《结构力学》课程教学资源（课件讲稿）第十章 结构动力计算 10.3 单自由度体系的强迫振动

10-3单自由度体系的强迫振动Forced-vibrationofsingledegreeoffreedomsystem教学目标：掌握单自由度体系在简谐荷载作用下强迫振动的计算。理解自由振动和强迫振动的本质区别。教学内容：强迫振动微分方程简谐荷载下强迫振动微分方程的解简谐荷载下强迫振动的动力系数一般荷载下的强迫振动

10-3  单自由度体系的强迫振动 教学目标： „ 掌握单自由度体系在简谐荷载作用下强迫振动的计算。 „ 理解自由振动和强迫振动的本质区别。 教学内容： „ 强迫振动微分方程 „ 简谐荷载下强迫振动微分方程的解 „ 简谐荷载下强迫振动的动力系数 „ 一般荷载下的强迫振动 Forced-vibration of single degree of freedom system

1.强迫振动微分方程强迫振动：结构在动荷载作用下的振动kmj+ ky= Fp(t)mFp(t)88888ky01kymFp(t)myFp(t)y=0m

my ky F (t) + = P  ky my k y y m FP(t) FP m (t) k ω = 强迫振动：结构在动荷载作用下的振动。 m F t y y P ( ) 2  +ω = 1.  强迫振动微分方程

2.简谐荷载下强迫振动微分方程的解简谐荷载：Fp(t)= FsinOtF-sinQti+oy:设其特解为：my=Asin OtF-?+)Asinet=snot求得：mFFsin Oty=2Amo-0l0m01FsinOty(t)= yst02=FS得特解1mo02

F t F t P ( ) = sinθ t m F y ω y sinθ 2  + = δ ω F m F yst = = 2 简谐荷载： y = Asin θt ( ) t mF θ ω Asin θt sin θ 2 2 − + = ( ) 2 2 ω −θ = m F A t m F y θ ω θ ω sin 1 2 2 2 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − = 设其特解为： 求得： 令： y t y t st θ ω θ sin 1 1 ( ) 2 2 − = 得特解： 2.  简谐荷载下强迫振动微分方程的解

2.简谐荷载下强迫振动微分方程的解1F(x)= F sinOtsinty(t)= yst02F02y=-sintV+om则其一般解为：1sinty(t) =C, sin ot + C, cos otHYst0210人特解齐次解自由振动部分强迫振动部分1sinety(t) = ys平稳阶段：020

F x F t P ( ) = sinθ t m F y ω y sinθ 2  + = y t y t st θ ω θ sin 1 1 ( ) 2 2 − = 则其一般解为： y t C t C t y t st θ ω θ ω ω sin 1 1 ( ) sin cos 2 1 2 2 − = + + 齐次解 自由振动部分 特解 强迫振动部分 y t y t st θ ω θ sin 1 1 ( ) 2 2 − 平稳阶段： = 2.  简谐荷载下强迫振动微分方程的解

3.简谐荷载下强迫振动的动力系数平稳阶段：其最大振幅为：12sinQty(t)= yst0y(t)maxD002最大振幅与最大静位移之比称动力系数：1vt即有：ayBy=βyssinot0?yst

y t y t st θ ω θ sin 1 1 ( ) 2 2 − = 平稳阶段： 其最大振幅为： 2 max 2 1 ( ) ω θ − = st y y t 最大振幅与最大静位移之比称动力系数： 2 2 max 1 ( ) 1 ω θ β − = = st y y t sin st 即有： yy t = β θ 3. 简谐荷载下强迫振动的动力系数

3.简谐荷载下强迫振动的动力系数动力系数的讨论：同个33R它是频率比值/w的函数yst2特性:eR1230?0时，β→1，作静荷载处理001,β 随频率比的增大而增大O00时，β的绝对值随频率比的增大而减小00时,Iβ→8，共振>10

动力系数的讨论： 2 2 max 1 ( ) 1 ω θ β − = = st y y t ω θ β 1 23 1 2 3 它是频率比值/ω的函数。 特性： → 0 ω θ 时，β →1，作静荷载处理 0 1,β 随频率比的增大而增大 >1 ω θ 时， β 的绝对值随频率比的增大而减小 →1 ω θ 时，β → ∞ ，共振 3.  简谐荷载下强迫振动的动力系数

计算示例3.简谐荷载下强迫振动的动力系数例：一无重简支梁，在跨中有重W=20kN的电机，电机偏心所产生的干扰力P(t)=10sinot，电机每分钟转数n=500r/min，梁El=1.008×104kN.m2。求梁的最大位移和弯矩。P(t) = 10sinQt1W2m2m1B=[分析]为了求最大位移和弯矩，02只需求动力系数。2

例：一无重简支梁，在跨中有重 W ＝20kN的电机，电机偏心所 产生的干扰力 P ( t ) ＝10sin θ t，电机每分钟转数n=500r/min，梁EI ＝1.008 ×10 4kN.m 2。求梁的最大位移和弯矩。 2m 2m P ( t ) ＝10sin θ t W [分析] 为了求最大位移和弯矩， 只需求动力系数。 2 2 1 1 ω θ β − = 3.  简谐荷载下强迫振动的动力系数 计算示例

计算示例3.简谐荷载下强迫振动的动力系数P(t)=10sinotW(1）自振频率咖Wmd2m2m48EI48Elg48×1.008×10*kN.m2×9.8m/s2= 60.81s-10=WI320kN×43m(2)荷载频率2元m2×元×500= 52.36s-10=60603.8668(3) 动力系数0

2m 2m P(t)＝10sinθt W ⑴ 自振频率 δ ω m 1 = EI l 48 3 δ = 1 3 3 4 2 2 3 60.81 20 4 48 48 1.008 10 9.8 / − = × × × ⋅ × = = s kN m kN m m s WlEIg ω ⑵ 荷载频率 1 52.36 60 2 500 60 2 − = × × = = s πn π θ ⑶ 动力系数 3.866 1 1 2 = ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − = ω θ β 3.  简谐荷载下强迫振动的动力系数 计算示例

计算示例3.简谐荷载下强迫振动的动力系数LP(t) = 10sinotβ= 3.866(4）最大位移与最大弯矩W2m2mYmax = Yw + Yp= yw +βys=WS+βPS =0.00776mMmax = Mw + MpmaxwI +β=Pl = 58.66kN ·m44

2m 2m P(t)＝10sinθt W β = 3.866 ⑷ 最大位移与最大弯矩 max W P y yy = + W st = y y + β = Wδ + βPδ = 0.00776m Mmax = + M M W P Wl Pl 4 1 4 1 = + β = 58.66kN ⋅m 3.  简谐荷载下强迫振动的动力系数 计算示例

3.简谐荷载下强迫振动的动力系数拓展支座为弹簧例：已知m=300kg，EI=90×105N·m2,k=48EI/β，F,=20kN,0=80s-1求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。Fpsinot131 18=0+8,:m48EI2 2kMkEI13135732m2mS:192EI192EI48EI192EI11-134.16s-B:-1.55205ml3md1-?105731.552×20×103×5×43= 5.75x10-3 mJmax=βF,S=βF192EI192×90×101Mx1.552×20×4=31.04kN.mBmax4

例：已知m=300kg，EI=90×105N·m2 ,k=48EI/l3，FP=20kN,θ=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。 2m EI m k FPsinθt 2m EI k l 2 1 2 1 48 3 δ =δ 1+δ 2 = + EI l EI l EI l 192 5 48 192 3 3 3 δ = + = 1 3 134.16 5 1 192 − = = = s mlEI mδ ω 1.552 1 12 2 = − = θ ω β 3 33 3 max 5 5 1.552 20 10 5 4 5.75 10 192 192 90 10 P P l y FF m EI βδ β × × ×× − = = = =× × × max 1 1 ( ) 1.552 20 4 31.04 . 4 4 M = = × × ×= β F l kN m P 3.  简谐荷载下强迫振动的动力系数 拓展——支座为弹簧