《结构力学》课程教学资源（课件讲稿）第十章 结构动力计算 10.5 两个自由度体系的自由振动

回顾：单自由度振动方程mi+ci+ky = Fp(t)

( ) my cy ky F t + + = P   单自由度振动方程 回顾：

无阻尼有阻尼k自振0, = 0/1-520=频率m动力9242B系数Q

无阻尼 k m ω = 有阻尼 2 1 ωr =ω ξ − 2 2 1 1 β θ ω = − 1 2 2 2 2 2 2 2 1 4 θ θ β ξ ω ω − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ =− + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 自振 频率 动力 系数

10-5两个自由度体系的自由振动Free-vibrationofDoubleDOF教学目标：理解频率方程和主振型等概念。掌握刚度法和柔度法建立两个自由度体系自由振动微分方程的方法教学内容：刚度法挠度法

10-5  两个自由度体系的自由振动 教学目标： „ 理解频率方程和主振型等概念。 „ 掌握刚度法和柔度法建立两个自由度体系 自由振动微分方程的方法。 教学内容： „ 刚度法 „ 挠度法 Free-vibrationofDoubleDOF

1.刚度法1-m,j2-12mO2-mji-rKmO1mj+r=0r=kyi+ki2y2mjz +r =0]r2=k21yi+k22y2mji(t) +kiyi(t)+k2y2(t) = 0（1）振动方程m2j2(t) + k2ii(t)+ k22y2(t) = 0

( ) 1 y t ( ) 2 y t 2 m 1 m 1 − m y1  1 − r 2 − r 11 1 22 2 0 0 my r my r + = ⎫⎬ + = ⎭  2 1 2 1 11 k 21 k 1 2 1 12 k 22 k 1 11 1 12 2 r k = y + k y 2 21 1 22 2 r k = y + k y 1 1 11 1 12 2 2 2 21 1 22 2 () () () 0 () () () 0 my t k y t k y t my t k y t k y t + + = ⎫⎬ + + = ⎭  （1）振动方程 2 − m y2  1 1.  刚度法

1.刚度法（2）振动方程的解mji(t)+kiyi(t)+kizy2(t) = 0m,jz(t) + k2iyi(t) + k22y2(t) = 0y(t)= Y, sin(ot +α)y2(t) = Y, sin(ot + α)>在振动过程中，两个质点具有相同的频率w和相同的相位角α>在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但二者的比值始终保持不变，即：J()YL=常数Y2y2(t)结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型(Normal Mode shape）

（2）振动方程的解 1 1 2 2 ( ) sin( ) ( ) sin( ) yt Y t yt Y t ω α ω α = + ⎫⎬ = + ⎭ ¾在振动过程中，两个质点具有相同的频率ω和相同的相位角α ¾在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但二 者的比值始终保持不变，即： 1 1 2 2 ( ) ( ) yt Y yt Y = = 常数 结构位移形状保持不变的振动形式， 称为主振型或振型(Normal Mode shape ) 1 1 11 1 12 2 2 2 21 1 22 2 () () () 0 () () () 0 my t k y t k y t my t k y t k y t + + = ⎫⎬ + + = ⎭  1.  刚度法

1.刚度法(k-°m)Y +k,Y, = 0振幅方程AmplitudeEquationk2/Y +(k22 - 0°m2)Y, = 0kil-0°mk12频率方程（特征方程）=0D:FrequencyEquationk22 - 0'm2ki,k22 - kjzk21(第+条)[(+会)022mmmm,m2两个自由度的体系有两个自振频率；最小的圆频率，称为第一频率或基本频率另一个频率称为第二频率W2°

2 11 1 1 12 2 2 21 1 22 2 2 () 0 ( )0 k mY kY kY k m Y ω ω − += ⎫⎪⎬ +− = ⎪⎭ 2 11 1 12 2 21 22 2 0 km k D k km ω ω − = = − 2 2 11 22 11 22 11 22 12 21 1 2 1 2 12 1 1 2 2 k k k k kk kk m m m m mm ω ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤ − = +± + − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦ z 两个自由度的体系有两个自振频率； z 最小的圆频率，称为第一频率或基本频率ω1； z 另一个频率称为第二频率ω2。 频率方程（特征方程） Frequency Equation 振幅方程 Amplitude Equation 1.  刚度法

1.刚度法(k -0m)Y, +k2, = 0k2/Y +(k22 -*m2)Y, = 00=00=0Mk12KY21Y22ki - 0 mki -0,m第一振型或基本振型第二振型Ym代表质点的振幅代表振动的频率nmn

ω =ω1 2 11 1 1 12 2 2 21 1 22 2 2 () 0 ( )0 k mY kY kY k m Y ω ω − += ⎫⎪⎬ + − = ⎪⎭ 11 12 2 21 11 1 1 Y k Yk m ω = − − ω =ω2 12 12 2 22 11 2 1 Y k Yk m ω = − − 第二振型 Y mn m 代表质点的振幅 n 代表振动的频率 第一振型或基本振型 1.  刚度法

1.刚度法V2221Y第一主振型第二主振型基本频率wi基本频率W2在一般情形下，两个自由度体系的自由振动可看作是两种频率及其主振型的组合振动y(t) = AY, sin(のt +α)+ A,Yi2 sin(の,t + α2)y2(t) = AY2 sin(0)t +α,)+ A,Y2 sin(0,t +α,)A，Aαα，由初始条件来确定

2 1 第一主振型 基本频率ω1 2 1 Y11 Y21 2 1 Y12 Y22 第二主振型 基本频率ω2 在一般情形下，两个自由度体系的自由振动可看 作是两种频率及其主振型的组合振动。 1 1 11 1 1 2 12 2 2 2 1 21 1 1 2 22 2 2 ( ) sin( ) sin( ) ( ) sin( ) sin( ) y t AY t AY t y t AY t AY t ω α ωα ωα ωα = ++ + ⎫⎬ = ++ + ⎭ A1 A2 α1 α2 由初始条件来确定。 1.  刚度法

1.刚度法例：图示两层刚架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，第一、二层的质量分别为m1、m2。层间侧移刚度（层间产生单位相对侧移时所需施加的力）分别为k1、k2。求刚架水平振动时的自振频率和主振型。m,Kk2mkkki2'mD=0K2k22 -0°m2

例：图示两层刚架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层 上，第一、二层的质量分别为 m1、 m 2。层间侧移刚度（层间 产生单位相对侧移时所需施加的力）分别为 k1、 k2 。 求刚架水平振动时的自振频率和主振型。 m1 m 2 1 k 2 k i k i k 1 1 2 11 1 12 2 21 22 2 0 km k D k km ω ω − = = − 1.  刚度法

1.刚度法（1）求刚度系数k22=kz-K二kj2= -kzk=ki+kzk=k +k2 k21=-k2ki2 =-kzk2 = kz

1 11 k 21 k 1 2 = k k + 2 = −k 1 12 k 22 k 2 = k 2 = −k （1）求刚度系数 11 1 2 21 2 12 2 22 2 k kk k k k k kk = + =− =− = 1.  刚度法