《结构力学》课程教学资源（课件讲稿）第十章 结构动力计算 10.2 单自由度体系的自由振动

10-2单自由度体系的自由振动Free-vibrationofsingle degree offreedomsystem教学目标：掌握刚度法和柔度法建立振动微分方程的基本原理正确理解单自由度体系自由振动的动力特性。熟练掌握这些动力特性的计算。教学内容：自由振动微分方程自由振动微分方程的解结构的自振周期与频率

10-2  单自由度体系的自由振动 教学目标： „ 掌握刚度法和柔度法建立振动微分方程的基本原理。 „ 正确理解单自由度体系自由振动的动力特性。 „ 熟练掌握这些动力特性的计算。 教学内容： „ 自由振动微分方程 „ 自由振动微分方程的解 „ 结构的自振周期与频率 Free-vibration of single degree of freedom system

1.自由振动微分方程理论力学知识的回顾k脱离体受力分析：弹性力一ky,与位移的方向相反ky惯性力一mjmi与加速度的方向相反mi + ky= 0

理论力学知识的回顾 k y y ky m m y + ky = 0 脱离体受力分析： 弹性力 —ky, 与位移 y 的方向相反 惯性力— , m y 与加速度的方向相反 my m y 1.  自由振动微分方程

1.自由振动微分方程悬臂柱-质量体系的自由振动kky2mykykymjimi + ky= 0刚度系数k由结构力学方法求解T

k y y m  y  ky m m y ky 悬臂柱－质量体系的自由振动 ky 刚度系数 k 由结构力学方法求解 m  y  m  y  + ky = 0 1.  自由振动微分方程

1.自由振动微分方程悬臂柱-质量体系的自由振动建立振动微分方程的2种思路Mmy刚度法k对质点进行受力分析，利用平衡条件mj + ky = 0术柔度法8m对体系进行受力分析，质点位移miy=8(-mi)y=&F对单自由度体系dV=0my+办k

m y „ 刚度法 k 对质点进行受力分析，利用平衡条件 m  y  + ky = 0 ky m  y  建立振动微分方程的 2 种思路 悬臂柱－质量体系的自由振动 „ 柔度法 δ m y FI （ ） m  y  对体系进行受力分析，质点位移 FI y = δ y = δ (−my) 对单自由度体系 k 1 δ = 0 1 my + y = δ  1.  自由振动微分方程

2.自由振动微分方程的解mj + ky= 0自由振动微分方程：自由振动微分方程确定了体系自由振动时的运动规律kj+=y=0mk0j+の'y=0m这是一个齐次方程，其通解为y(t) = C cos t + C, sin t

自由振动微分方程确定了体系自由振动时的运动规律 自由振动微分方程： m y + ky = 0 令 m k = 2 ω + y = 0 m k  y 0 2  y+ ω y = y ( t ) C cos ωt C sin ωt = 1 + 2 这是一个齐次方程，其通解为 2.  自由振动微分方程的解

2.自由振动微分方程的解j +o~y= 0y(t) = C, cos ot + C, sin otC和C2可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为y(0)= yoj(0) = VoVoCi = yo0Voy(t) = yo cos ot +-sin ot0

C1 和 C2 可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为 0 0 y(0) = y y(0) = v ω 0 2 v C1 = y0 C = t v y t y t ω ω ( ) cosω sin 0 = 0 + 0 2 y+ω y = y(t) C cosωt C sin ωt = 1 + 2 2.  自由振动微分方程的解

2.自由振动微分方程的解20sin oty(t) = yo cos ot +0Ty.coso t0-yoyTVsin@ t0TAsinの0,α = tan- yooVo0

y 0 t y ο -yο T T T vD ω − vD ω y 0 t y t 0 ω • • α A -A y cosω t D t v ω ω sin D ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + ωα Asinω t ( ) , 2 0 2 0 ω v A = y + 0 1 0 tan v y ω α − = t v y t y t ω ω ( ) cosω sin 0 = 0 + 2.  自由振动微分方程的解

3.结构的自振周期与频率y(t) = Asin(ot +α)0の圆频率或角频率，或简称频率k1gg0=Vws△smVmsT自振周期WS2元mAstT=T=2元=2元mS=2元2元kg0g外界干扰（初始速度、初始位移）对周期思考频率等有影响吗？

T 自振周期 ω 2π T = y(t) = Asin(ωt +α) y t 0 A − A ω a T g g W m k m T Δst = = = = π δ 2π 2π δ 2π 2 ω 圆频率或角频率，或简称频率 st g W g m m k Δ = = = = δ δ ω 1 3.  结构的自振周期与频率 思考 外界干扰（初始速度、初始位移）对周期、 频率等有影响吗？

3.结构的自振周期与频率例10-1求图示体系的频率及自振周期mk1[分析]0=12mIms2元T11013SV2解：柔度系数：S.148EI48EI1m/32元Q2元Tm3Vm48EI0

例10-1 求图示体系的频率及自振周期。 3 48 l EI 柔度系数：δ = m l l/2 ω 2π T = δ ω m m k 1 = = l l/2 1 δ [分析] 解： 3 1 48 ml EI m = = δ ω EI ml T 48 2 2 3 π ω π = = 3.  结构的自振周期与频率

3.结构的自振周期与频率例10-2求图示悬臂杆的自振频率。（杆件截面积A，惯性矩I，弹性模量E，自身质量不计，杆顶重物重量为W）解：W131S=3EIEA3EIEA00m/3momlms

EI l 3 3 δ = 例10-2 求图示悬臂杆的自振频率。（杆件截面积 A，惯性 矩 I，弹性模量 E，自身质量不计，杆顶重物重量为W） W l 1 3 1 3 ml EI m = = δ ω 解： W l 1 EA l δ = ml EA m = = δ ω 1 3.  结构的自振周期与频率