《结构力学》课程授课教案（讲义）第十章 结构动力计算 10-4 阻尼对振动的影响 Influence of damping

教学要求了解阻尼的来源、种类和特点，了解有阻尼振动和无阻尼振动的区别与联系。掌握阻尼对动力特性（自振频率、振幅等）的影响，掌握动力特性（动位移、振幅）和阻尼比的计算。①阻尼的存在（ViscousDampingMechanism）②阻尼的影响（InfluenceofDamping）Dampinghasmuchlessimportanceincontrollingthemaximumresponseofastructuretoimpulsiveloadsthanforperiodicandharmonic loads.Themaximumresponsetoan impulsiveloadwillbereached inaveryshorttime,beforethedampingforcescanabsorbmuchenergyfromthestructure.振动中阻尼力有多种来源，例如振动过程中结构与支承之间的摩擦，材料之间的内摩擦，周围介质的阻力等。阻尼力对质点运动起阻碍作用，从方向上看，它总是与质点的速度方向相反，从数值上看它与质点速度有如下的关系：（1）阻尼力与质点速度成正比，称为粘滞阻尼。（2）阻尼力与质点速度的平方成正比（例如，固体在流体中运动受到的阻尼）。（3）阻尼力的大小与质点速度无关（摩擦力）。（1）力学模型myP(t)cj,ky北mj图10-7(2）控制方程mi+cy+ky=p(t)(3）解法讨论自由振动和强迫振动10.4.1有阻尼的自由振动

教学要求 了解阻尼的来源、种类和特点，了解有阻尼振动和无阻尼振动的区别与联系。掌握阻尼对动力 特性（自振频率、振幅等）的影响，掌握动力特性（动位移、振幅）和阻尼比的计算。 ①阻尼的存在（Viscous Damping Mechanism） ②阻尼的影响 (Influence of Damping) Damping has much less importance in controlling the maximum response of a structure to impulsive loads than for periodic and harmonic loads. The maximum response to an impulsive load will be reached in a very short time, before the damping forces can absorb much energy from the structure. 振动中阻尼力有多种来源，例如振动过程中结构与支承之间的摩擦，材料之间的内摩擦，周围介 质的阻力等。 阻尼力对质点运动起阻碍作用，从方向上看，它总是与质点的速度方向相反，从数值上看它与质 点速度有如下的关系： （1）阻尼力与质点速度成正比，称为粘滞阻尼。 （2）阻尼力与质点速度的平方成正比（例如，固体在流体中运动受到的阻尼）。 （3）阻尼力的大小与质点速度无关（摩擦力）。 （1）力学模型 图10-7 （2）控制方程 （3）解法 讨论自由振动和强迫振动 10.4.1 有阻尼的自由振动

kCC(dampingratio)(c:dampingconstant)5Ym2mo则有：J+25ay+oy=0特征方程为：23 +2201+02 =0其解为：=0(-5±V2-1)根据1三种情况可得：（1）考<1，特征方程有一对共轭复根（conjugate complex root)，令o,=o-/1-(dampedvibrationfrequency)则有：1=-to±io其解为：y=e-ar(cicosa,t+c,sina,t)dhy设初始条件为 y(t=0)=%0 % 1=0 =V,则有: coinoO,上式也可写为：y=etaasin(o,t+a)其中：o*+ (o +soyo)?yoo,a=tanao2Vo+Eayo位移曲线为：

位移曲线为：

2otaey-11图10-8讨论：振幅的衰减，自振频率的影响

图10-8 讨论：振幅的衰减，自振频率的影响

对自振频率的影响AC0,L1当<0.2时，有0.96<o,=/1-12moQ2）对振幅的影响e-ta(R+1)Ye+1ealeatJ:=50T =502元J:nOrYx+1所以：1ay2元0Js+1如果<0.2，则Qr~15Lm02元起+1这里1m称为振幅的对数递减率。同样，用，-表示两个相隔几个周Jk+1期的振幅，可得：1 0,mJ22n元0Yk+n1ln来计算。实际工程中，老很小，通常用2n元Yk+n2=-0时(2) E=1其解为：y=(Ci +c2t)e-ar由初始条件有：y=[yo(1+ot)+votle-ar位移曲线如下：10.4.2有阻尼的强迫振动有阻尼体系（设<1，此时一般称为小阻尼体系）承受一般动力荷载P(t)时，它的反应也可用杜哈梅积分表示，与无阻尼时的推导过程相似由前面已经学过的知识，我们知道初始速度vo引起的振动为：

10.4.2 有阻尼的强迫振动 有阻尼体系（设ξ<1，此时一般称为小阻尼体系）承受一般动力荷载P(t)时，它的反应也可用杜哈 梅积分表示，与无阻尼时的推导过程相似。 由前面已经学过的知识，我们知道初始速度v0引起的振动为：

Cy=etar sin o,tO,冲量s=mV，故J=ears-sino,tmo,ds=p(t)dt,t>时,cy=p(t)dte-sa(r-t)sino,(t-t)mo,故：-6p(t)e-() sin 0, (t-t)dtJ(t)=mo上式即为处于静止状态的单自由度体系在任意荷载P(t)作用下所引起的有阻尼的强迫振动。如果还有初始位移yo和初始速度vo，则总位移为：0)* 0 cos.0, + + 0 si 0, )-6p(t)ea(t-)sino,(t-t)dtmoOr下面讨论突加荷载和简谐荷载两种情况。（1）突加荷载sina,t)](t)-P[1-e-α (coso,t-mo0,Ystcoty(t)图10-9（2）简谐荷载

上式即为处于静止状态的单自由度体系在任意荷载P(t)作用下所引起的有阻尼的强迫振动。 如果还有初始位移y0和初始速度v0，则总位移为： 下面讨论突加荷载和简谐荷载两种情况。 （1）突加荷载 图10-9 （2）简谐荷载

POFsineF-sineji+25+0y=m由于1，故可设特解为：y=Asinot+Bcoset可求得：02-92Fm(02-02)+450*02-2500FB=m(0-0+45002其通解为：y=[e-ar(c,coso,t+c2sina,t)]+Asiner+Bcoset由于阻尼的存在，经过一段时间后，振动按荷载频率振动，这时称为平稳振动。此时位移可表示为：Cy=y, sin(α-α)其中：626Jp=J..[(1203O62Gα=tan60动力系数620-3202Jst其图形如课本图10.28所示。讲解图

由于阻尼的存在，经过一段时间后，振动按荷载频率振动，这时称为平稳振动。 此时位移可表示为： 其图形如课本图10.28所示。讲解图

0与β的关系061?一=1时，β=250?在阻尼体系中，共振时的动力系数不等于最大的动力系数βmax①相位角的关系：0→0，与p同步，α→0（低频振动）08-1α900（临界状态）06→00α1800（高频振动）Q