《结构力学》课程教学资源（课件讲稿）第九章 矩阵位移法 9.3 单元刚度矩阵（整体坐标系）

9-3单元刚度矩阵（整体坐标系）教学目标：掌握一般单元的坐标转换矩阵掌握一般单元在整体坐标系下单元刚度矩阵。教学内容：单元坐标转换矩阵整体坐标系下单元刚度矩阵

9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系） 教学目标： „ 掌握一般单元的坐标转换矩阵 „ 掌握一般单元在整体坐标系下单元刚度矩阵。 教学内容： „ 单元坐标转换矩阵 „ 整体坐标系下单元刚度矩阵

1.单元坐标转换矩阵1?V0000思考取哪一组需要有一个统一的坐标系统

思考 取哪一组 1.  单元坐标转换矩阵 x y 需要有一个统一的坐标系统

1.单元坐标转换矩阵由x轴到轴的夹角α以顺时针转向为正FXIMM,EtJaa金FyM(e)(e)αM2Fy2Fxx127Fi cosαXLsinaFe = F cosα+ Ffi sinα2Fg =-Fi sinα+ Fi cosax

x y (e) x y α α Fx2 Fy2 M2 M1 Fy1 Fx1 由x轴到 x轴的夹角α以顺时针转向为正。 1.  单元坐标转换矩阵 x y (e) x y α Fx1 Fy1 M1 Fx2 Fy2 M2 Fx1 Fy1 1 sinα e Fy 1 cosα e Fx x y 11 1 11 1 cos sin sin cos ee e xx y ee e yx y FF F FF F α α α α = + =− +

1.单元坐标转换矩阵MXaFxi = Fi cosa+ Ff sinaM(e)Fy=-Fi cosa+ Fy sina1Me= MexFicosαF2 = Fi2 cosa + Fy2 sinaFesina2VFy2 =-F2 cosa+ Fy2 sinaxM,=MeF

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin cos sin cos sin e e e x x y e e e y x y e e e e e x x y e e e y x y e e F F aF a F F aF a M M F F aF a F F aF a M M ⎫ = + ⎪ =− + ⎪ ⎪ = ⎪ ⎬ = + ⎪ ⎪ =− + ⎪ ⎪ = ⎭ x y ( e ) x y α Fx1 Fy1 M1 Fx2 Fy2 M2 Fx1 Fy1 1 sin α e Fy 1 cos α e Fx x y 1.  单元坐标转换矩阵

1.单元坐标转换矩阵eFxF00007sinacosax1Fy50000cosa-sinaM,M,100000.....=:...Fx20Fx2000cosasina0000Fy2F.-sinacosaTy2000001M2)M,(F}=[T]F=[T

1.  单元坐标转换矩阵 e y x y x e e y x y x M F F M F F a a a a a a a a M F F M F F ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅⋅⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅⋅⋅ 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 { } [ ] { } ( ) ( ) e e F = T F { } [ ] { } ( ) ( ) e e Δ = T Δ

1.单元坐标转换矩阵07e000cosasina0000sinacosa一000001[7] =0000sinacosa0000-sinacosa000001正交矩阵[] - []

1.  单元坐标转换矩阵 [ ] cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 01 0 00 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 00 0 01 e a a a a T a a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ [ ] [ ] 1 T T = T 正交矩阵 －

2.整体坐标系的单元刚度矩阵局部坐标系的刚度矩阵(F°=[°e)[K]1？整体坐标系的刚度矩阵[Kk](F (e) =[k]e (A](e)

2.  整体坐标系的单元刚度矩阵 { } [ ] { } (e) (e) (e) F = k Δ { } [ ] { } ( e ) ( e ) ( e ) F = k Δ [ ] ( e ) k [ ] ( e ) k 局部坐标系的刚度矩阵 整体坐标系的刚度矩阵

2.整体坐标系的单元刚度矩阵单元刚度矩阵（局部坐标系）已有关系：F° -[° ----{"-{7--+(F]°-[T](F]'6[(F ]e -[][T]e(Fe' =[K]°(A]e)[[[](F)=[}"=[][k] = [][k][]

[ ] k [T ] [k ] [T ] e T e = [ ]{ } [ ] [ ]{ } ( ) (e) e e T F = k T Δ { } [ ] [ ] [ ]{ } e e e F = T k T Δ －1 { } [ ]{ }( ) ( ) e e F = T F { } [ ] { } (e) (e) (e) F = k Δ { } [ ]{ }( ) ( ) e e Δ = T Δ 已有关系： [ ] [ ] 1 T T = T － { } [ ] { } (e) (e) (e) F = k Δ 单元刚度矩阵(局部坐标系) 2.  整体坐标系的单元刚度矩阵

2.整体坐标系的单元刚度矩阵整体坐标系的单元刚度矩阵[k] = [][k] []整体坐标系的单元刚度方程(F)(e) =[k]) (A](e整体坐标系的单元刚度方程的性质米生元素k的物理意义米对称性米奇异性

[k] [T ] [k ] [ ] T e T e = { } [ ] { } (e) (e) (e) F = k Δ × 元素kij的物理意义 × 对称性 × 奇异性 整体坐标系的单元刚度矩阵 整体坐标系的单元刚度方程 2.  整体坐标系的单元刚度矩阵 整体坐标系的单元刚度方程的性质

3.示例P381：例9-1求图示刚架各单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵杆长/=5m,截面 bxh=0.5m×1m，A=0.5m2,I=1/24m*,E=3×10*MPa解：:1X（1）建立整体坐标系2（2）杆单元编号（3）建立单元局部坐标系

3.  示例 P381: 例9-1 求图示刚架各单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵。 杆长 l=5m, 截面 b×h=0.5m×1m，A=0.5m2，I=1/24m4，E=3×104MPa x y ① ② （1）建立整体坐标系 （2）杆单元编号 （3）建立单元局部坐标系 解：