《结构力学》课程授课教案（讲义）第十章 结构动力计算 10-3 单自由度体系的强迫振动 SDOF forced-Vibration

教学要求理解自由振动和强迫振动的概念及其本质区别。正确理解单自由度体系在简谐荷载作用下强迫振动的特点和一些动力特性（动力反应、过渡阶段、平稳阶段、动力系数、共振、相位角、振幅等）概念，熟练掌握这些动力特性（动位移、动力系数和动内力等）的计算。会应用Duhamel积分公式计算一般荷载作用下结构动力特性（动位移、动力系数和动内力等）。（1）定义：结构在动荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。(2）模型：P(t)mP(t)mkykmy图10-2（3）平衡方程mj+ by=p(t)K设0=，则上式变为：mji+o'y=p(t)m下面讨论几种动荷载作用下的振动情况10.3.1简谐荷载（HarmonicLoading，sinusoidal,simpleharmonic)设p(t)=Fsinet其中：6为简谐荷载的圆频率，F为荷载的幅值，运动方程为：j+o'y-Fsinetm上式为非齐次常微分方程。（differentialequation，Part-differentialequation，2ordernon-homogenouslineardifferentialequation)下面简单的复习一下常微分方程的基本解法。二阶齐次线性方程的一般形式为：(GeneralForm)y"+P(x)y+Q(x)y=0非齐次的一般形式为：y"+P(x)y+(x)y= f(x)

教学要求 理解自由振动和强迫振动的概念及其本质区别。正确理解单自由度体系在简谐荷载作用下强迫 振动的特点和一些动力特性（动力反应、过渡阶段、平稳阶段、动力系数、共振、相位角、振幅 等）概念，熟练掌握这些动力特性（动位移、动力系数和动内力等）的计算。会应用Duhamel积分 公式计算一般荷载作用下结构动力特性（动位移、动力系数和动内力等）。 （1）定义：结构在动荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。 （2）模型： 图10-2 （3）平衡方程 下面讨论几种动荷载作用下的振动情况： 10.3.1 简谐荷载（Harmonic Loading，sinusoidal, simple harmonic） 上式为非齐次常微分方程。（differential equation，Part-differential equation, 2 order non￾homogenous linear differential equation） 下面简单的复习一下常微分方程的基本解法。 二阶齐次线性方程的一般形式为：(General Form）

非齐次线性微分方程的通解为齐次的通解(Complementarysolution)加非齐次的特解(particularsolution)。我们在高等数学中所涉及的是二阶常系数线性微分方程。其一般形式为：C.y"+p'+q=0根据特征方程r2+pr+g=0可求其通解方程的两根12通解两不同实根r2y=Cjenr+C2e2x两相同实根=r2y=(ci +c2x)enx一对共轭复根n2=α±iBy=e(c,cospx+c,sinpc)二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为：y"+py'+qy=f()求解的情况为：(1）f(x)=Pm(x)e其中入是常数，Pm(x)是x的一个m次多项式：Pm(x)=aox"+axn1+.-+am-x+am(2)f(x)=e[P(x)cosox+P,(x)sinax],其中元，の是常数，P(x),P,(x)分别是x的1次，n次多项式，其中有一个可为零。对f(x)=Pm(x)e×，其特解为：y"=x"m(x)eix其中：m（x）是与Pmx）同次（m次）的多项式，而k根据入不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根，依次取为0.1,2对f(x)=e[P(x)cosax+P,(x)sinox]，其特解为：y=xe[R)(x)cosox+R.(2)sin ox]其中：R(x)R(2）(x）是m次多项式，m=maxln而k根据入io不是特征方程的根，或是特征方程的单根依次去取0或1。下面我们继续讨论强迫振动的问题

非齐次线性微分方程的通解为齐次的通解(Complementary solution)加非齐次的特解(particular solution)。 我们在高等数学中所涉及的是二阶常系数线性微分方程。其一般形式为： 下面我们继续讨论强迫振动的问题

真特征值r=±i0，故可按6=0和丰0两种情况来讨论*の时，r=iQ不是方程的根，故其特解为：y=acosot+bsinot可求得：FFJsta=0,b.62m(o2-)92mo-(103Q故其通解为：Jety=C,sinot+c,cosat+sint021-.02（2）当6=时：则土i0=i0是特征方程的根，故设y=t(acost+b sin)可求得：F,b,=0a20m此时的通解为：Fy= C, sin ot +c,cos ottcosot20m从上式可以看出当e=w时，位移y随时间的增大而增大，即产生共振（resonant）现象，这种情况是在结构设计过程中应避免的。(举桥的例子）下面讨论从上述公式可以得到的一些结论。动力系数β（ResponseRatio）dh?=0时，在通解中设其初始条件为t=0=0，=0dt可德6yaC2=0C1010?故：0(sinOt-sinot)920102

从上式可以看出当θ=ω时，位移y随时间的增大而增大，即产生共振（resonant）现象，这种情 况是在结构设计过程中应避免的。（举桥的例子） 下面讨论从上述公式可以得到的一些结论。 动力系数β（Response Ratio）

上式表明，强迫振动时的振动由两部分叠加而成，第一部分按荷载频率振动，第二部分按自振频率w振动。由于阻尼的存在，按自振频率w振动的部分会逐渐消失，而只出现按荷载频率振动的部分。这时我们可把振动分为两个阶段，即过渡阶段（transientprocess）和平稳阶段(steadystateprocess)。对平稳阶段，任一时刻的位移为：CVetJ0)=sinGt62其最大位移为：Tyt92O最大位移t）m与最大静位移y，的比值称为动力系数，用β表示，即1B=Jt)m82Jat0讨论以下几种情况：6Q→0时，B→1Q旦1?0<Q6?→1时，β→8066B的绝对值随=021时，的增大而减小。00例10-3：讲解频率与转速的关系。10.3.2一般动荷载的杜哈梅积分（DuhamelIntegral)(Response to general dynamicloading)（1）荷载模型P(t)P(t)PS=pdt0dt0图10-3(2）公式推导

上式表明，强迫振动时的振动由两部分叠加而成，第一部分按荷载频率θ振动，第二部分按自振 频率ω振动。由于阻尼的存在，按自振频率ω振动的部分会逐渐消失，而只出现按荷载频率θ振动的 部分。这时我们可把振动分为两个阶段，即过渡阶段（transient process）和平稳阶段(steady state process)。 对平稳阶段，任一时刻的位移为： 例10-3：讲解频率与转速的关系。 10.3.2 一般动荷载的杜哈梅积分（Duhamel Integral）（Response to general dynamic loading） （1）荷载模型 图10-3 （2）公式推导

5则此时的位没体系在t=0时处于静止状态，则冲量s=pAt.初速度Vo=mssin cot1mo设在t=T时作用瞬时冲量s，则t>时的位移为：Ssino(t-t)2mo（上式中设初位移为零）因此，有=P(t)dtsino(t-t)mo对上式进行叠加得：J(t)=6p(t)sin o(t-t)dtmo上式称为杜哈梅积分。原理：任意荷载作用下的任一时刻的位移等于从荷载作用开始至该时刻的动力响应的叠加（或积分）。(convolution integral)当初始位移和初始速度不为0时，则：(t)-% sin ot+yo cos ot+p(t)simo(t-t)dtmo0(3）应用1)突加荷载（Short-Durationlmpulse，shockload)P(t)0,当t0t图10-4-6Posin o(t-t)dt=Po(1-cosot)=y,(1-cosot)J(t)=mmoPo=Poo，表示在静荷载Po作用下所产生的位移。J=mo2(t)max = 2此时，动力系数β=Jat2）短时荷载（rectangularimpulse）

上式称为杜哈梅积分。 原理：任意荷载作用下的任一时刻的位移等于从荷载作用开始至该时刻的动力响应的叠加（或 积分）。(convolution integral) 当初始位移和初始速度不为0时，则： （3）应用 1) 突加荷载（Short-Duration Impulse, shock load） 图10-4 2) 短时荷载（rectangular impulse）

P(t)A0当tutu图10-5当0≤t≤u时：y(t)=y(l-cosot)t>u时，自由振动，计算方法可分为两种。第一种以u时刻达到位移v(u）和速度vu）作为起始位移和起始速度，即可得（学生课后练习）另外，也可直接用杜哈梅积分计算。1Po[coso(t-u)-cosot]J(t)Bp(t)simo(t-t)dtmomoouuJa.×2sinsin o(t-22下面讨论体系的最大响应，分以下两种情况。T（加载持续时间大于半个自振动周期）：此时，动力系数β=2：1D12T此时最大反应发生在自由振动阶段。2ouYmax=y.×2sin2ouTuβ=2sin=2sin2T综上所述，有：SNEATu42sinTHB=222即：设=1P=1按u的不同情况，绘出图形。mo?讲解图10.21，动力系数反应谱。3）线形渐增荷载

图10-5 下面讨论体系的最大响应，分以下两种情况。 讲解图10.21，动力系数反应谱。 3) 线形渐增荷载

P(t)Potost≤tp(t)=t,PoLpotzt,tt图10-6计算结果如下：1sinottst,yat0t.y(t)=aa-[sinot-sino(-t,)) t,ot,讲解图10.23

图10-6 计算结果如下： 讲解图10.23