《结构力学》课程授课教案（讲义）第十章 结构动力计算 10-2 单自由度体系的自由振动 SDOF-Free Vibration

教学要求掌握刚度法和柔度法建立振动微分方程的基本原理原理及方法。正确理解单自由度体系自由振动的动力特性（自振频率、自振周期、位移、振幅等）的基本概念和特点，熟练掌握这些动力特性的计算。意义：（1）单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估算（2）单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力体系分析的基础。10.2.1自由振动微分方程的建立(1）模型Akykymjmj图10-1（2）单元分析：弹性力一hy，与位移y的方向相反：（elasticconstraints）惯性力一i，与加速度j的方向相反。（opposedisplacements）（3）平衡方程：(The mathematical expressions defining thedynamic displacements are called theequationsofmotion of the structure, and the solution of these equations of motion provides the requireddisplacementhistories.)mjy+ky=0这是从力系平衡角度建立的自由振动微分方程，这种方法称为刚度法。(Stiffnessmethod)根据位移协调条件，惯性力力=m，用表示柔度系数，即在单位力作用下所产生的位移，则质量m的位移为：J=J18=(-mi)8这种根据位移协调条件建立自由振动微分方程的方法称为柔桑度法。(FlexibilityMethod)10.2.2自由振动微分方程的解将原方程写为：

教学要求 掌握刚度法和柔度法建立振动微分方程的基本原理原理及方法。正确理解单自由度体系自由振 动的动力特性（自振频率、自振周期、位移、振幅等）的基本概念和特点，熟练掌握这些动力特性 的计算。 意义：（1）单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估算。 （2）单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力体系分析的基础。 10.2.1 自由振动微分方程的建立 （1）模型 （2）单元分析: （3）平衡方程： (The mathematical expressions defining the dynamic displacements are called the equations of motion of the structure, and the solution of these equations of motion provides the required displacement histories.) 这是从力系平衡角度建立的自由振动微分方程，这种方法称为刚度法。(Stiffness method) 这种根据位移协调条件建立自由振动微分方程的方法称为柔度法。(Flexibility Method) 10.2.2 自由振动微分方程的解 将原方程写为： 图10-1

CJ+@"y=0k其中：Ym其解为：y(t)=c,sinot+c2cosot其中：c1,c2由初始条件确定。如果设t=0时，质点有初始位移y和初始速度Vo,即：3(0)=Y0.V(0)=Vo则可求得： ci=%,C2 =Yo0即：() - 'e sin ot+ yo cos at0上式为由。引起的位移和由初始速度引起的位移的叠加。如果将其解写为：J(t)=asin(ot+α）的形式，其中a称为振幅（Amplitude)，α称为初始相位角（inertiaphase），则可导出：=a0a 或a-+%α=tan-1yoo=asina,02.Vo0（讲解解题的思路。另外，Yo=O时，Vo=O时的解）10.2.3结构的自振周期（NaturalVibrationfrequency）由其位移函数我们知道这是一个周期函数，其周期为：T=2元C0由此周期（periodic），频率（frequency），角频率（circularfrequency）的相关公式可表示成：mwoA.t=2元/m日=2元T=2元Vkgg其中：m=A.=W（A.为W作用时的静位移）g结构自振周期的一些重要性质：（1）自振周期与结构的质量和刚度有关，与外界的影响无关，也就是说自振周期反映了结构自身的特性;

（讲解解题的思路。另外，y0=0时，v0=0时的解） 10.2.3 结构的自振周期(Natural Vibration frequency) 由其位移函数我们知道这是一个周期函数，其周期为： 结构自振周期的一些重要性质： （1）自振周期与结构的质量和刚度有关，与外界的影响无关，也就是说自振周期反映了结构自 身的特性；

（2）自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比；因此要改变结构的自振周期只有从改变结构的质量或刚度入手；（3）自振周期是结构动力性能的一个重要数量标志。例10.1：注意讲解基本模型，了解掌握建模，分析，求解的处理问题方式

（2）自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比；因此要改变结构的自振周期， 只有从改变结构的质量或刚度入手； （3）自振周期是结构动力性能的一个重要数量标志。 例10.1：注意讲解基本模型，了解掌握建模，分析，求解的处理问题方式