《建筑结构抗震》课程授课教案（讲义）第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.8 结构非弹性地震反应分析

教案及讲义建筑结构抗震第九讲河北联合大学建筑工程学院

教案及讲义 建筑结构抗震 第九讲 河北联合大学建筑工程学院

教案9课程名称《建筑结构抗震》授课专业土木工程授课内容第三章结构地震反应分析与抗震验算3.8结构非弹性地震反应分析知识熟悉结构的非弹性性质、逐步积分法以及非弹性地震反应分析的简化方法目标教学能力掌握非弹性地震反应分析的简化方法目目标标德育培养逻辑思维，查阅规范有关表格，认真计算的能力目标①屈服强度系数和薄弱层位置的确定重点②滞回模型教①滞回模型材难点②逐步积分法分析关键非弹性地震反应分析的简化方法教学设备传统板书教教法强调概念的理解，按逻辑思维推理演算学方学法紧扣概念→强调计算→加强练习→总结归纳法教学环节教学内容时间教师调控学生活动点名2'组织教学师生问好5'导入新课以复习前一章知识导入本次课内容。教师提问，学生思考，1、复习上节课内容；2、简述结构的非弹性性质；教师边讲边启发边归纳边新授强调。提出问题，让学生回75°3、简述逐步积分法4、强调非弹性地震反应分析的简化方法；答，之后给出正确答案。5、总结该节课的教学内容。10*课堂练习分别让学生回答。给出思考题、判断题1、归纳非弹性地震反应分析方法5"课后小结学生总结→教师归纳2、强调屈服强度系数计算方法。补充计算题作业做到作业本上作业3"通过调动了学生学习的积极性，掌握了相关的基本知识，教研室主任签字做到结合规范教学，达到了教学目标要求，教学效果较好。课堂评价

教案 9 课程名称 《建筑结构抗震》 授课专业 土木工程 授课内容 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.8 结构非弹性地震反应分析 教 学 目 标 知识 目标 熟悉结构的非弹性性质、逐步积分法以及非弹性地震反应分析的简化方法 能力 目标 掌握非弹性地震反应分析的简化方法 德育 目标 培养逻辑思维，查阅规范有关表格，认真计算的能力 教 材 分 析 重点 ①屈服强度系数和薄弱层位置的确定 ②滞回模型 难点 ① 滞回模型 ② 逐步积分法 关键 非弹性地震反应分析的简化方法 教学设备 传统板书 教 学 方 法 教法 强调概念的理解，按逻辑思维推理演算 学法 紧扣概念→强调计算→加强练习→总结归纳 教学环节 教学内容 教师调控学生活动 时间 组织教学 点名 师生问好 2` 导入新课 以复习前一章知识导入本次课内容。 教师提问，学生思考， 5’ 新授 1、复习上节课内容； 2、简述结构的非弹性性质； 3、简述逐步积分法 4、强调非弹性地震反应分析的简化方法； 5、总结该节课的教学内容。 教师边讲边启发边归纳边 强调。提出问题，让学生回 答，之后给出正确答案。 75’ 课堂练习 给出思考题、判断题 分别让学生回答。 10’ 课后小结 1、归纳非弹性地震反应分析方法 2、强调屈服强度系数计算方法。 学生总结→教师归纳 5’ 作业 补充计算题 作业做到作业本上 3’ 课堂评价 通过调动了学生学习的积极性，掌握了相关的基本知识， 做到结合规范教学，达到了教学目标要求，教学效果较好。 教研室主任签字

讲义93.8结构非弹性地震反应分析在罕遇地震（大震）下，允许结构开裂，产生塑性变形，但不允许结构倒塌。为保证结构“大震不倒”，则需进行结构非弹性地震反应分析。结构超过弹性变形极限，进入非弹性变形状态后，结构的刚度发生变化，这时结构弹性状态下的动力特征（自振频率和振型）不再存在。因而基于结构弹性动力特征的振型分解反应谱法或底部剪力法不适用于结构非弹性地震反应分析。本节将讨论如何进行结构非弹性地震反应计算。在此之前，需了解结构的非弹性性质。3.8.1结构的非弹性性质1.滞回曲线将结构或构件在反复荷载作用下的力与非弹性变形间的关系曲线定义为滞回曲线。滞回曲线可反映在地震反复作用下的结构非弹性性质，可通过反复加载试验得到。图3-27为几种典型的钢筋混凝土构件的滞回曲线，图3-28为几种典型钢构件的滞回曲线。2.滞回模型描述结构或构件滞回关系的数学模型称为滞回模型。图3-29是几种常用的滞回模型。其中，图3-29a是双线性模型，一般适用于钢结构梁、柱、节点域构件，图3-29b是退化三线性模型，一般适用于钢筋混凝土梁、柱、墙等构件，图3-29c是剪切滑移模型，一般适用于砌体墙和长细比比较大的交叉钢支撑构件。滞回模型的参数，如屈曲强度Py、开裂强度P。、滑移强度Ps、弹性刚度ko、弹塑性刚度kp、开裂刚度k.等可通过试验或理论分析得到。PI-M，骨架曲线骨架曲线P茶#E出(b)压弯构件(a)受弯构件骨架曲线2(c)剪力墙图3-27几种钢筋混凝土构件滞回曲线3.8.2结构非弹性地震反应分析的逐步积分法

讲义 9 3.8 结构非弹性地震反应分析 在罕遇地震（大震）下，允许结构开裂，产生塑性变形，但不允许结构倒塌。为保证结 构“大震不倒”，则需进行结构非弹性地震反应分析。 结构超过弹性变形极限，进入非弹性变形状态后，结构的刚度发生变化，这时结构弹性 状态下的动力特征（自振频率和振型）不再存在。因而基于结构弹性动力特征的振型分解反 应谱法或底部剪力法不适用于结构非弹性地震反应分析。本节将讨论如何进行结构非弹性地 震反应计算。在此之前，需了解结构的非弹性性质。 3.8.1 结构的非弹性性质 1. 滞回曲线 将结构或构件在反复荷载作用下的力与非弹性变形间的关系曲线定义为滞回曲线。滞回 曲线可反映在地震反复作用下的结构非弹性性质，可通过反复加载试验得到。图 3-27 为几 种典型的钢筋混凝土构件的滞回曲线，图 3-28 为几种典型钢构件的滞回曲线。 2. 滞回模型 描述结构或构件滞回关系的数学模型称为滞回模型。图 3-29 是几种常用的滞回模型。其 中，图 3-29a 是双线性模型，一般适用于钢结构梁、柱、节点域构件，图 3-29b 是退化三线 性模型，一般适用于钢筋混凝土梁、柱、墙等构件，图 3-29c 是剪切滑移模型，一般适用于 砌体墙和长细比比较大的交叉钢支撑构件。滞回模型的参数，如屈曲强度 Py、开裂强度 Pc、 滑移强度 Ps、弹性刚度 k0、弹塑性刚度 kp、开裂刚度 kc等可通过试验或理论分析得到。 P 骨架曲线 (a)受弯构件 P o δ A (b)压弯构件 o φ M N P A 骨架曲线 (c)剪力墙 P P γ A 骨架曲线 图 3-27 几种钢筋混凝土构件滞回曲线 3.8.2 结构非弹性地震反应分析的逐步积分法

1.运动方程式（3-60）中，[K)(x)实际上是结构变形状态为(x)时的弹性恢复力向量(Fe)。但是，当结构进入非弹性变形状态后，结构的恢复力不再与[K](x}对应，而与结构运动的时间历程(x(t)及结构的非弹性性质有关。因此，结构的弹塑性运动方程应表达为P.N-P(kN)P-6004 (mm) (mm)6060A//4020-20-1010/600(b)柱(a)梁N(kN)拉力NN8 (mm)1/r=4.560(c)支撑压力

1. 运动方程 式（3-60）中，[K]{x}实际上是结构变形状态为{x}时的弹性恢复力向量｛Fe｝。但是， 当结构进入非弹性变形状态后，结构的恢复力不再与[K]{x}对应，而与结构运动的时间历程 ｛x(t)｝及结构的非弹性性质有关。因此，结构的弹塑性运动方程应表达为 Δ(mm) 60 40 20 20 40 60 P(kN) 600 600 P P Δ Δ (a)梁 (b)柱 Δ(mm) -20 -10 0 10 20 10 -10 P N -4 -2 0 2 4 -40 40 60 -60 δ(mm) N(kN)拉力 1/r=4.5 N N 压力 (c)支撑

(d)节点域图3-28几种钢构件滞回曲线106,11(b)(a)(c)图3-29几种常用的滞回模型（a）双线性模型（b）退化三线性模型（c）剪切滑移模型[M](x(t)) +[C](x(t) +(F(t)) =-[M](I)x, (t)(3-186)方程（3-186）适用于结构任意时刻，对结构t+△t时刻同样适用，则[M](x(t+ Ar)+[C](x(t+△r)+ (F(t+ At)) =-[M)(1) x, (t+ At) (3-187)令(△x) = (x(t+ At)) -(x(0)(3-188a)(Ax) = (x(t+ A)) - (x(0))(3-188b)(Ar) = (x(t + At)) - (x(t))(3-188c)x, =xg(t+N)-x (0)(3-189)

V V γ V (d)节点域 图 3-28 几种钢构件滞回曲线 图 3-29 几种常用的滞回模型 （a）双线性模型 （b）退化三线性模型 （c）剪切滑移模型 [M]{x(t)} [C]{x(t)} {F(t)} [M]{1}x (t) g •• • •• + + = − （3-186） 方程（3-186）适用于结构任意时刻，对结构 t + t 时刻同样适用，则 [M]{x(t t)} [C]{x(t t)} {F(t t)} [M]{1}x (t t) +  + +  + +  = − g +  •• • •• （3-187） 令 { x} {x(t t)} {x(t)} •• •• ••  = +  − （3-188a） { x} {x(t t)} {x(t)} • • •  = +  − （3-188b） {x} = {x(t + t)}−{x(t)} （3-188c） x x (t t) x (t) g g g •• •• •• = +  − （3-189）

(3-190)(△F) = {F(t +A)) -{F(t)则将式（3-187）与（3-186）相减得[M)(Ax) +[C](Ax) +(AF) = -[M](I)Ax(3-191)式（3-191）为结构运动的增量方程。如在增量时间内，结构的增量变形{Ax!不大，则近似有（参见图3-30）(3-192)(AF} =[K(t)(Ax)式中[K(t)]一结构在t时刻的刚度矩阵，由t时刻结构各构件的刚度确定。FF(t+At)K(t)F(t)o+x(t)x(t+t)图3-30增量力与增量变形的关系将式（3-192）代入式（3-191）得[M](A x) +[c](A x) +[K(0)](Ar) = -[M](1]Axg(3-193)2.方程的求解方程（3-193）与方程（3-60）很相似，但由于[K(t)]随时间发生变化（即为时间的函数），使方程（3-193）成为非常系数微分方程组，一般情况下无解析解，但可通过逐步积分，获得方程的数值解。为此，采用泰勒（Taylor）级数展开式，由结构t时刻的位移、速度、加速度等向量(x(0)、{x(t))、(x(t)，.，分别表示t+△t时刻的位移和速度向量，即At3((+)=((0)+(0)+(+(x(0))(3-194a)26At?(x(t + At)) = (x(t) + (x(t))At +(x(1)(3-194b)2假定在△t的时间间隔内，结构运动加速度的变化是线性的，则(x(0) = -((x(t + At)) - (x(t)) =(3-195)(x)=常量AtAt

{F} = {F(t + t)}−{F(t)} （3-190） 则将式（3-187）与（3-186）相减得 •• • ••  +  +  = −  g [M]{ x} [C]{ x} { F} [M]{1} x （3-191） 式（3-191）为结构运动的增量方程。如在增量时间内，结构的增量变形 {x} 不大，则 近似有（参见图 3-30） {F} = [K(t)]{x} （3-192） 式中 [K(t)]—结构在 t 时刻的刚度矩阵，由 t 时刻结构各构件的刚度确定。 F o x F(t+Δt) F(t) K(t) x(t) x(t+Δt) 图 3-30 增量力与增量变形的关系 将式（3-192）代入式（3-191）得 •• • ••  +  +  = −  g [M ]{ x} [c]{ x} [K(t)]{ x} [M ]{1} x （3-193） 2. 方程的求解 方程（3-193）与方程（3-60）很相似，但由于 [K(t)] 随时间发生变化（即为时间的函数）， 使方程（3-193）成为非常系数微分方程组，一般情况下无解析解，但可通过逐步积分，获 得方程的数值解。为此，采用泰勒（Taylor）级数展开式，由结构 t 时刻的位移、速度、加 速度等向量 {x(t)}、{x(t)} • 、{x(t)} •• ，. . .，分别表示 t + t 时刻的位移和速度向量，即 +   +  +  = +  + • •• ••• 6 { ( )} 2 { ( )} { ( )} { ( )} { ( )} 2 3 t x t t x t t x t x t t x t （3-194a） +   +  = +  + • • •• ••• 2 { ( )} { ( )} { ( )} { ( )} 2 t x t t x t x t t x t （3-194b） 假定在 t 的时间间隔内，结构运动加速度的变化是线性的，则 =  +  − =  = ••• •• • •• { } 1 ({ ( )} { ( )}) 1 { ( )} x t x t t x t t x t 常量 （3-195）

d'(x(t)=(0)(3-196)r=45.dtr将式（3-195）、（3-196）代入式（3-194）得1412:41(Ar) = (x(0))At + (x(t)+(Ax)(3-197a)26() =(3() +()(3-197b)2由上两式可解得.66(x]=14r!--1x(0)-3/x(0)(3-198a)At?At(4x)=3At :(3-198b)(Ax) -3(x(0) -T(x(0)△t将式（3-198）代入式（3-193）得(3-199)[K*(0Ar) ={F*(0)其中6[K'()]=[K(t)] +--[M]+-[C](3-200)At?At6.At.(F*(0)) =-[M](1}Ax, +[M](--(x(0)) +3(x(t))) +[C](3(x(t)) +(x(t)))2At(3-201)由以上公式按图3-31所示流程，可逐步求得结构的非弹性地震反应。应该指出，以上计算公式是采用△t时间间隔内加速度线性变化假定得到的，因此，称为线性加速度法。实用上还可采用其他加速度假定，而导得另外一套计算公式和方法，如平均加速度法、Newmark一β法、Wilson-0法等。3. [K(t)]的确定采用逐步积分法计算结构非弹性地震反应的关键是，确定任意t时刻的总体楼层侧移风度矩阵[K(t)]，为此，可根据t时刻的结构受力和变形状态，采用结构构件滞回模型，先确定t时刻各构件的刚度，再按照一定的结构分析模型确定[K(t)]。可采用两种分析模型确定[K(t)]，一种是层模型，如图3-32a所示：另一种是杆模型，如图3-32b所示。层模型适用于砌体结构和强梁弱柱型结构，杆模型则适用于任意框架结构。一般层模型自由度少，而杆模型自由度多，但计算精度高。图3-33为确定结构任意总刚度矩阵[K(t)]的流程图

{0} { ( )} = r r dt d x t r = 4,5,  （3-196） 将式（3-195）、（3-196）代入式（3-194）得 6 { } 2 { } { ( )} { ( )} 2 2 t x t x x t t x t  +    =  + • •• •• （3-197a） 2 { } { ( )} { } t x x t t x   =  +  • •• •• （3-197b） 由上两式可解得 { ( )} 3{ ( )} 6 { } 6 { } 2 x t x t t x t x •• • •• −   −  = （3-198a） { ( )} 2 { } 3{ ( )} 3 { } x t t x x t t x • •  ••  − −   = （3-198b） 将式（3-198）代入式（3-193）得 [K (t)]{ x} {F (t)}    = （3-199） 其中 [ ] 3 [ ] 6 [ ( )] [ ( )] 2 C t M t K t K t  +  = +  （3-200） { ( )}) 2 { ( )} 3{ ( )}) [ ](3{ ( )} 6 { ( )} [ ]{1} [ ]( x t t x t x t C x t t F t M xg M •• • •• • ••   + + +  = −  + （3-201） 由以上公式按图 3-31 所示流程，可逐步求得结构的非弹性地震反应。 应该指出，以上计算公式是采用 t 时间间隔内加速度线性变化假定得到的，因此，称 为线性加速度法。实用上还可采用其他加速度假定，而导得另外一套计算公式和方法，如平 均加速度法、Newmark－β法、Wilson－θ法等。 3. [K(t)]的确定 采用逐步积分法计算结构非弹性地震反应的关键是，确定任意 t 时刻的总体楼层侧移刚 度矩阵[K(t)]，为此，可根据 t 时刻的结构受力和变形状态，采用结构构件滞回模型，先确 定 t 时刻各构件的刚度，再按照一定的结构分析模型确定[K(t)]。 可采用两种分析模型确定[K(t)]，一种是层模型，如图 3-32a 所示；另一种是杆模型，如 图 3-32b 所示。层模型适用于砌体结构和强梁弱柱型结构，杆模型则适用于任意框架结构。 一般层模型自由度少，而杆模型自由度多，但计算精度高。图 3-33 为确定结构任意总刚度 矩阵[K(t)]的流程图

应该指出，上述结构非弹性地震反应分析的逐步积分法，也适用于结构弹性地震反应时t=0输入(x(0)、(x(0)、(x(0)由式（3-200)、（3-201）计算[K()]、[F()]由式(3-199) 计算(Ar) =[K(t)]-(F*(t)=(x(t+△t))=(x(t)) +(Ar)由式(3-198b)计算(△x)=(x(t+Ar)={x(0)+(△x)由式(3-198a)计算(x)=(x(t+)=(x(t))+(x)t=t+N否t≥预定时间是结束程分析，此时结构的刚度矩阵[K(t)]保持为弹性不变。图3-31计算结构非弹性地震反应流程图(a)层模型(b)杆模型图3-32结构计算模型

t = 0 输入 {x(0)}、{ (0)} • x 、{ (0)} •• x 由式（3-200）、（3-201）计算 [ ( )] * K t 、[ ( )] * F t 由式（3-199）计算 { } [ ( )] { ( )} { ( )} { ( )} { } 1 x = K t F t  x t + t = x t + x  −  由式（3-198b）计算 { } { ( )} { ( )} { } • • • •  x  x t + t = x t +  x 由式（3-198a）计算 { } { ( )} { ( )} { } •• •• •• ••  x  x t + t = x t +  x t =t + t t  预定时间 结束 否 是 应该指出，上述结构非弹性地震反应分析的逐步积分法，也适用于结构弹性地震反应时 程分析，此时结构的刚度矩阵[K(t)]保持为弹性不变。 图 3-31 计算结构非弹性地震反应流程图 (a)层模型 (b)杆模型 图 3-32 结构计算模型

输入各单元初始内力和初始变形状态由单元内力及内力增量判别单元变形状态（弹性或非弹性）由单元变形状态、单元内力及滞回模型确定单元刚度由各单元刚度形成结构总刚[K(1]按图3-31所示流程图计算结构变形增量由结构变形增量确定单元变形增量由单元变形增量和单元刚度确定单元内力增量将单元内力与单元内力增量相加赋值为新的单元内力t=t+Nt否t≥预定时间是结束图3-33结构总刚[K(1)]计算流程图3.8.3结构非弹性地震反应分析的简化方法采用逐步积分法进行结构非弹性地震反应分析，计算量大，需专门计算程序，且对计算人员的水平要求较高。为便于工程应用，我国在编制《建筑抗震设计规范》（GBJ11一89）和（GB50011一2001）时，通过数千个算例的计算统计，提出了结构非弹性最大地震反应的简化计算方法，适用于不超过12层且层刚度无突变的钢筋混凝土框架结构和填充墙钢筋混凝土框架结构、不超过20层且层刚度无突变的钢框架结构和支撑钢框架结构及单层钢筋混凝土柱厂房。下面介绍计算步骤

图 3-33 结构总刚 [K(t)] 计算流程图 3.8.3 结构非弹性地震反应分析的简化方法 采用逐步积分法进行结构非弹性地震反应分析，计算量大，需专门计算程序，且对计算 人员的水平要求较高。为便于工程应用，我国在编制《建筑抗震设计规范》（GBJ11－89） 和（GB50011—2001）时，通过数千个算例的计算统计，提出了结构非弹性最大地震反应的 简化计算方法，适用于不超过 12 层且层刚度无突变的钢筋混凝土框架结构和填充墙钢筋混 凝土框架结构、不超过 20 层且层刚度无突变的钢框架结构和支撑钢框架结构及单层钢筋混 凝土柱厂房。下面介绍计算步骤。 t = 0 输入各单元初始内力和初始变形状态 由单元内力及内力增量判别单元变形状态（弹性或非弹性） 由单元变形状态、单元内力及滞回模型确定单元刚度 由各单元刚度形成结构总刚 [K(t)] 按图 3－31 所示流程图计算结构变形增量 t =t + t t  预定时间 结束 否 由结构变形增量确定单元变形增量 由单元变形增量和单元刚度确定单元内力增量 将单元内力与单元内力增量相加赋值为新的单元内力 是

1.确定楼层届服强度系数5楼层届服强度系数5，定义为V,(i)5,(i)=(3-202)V.(i)式中V,(i)一按框架或排架梁、柱实际截面实际配筋和材料强度标准值计算的楼层i抗剪承载力：V。(i)一罕遇地震下楼层i弹性地震剪力。计算地震作用时，无论是钢筋混凝土结构还是钢结构，阻尼比均取=0.05。任一楼层的抗剪承载力可由下式计算（参见图3-34）M++MFcV,-Ev.Z(3-203)Mhii4VsMahiM1Vy图3-34二个框架柱的抗剪承载力式中M、Mf一分别为楼层屈服时柱j上、下端弯矩；hi一楼层柱i净高。楼层屈服时，M卡、MT可按下列情形分别计算：（1）强梁弱柱点（图3-35a）此时，柱端屈服，则柱端弯矩为NG钢筋混凝土结构M。=M=fA(h-a,)+0.5Nch.(1-(3-204a)femkb,h

1. 确定楼层屈服强度系数  y 楼层屈服强度系数  y 定义为 ( ) ( ) ( ) V i V i i e y  y = （3-202） 式中 V (i) y —按框架或排架梁、柱实际截面实际配筋和材料强度标准值计算的楼层 i 抗剪 承载力； V (i) e —罕遇地震下楼层 i 弹性地震剪力。计算地震作用时，无论是钢筋混凝土结构 还是钢结构，阻尼比均取  = 0.05 。 任一楼层的抗剪承载力可由下式计算（参见图 3-34）   + = = j j j cj cj y cyj h M M V V 上 下 （3-203） 图 3-34 一个框架柱的抗剪承载力 式中 上 M cj 、 下 Mcj —分别为楼层屈服时柱 j 上、下端弯矩； hj—楼层柱 j 净高。 楼层屈服时， 上 M cj 、 下 Mcj 可按下列情形分别计算： （1）强梁弱柱点（图 3-35a） 此时，柱端屈服，则柱端弯矩为 钢筋混凝土结构 0 ( ') 0.5 (1 ) a G c cy yk s s G c cmk c c N M M f A h a N h f b h = = − + − （3-204a）