矩阵A=5的特征向量。6.二Cb-2（1）求a，b及所对应的特征值；（2）问A是否能对角化？k+14-27.已知0 是矩阵Ak2k的特征值。41-2（1）求k的值；（2）问A能否对角化？1)-14b8.已知矩阵A有3个线性无关的特征向量，且入=2是A的二重-a-3-35特征值。(1）求a，b的值；(2)求可逆矩阵P使得P-AP为对角矩阵。(0O19.设B=0-1若矩阵A与B相似，求rank(A-2I)+rankA-I）0012010.已知AS相似于对角矩阵4，求常数a，并找出可逆矩阵P，使a006得 P-"AP=42000011.已知A=00B=试判断A与B是否相似，若相似，0010-6T求出可逆矩阵P，使得B=P-AP2012求A10012. 设A=00-2-113.设0<p,q<1,xo=0.5，y。=0.5。数列(x,和ym)满足Xn+1 =(1- p)x, +qynn=0,1....Yn+1 = px, +(1-q)yn,求数列(x和(y,的通项公式

求矩阵 A 。 5．已知 3 阶方阵 A 有特征值 1，2，3，与之相对应的特征向量分别为 T (1, 1, 1) a1  ， T (1, 2, 4) a2  ， T (1, 3, 9) a3  。 设 T b  (1, 1, 3) 。 （1） 将 b 用 1 a ，a2 ， 3 a 线性表示； （2） 求 A b n （ n  1 ）。 6．已知             1 1 1 ξ 是矩阵               1 2 5 3 2 1 2 b A a 的特征向量。 （1）求 a，b 及 ξ 所对应的特征值； （2）问 A 是否能对角化？ 7．已知 0 是矩阵                4 1 2 2 4 1 2 k k k A 的特征值。 （1）求 k 的值；（2）问 A 能否对角化？ 8．已知矩阵               3 3 5 4 1 1 1 A a b 有 3 个线性无关的特征向量，且   2 是 A 的二重 特征值。 （1） 求 a，b 的值； （2） 求可逆矩阵 P 使得 P AP 1 为对角矩阵。 9．设            1 0 0 0 1 0 0 0 1 B 。若矩阵 A 与 B 相似，求 rank (A 2I)  rank (A I) 。 10．已知            0 0 6 8 2 2 2 0 A a 相似于对角矩阵 Λ ，求常数 a ，并找出可逆矩阵 P ，使 得 P AP  Λ 1 。 11．已知            0 1 0 0 0 1 2 0 0 A ，              0 6 2 0 1 0 1 0 0 B ，试判断 A 与 B 是否相似，若相似， 求出可逆矩阵 P ，使得 B P AP 1  。 12．设               2 1 1 0 2 0 1 2 0 A ，求 100 A 。 13．设 0  p, q 1， x0  0.5 ， y0  0.5 。数列 { }n x 和 { }n y 满足            (1 ) , (1 ) , 1 1 n n n n n n y px q y x p x qy n  0,1, 。 求数列 { }n x 和 { }n y 的通项公式

14.设A，B都是n阶矩阵，且A可逆，证明AB与BA相似。15.已知n阶方阵A满足A?-5A+6I=O，证明：A可对角化，16.设A，B，C，D都是n阶矩阵。证明：若A与B相似，C与D相似，则B相似。D17.设A，B，C都是n阶矩阵，且A，B各有n个不同特征值。记f(2)=A-aI为A的特征多项式。证明：若f(B)可逆，则M相似于对角矩阵，其中0为n阶零矩阵18.设A，B都是n阶非零矩阵，且A?+A=O，B+B=O，AB=0与BA=0至少有一个成立。证明：（1）元=-1必是A和B的特征值；（2）若a，a,分别是A和B对应于-1的特征向量，则a，a,线性无关

14．设 A ， B 都是 n 阶矩阵，且 A 可逆，证明 AB 与 BA 相似。 15．已知 n 阶方阵 A 满足 A 5A 6I  O 2 ，证明： A 可对角化。 16．设 A ，B ，C ，D 都是 n 阶矩阵。证明：若 A 与 B 相似， C 与 D 相似，则         C A 与         D B 相似。 17．设 A ，B ，C 都是 n 阶矩阵，且 A ，B 各有 n 个不同特征值。记 f () | A I | 为 A 的特征多项式。证明：若 f (B) 可逆，则          O B A C M 相似于对角矩阵，其中 O 为 n 阶零矩阵。 18．设 A ，B 都是 n 阶非零矩阵，且 A  A  O 2 ，B  B  O 2 ，AB  O 与 BA  O 至少有一个成立。证明：（1）   1 必是 A 和 B 的特征值； （2）若 1 a ，a2 分别是 A 和 B 对应于1 的特征向量，则 1 a ，a2 线性无关