《建筑结构抗震》课程授课教案（讲义）第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.1 概述 3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱

教案及讲义建筑结构抗震第五讲河北联合大学建筑工程学院

教案及讲义 建筑结构抗震 第五讲 河北联合大学建筑工程学院

教案5课程名称《建筑结构抗震》授课专业土木工程授课内容第三章结构地震反应分析与抗震验算3.1概述3.2单自由度体系的弹性地震反应分析3.3单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱知识熟悉结构基本周期、地震反应、反应谱、地震影响系数以及地震作用效应等术语教目标学能力掌握计算单质点弹性体系水平地震作用的方法目目标标德育培养逻辑思维，查阅规范有关表格，认真计算的能力目标①地震影响系数重点②单质点弹性体系水平地震作用计算方法教材①地震反应分析难点分②地震影响系数析关键单质点弹性体系水平地震作用的计算教学设备传统板书教教法强调概念的理解，按逻辑思维推理演算学方学法紧扣概念→强调计算→加强练习→总结归纳法教学环节教学内容时间教师调控学生活动2'组织教学点名师生问好5'导入新课教师提问，学生思考，以复习前一章知识导入本次课内容。1、复习上节课内容：教师边讲边启发边归纳边2、简述单质点弹性体系的地震反应分析：新授强调。提出问题，让学生回75"3、强调地震影响系数曲线：答，之后给出正确答案。4、总结该节课的教学内容。课堂练习10'分别让学生回答。给出思考题、判断题1、归纳地震影响系数曲线（四段式），课后小结5'2、强调结构总水平地震作用计算公式。学生总结→教师归纳作业做到作业本上1、补充单质点弹性体系水平地震作用计算作业题?3"2、简述结构抗震设防的分类及标准通过调动了学生学习的积极性，掌握了相关的基本知识，教研室主任签字课堂评价做到结合规范教学，达到了教学目标要求，教学效果较好

教案 5 课程名称 《建筑结构抗震》 授课专业 土木工程 授课内容 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.1 概述 3.2 单自由度体系的 弹性地震反应分析 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱 教 学 目 标 知识 目标 熟悉结构基本周期、地震反应、反应谱、地震影响系数以及地震作用效应等术语 能力 目标 掌握计算单质点弹性体系水平地震作用的方法 德育 目标 培养逻辑思维，查阅规范有关表格，认真计算的能力 教 材 分 析 重点 ①地震影响系数 ②单质点弹性体系水平地震作用计算方法 难点 ① 地震反应分析 ② 地震影响系数 关键 单质点弹性体系水平地震作用的计算 教学设备 传统板书 教 学 方 法 教法 强调概念的理解，按逻辑思维推理演算 学法 紧扣概念→强调计算→加强练习→总结归纳 教学环节 教学内容 教师调控学生活动 时间 组织教学 点名 师生问好 2` 导入新课 以复习前一章知识导入本次课内容。 教师提问，学生思考， 5’ 新授 1、复习上节课内容； 2、简述单质点弹性体系的地震反应分析； 3、强调地震影响系数曲线； 4、总结该节课的教学内容。 教师边讲边启发边归纳边 强调。提出问题，让学生回 答，之后给出正确答案。 75’ 课堂练习 给出思考题、判断题 分别让学生回答。 10’ 课后小结 1、归纳地震影响系数曲线（四段式）， 2、强调结构总水平地震作用计算公式。 学生总结→教师归纳 5’ 作业 1、补充单质点弹性体系水平地震作用计算 题？ 2、简述结构抗震设防的分类及标准 作业做到作业本上 3’ 课堂评价 通过调动了学生学习的积极性，掌握了相关的基本知识， 做到结合规范教学，达到了教学目标要求，教学效果较好。 教研室主任签字

讲义53结构地震反应分析与抗震验算3.1概述3.1.1结构地震反应由地震动引起的结构内力、变形、位移及结构运动速度与加速度等统称为结构地震反应。若专指由地震动引起的结构位移，则称结构地震位移反应。地震时，地面上原来静止的结构物因地面运动而产生强迫振动。因此，结构地震反应是一种动力反应，其大小（或振动幅值）不仅与地面运动有关，还与结构动力特性（自振周期、振型和阻尼）有关，一般需采用结构动力学方法分析才能得到。3.1.2地震作用结构工程中“作用”一词，指能引起结构内力、变形等反应的各种因素。按引起结构反应的方式不同，“作用”可分为直接作用与间接作用。各种荷载（如重力、风载、土压力等）为直接作用，而各种非荷载作用（如温度、基础沉降等）为间接作用。结构地震反应是地震动通过结构惯性引起的，因此地震作用（即结构地震惯性力）是间接作用，而不称为荷载。但工程上为应用方便，有时将地震作用等效为某种形式的荷载作用，这时可称为等效地震荷载。3.1.3结构动力计算简图及体系自由度进行结构地震反应分析的第一步，就是确定结构动力计算简图。结构动力计算的关键是结构惯性的模拟，由于结构的惯性是结构质量引起的，因此结构动力计算简图的核心内容是结构质量的描述。描述结构质量的方法有两种，一种是连续化描述（分布质量），另一种是集中化描述（集中质量）。如采用连续化方法描述结构的质量，结构的运动方程将为偏微分方程的形式，而般情况下偏微分方程的求解和实际应用不方便。因此，工程上常采用集中化方法描述结构的质量，以此确定结构动力计算简图。采用集中质量方法确定结构动力计算简图时，需先定出结构质量集中位置。可取结构各区域主要质量的质心为质量集中位置，将该区域主要质量集中在该点上，忽略其它次要质量或将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去。例如，水塔建筑的水箱部分是结构的主要质量，而塔柱部分是结构的次要质量，可将水箱的全部质量及部分塔柱质量集中到水箱质心处使结构成为一单质点体系（图3-1a）。再如，采用大型钢筋混凝主屋面板的厂房的屋盖部分是结构的主要质量（图3-1b），确定结构动力计算简图时，可将厂房各跨质量集中到各跨屋盖标高处。又如，多、高层建筑的楼盖部分是结构的主要质量（图3-1c），可将结构的质量集中到各层楼盖标高处，成为一多质点结构体系。当结构无明显主要质量部分时（如图3-1d所示烟窗），可将结构分成若干区域，而将各区域的质量集中到该区域核子力的质心处，同样形成一多质点结构体系。确定结构各质点运动的独立参量数为结构运动的体系自由度。空间中的一个自由质点可有三个独立位移，因此一个自由质点在空间有三个自由度。若限制质点在一个平面内运动，则一个自由质点有两个自由度结构体系上的质点，由于受到结构构件的约束，其自由度数可能小于自由质点的自由度数。如图3-1所示的结构体系，当考虑结构的竖向约束作用而忽略质点竖向位移时，则各质

讲义 5 3 结构地震反应分析与抗震验算 3.1 概述 3.1.1 结构地震反应 由地震动引起的结构内力、变形、位移及结构运动速度与加速度等统称为结构地震反应。 若专指由地震动引起的结构位移，则称结构地震位移反应。 地震时，地面上原来静止的结构物因地面运动而产生强迫振动。因此，结构地震反应是 一种动力反应，其大小（或振动幅值）不仅与地面运动有关，还与结构动力特性（自振周期、 振型和阻尼）有关，一般需采用结构动力学方法分析才能得到。 3.1.2 地震作用 结构工程中“作用”一词，指能引起结构内力、变形等反应的各种因素。按引起结构反 应的方式不同，“作用”可分为直接作用与间接作用。各种荷载（如重力、风载、土压力等） 为直接作用，而各种非荷载作用（如温度、基础沉降等）为间接作用。结构地震反应是地震 动通过结构惯性引起的，因此地震作用（即结构地震惯性力）是间接作用，而不称为荷载。 但工程上为应用方便，有时将地震作用等效为某种形式的荷载作用，这时可称为等效地震荷 载。 3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度 进行结构地震反应分析的第一步，就是确定结构动力计算简图。 结构动力计算的关键是结构惯性的模拟，由于结构的惯性是结构质量引起的，因此结构 动力计算简图的核心内容是结构质量的描述。 描述结构质量的方法有两种，一种是连续化描述（分布质量），另一种是集中化描述（集 中质量）。如采用连续化方法描述结构的质量，结构的运动方程将为偏微分方程的形式，而 一般情况下偏微分方程的求解和实际应用不方便。因此，工程上常采用集中化方法描述结构 的质量，以此确定结构动力计算简图。 采用集中质量方法确定结构动力计算简图时，需先定出结构质量集中位置。可取结构各 区域主要质量的质心为质量集中位置，将该区域主要质量集中在该点上，忽略其它次要质量 或将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去。例如，水塔建筑的水箱部分是结构的主要质 量，而塔柱部分是结构的次要质量，可将水箱的全部质量及部分塔柱质量集中到水箱质心处， 使结构成为一单质点体系（图 3-1a）。再如，采用大型钢筋混凝土屋面板的厂房的屋盖部分 是结构的主要质量（图 3-1b），确定结构动力计算简图时，可将厂房各跨质量集中到各跨屋 盖标高处。又如，多、高层建筑的楼盖部分是结构的主要质量（图 3-1c），可将结构的质量 集中到各层楼盖标高处，成为一多质点结构体系。当结构无明显主要质量部分时（如图 3-1d 所示烟囱），可将结构分成若干区域，而将各区域的质量集中到该区域核子力的质心处，同 样形成一多质点结构体系。 确定结构各质点运动的独立参量数为结构运动的体系自由度。空间中的一个自由质点可 有三个独立位移，因此一个自由质点在空间有三个自由度。若限制质点在一个平面内运动， 则一个自由质点有两个自由度。 结构体系上的质点，由于受到结构构件的约束，其自由度数可能小于自由质点的自由度 数。如图 3-1 所示的结构体系，当考虑结构的竖向约束作用而忽略质点竖向位移时，则各质

点在竖直平面内只有一个自由度，在空间有两个自由度。hh77777777777(a）水塔(b)厂房中TTTT(d）烟肉（c）多、高层建筑图3-1结构动力计算简图

点在竖直平面内只有一个自由度，在空间有两个自由度。 (a) 水塔 h h (b) 厂房 (c) 多、高层建筑 (d) 烟囱 图 3-1 结构动力计算简图

3.2单自由度体系的弹性地反应分析3.2.1运动方程图3-2是单自由度体系在地震作用下的计算简图。在地面运动x。作用下，结构发生振动，产生相对地面的位移x、速度x和加速度x。若取质点m为隔离体，则该质点上作用有三种力，即惯性力、阻尼力。和弹性恢复力f，。惯性力是质点的质量m与绝对加速度[x。+对]的乘积，但方向与质点运动加速度方向相反，即(3-1)f, =-m(x+x)阻尼力是由结构内摩擦及结构周围介质（如空气、水等）对结构运动的阻碍造成的，阻尼力的大小一般与结构运动速度有关。按照粘滞阻尼理论，阻尼力与质点速度成正比，但方向与质点运动速度相反，即(3-2)f.=-cx式中C一阻尼系数。XIm9fm--F----1之>X图3-2单自由度体系在地震作用下的变形与受力弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位置的力，由结构弹性变形产生。根据虎克（Hooke）定理，该力的大小与质点偏离平衡位置的位移成正比，但方向相反，即(3-3)f, =-kx式中k一体系刚度，即使质点产生单位位移，需在质点上施加的力。根据达朗贝尔（D'Alembert）原理，质点在上述三个力作用下处于平衡，即(3-4)fi+f。+f,=0将式（3-1)、（3-2）、（3-3）代入式（3-4)，得mx + cx + kx= -mxg(3-5)

3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析 3.2.1 运动方程 图 3-2 是单自由度体系在地震作用下的计算简图。在地面运动 g x 作用下，结构发生振动， 产生相对地面的位移 x 、速度 x  和加速度  x  。若取质点 m 为隔离体，则该质点上作用有三 种力，即惯性力 I f 、阻尼力 c f 和弹性恢复力 r f 。 惯性力是质点的质量 m 与绝对加速度 [x x] g  +  的乘积，但方向与质点运动加速度方向相 反，即 f m(x x) I g = −  +  （3-1） 阻尼力是由结构内摩擦及结构周围介质（如空气、水等）对结构运动的阻碍造成的，阻 尼力的大小一般与结构运动速度有关。按照粘滞阻尼理论，阻尼力与质点速度成正比，但方 向与质点运动速度相反，即 f cx c = −  （3-2） 式中 c—阻尼系数。 图 3-2 单自由度体系在地震作用下的变形与受力 弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位置的力，由结构弹性变形产生。根据虎克 （Hooke）定理，该力的大小与质点偏离平衡位置的位移成正比，但方向相反，即 f kx r = − （3-3） 式中 k —体系刚度，即使质点产生单位位移，需在质点上施加的力。 根据达朗贝尔（D’Alembert）原理，质点在上述三个力作用下处于平衡，即 f I + f c + f r = 0 （3-4） 将式（3-1）、（3-2）、（3-3）代入式（3-4），得 g m  x  + cx  + k x= −m  x  （3-5）

上式即为单自由度体系的运动方程，为一个常系数二阶非齐次线性微分方程。为便于方程的求解，将式（3-5）两边同除以m，得kx+二*+(3-6)-x=-xgmm令[k(3-7)0=mc5=(3-8)2om则式（3-6）可写成X+205x+02x=-xg(3-9)3.2.2运动方程的解1.方程的齐次解一自由振动式（3-9）相应的齐次方程为x+205x+0*x=0(3-10)方程（3-10）描述的是，在没有外界激励的情况下结构体系的运动一即自由振动。为解方程（3-10），按齐次常微分方程的求解方法，先求解相应的特征方程r2+205r+0?=0(3-11)其特征根为n=-50+0/52-1(3-12a)r2 =-50-0/52-1(3-12b)则方程（3-10）的解为(1）若>1，、2为负实数x(t)=Cjent +cze"2(3-13a)(2)若5=1,==-50x(t)=(c) + C2t)e-5mr(3-13b)(3)若<1，、2为共轭复数x(t)=e-o(c,cosOpt+c,sinOpt)(3-13c)上式中，Cj、C,为待定系数，由初始条件确定；

上式即为单自由度体系的运动方程，为一个常系数二阶非齐次线性微分方程。为便于方 程的求解，将式（3-5）两边同除以 m ，得 g x x m k x m c x+  + = − （3-6） 令 m k  = （3-7） m c   2 = （3-8） 则式（3-6）可写成 g x+ x + x = −x 2 2  （3-9） 3.2.2 运动方程的解 1. 方程的齐次解—自由振动 式（3-9）相应的齐次方程为 2 0 2  x  + x  + x = （3-10） 方程（3-10）描述的是，在没有外界激励的情况下结构体系的运动—即自由振动。为解 方程（3-10），按齐次常微分方程的求解方法，先求解相应的特征方程 2 0 2 2 r + r + = （3-11） 其特征根为 1 2 r1 = − +  − （3-12a） 1 2 r2 = − −  − （3-12b） 则方程（3-10）的解为 (1) 若  1， 1 r 、 2 r 为负实数 rt r t x t c e c e 1 2 1 2 ( ) = + （3-13a） (2) 若  =1， r1 = r2 = − t x t c c t e − ( ) = ( + ) 1 2 （3-13b） (3) 若  1， 1 r 、 2 r 为共轭复数 ( ) ( cos sin ) 1 2 x t e c t c t D D t    = + − （3-13c） 上式中， 1 c 、 2 c 为待定系数，由初始条件确定；

Op=0/1-5?(3-14)显然，>1时，体系不产生振动，称为过阻尼状态；1图3-3各种阻尼状态下单自由度体系的自由振动由式（3-8）知，与=1相应的阻尼系数为c,=20om，称之为临界阻尼系数，因此也可表达为S-C(3-15)Cr故称为临界阻尼比，简称阻尼比。一般工程结构均为欠阻尼情形，为确定式（3-13c）中的待定系数，考虑如下初始条件Xo = x(0)x=x(0)其中xo、x。分别为体系质点的初始位移和初始速度。由此可得(3-15a)Ci=XoXo +EaxoC2 =(3-15b)OD将式（3-15）代入式（3-13c），则得体系自由振动位移时程为xo +5axo sin ptl(3-16)x(t)=e-5ot[xocospt+Op无阻尼时（==0）xo(3-17)sinotx(t)= xo cos ot +OD由于cosot、sinのt均为简谐函数，因此无阻尼单自由度体系的自由振动为简谐周期振

2  D = 1− （3-14） 显然，  1 时，体系不产生振动，称为过阻尼状态；  1 时，体系产生振动，称为欠 阻尼状态；而  =1 时，介于上述两种状态之间，称为临界阻尼状态，此时体系也不产生振 动（参见图 3-3）。 图 3-3 各种阻尼状态下单自由度体系的自由振动 由式（3-8）知，与  =1 相应的阻尼系数为 cr = 2m ，称之为临界阻尼系数，因此  也 可表达为 r c c  = （3-15） 故称  为临界阻尼比，简称阻尼比。 一般工程结构均为欠阻尼情形，为确定式（3-13c）中的待定系数，考虑如下初始条件 (0) 0 x = x ， (0) 0 x  = x  其中 0 x 、 0 x  分别为体系质点的初始位移和初始速度。由此可得 1 0 c = x （3-15a） D x x c  0  0 2 + =  （3-15b） 将式（3-15）代入式（3-13c），则得体系自由振动位移时程为 ( ) [ cos sin ] 0 0 0 t x x x t e x t D D D t      + = + −  （3-16） 无阻尼时（  = 0 ） t x x t x t D   ( ) cos sin 0 0  = + （3-17） 由于 cost 、sint 均为简谐函数，因此无阻尼单自由度体系的自由振动为简谐周期振

动，振动圆频率为の，而振动周期为mT=2=2元J(3-18)Vk0因质量m与刚度k是结构固有的：因此无阻尼体系自振频率或周期也是体系固有的，称为固有频率与固有周期。同样可知，の，为有阻尼单自由度体系的自振频率。一般结构的阻尼比很小，范围为5=0.01~0.1，由式（3-14）知，0D=0。有阻尼和无阻尼单自由度体系自由振动的重要区别在于，有阻尼体系自振的振幅将不断衰减（参见图3-3），直至消失。例3-1已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图3-1a）。m=10000kg，k=1kN/cm，求该结构的自振周期。解：直接由式（3-18），并采用国际单位可得m10000T=2元,=2元=1.99sVkV1x103 /10-22.方程的特解I一一简谐强迫振动当地面运动为简谐运动时，将使体系产生简谐强迫振动。设(3-19)Xg(t)=Asinogt式中A一地面运动振幅：0一地面运动圆频率。将式（3-19）代入体系运动方程（3-9）得x+205x+0'x=-A0g sin0gt(3-20)上方程零初始条件x(0)=0，x(0)=0的特解为A(=)/1-(=) [sin og1-25cosogt0(3-21)x(t)=[-] +[25(-]显然，单自由度体系的简谐地面运动强迫振动是圆频率为の。的周期运动，可将其简化表达为(3-22)x(t)=Bsin(0gt+p)其中，B为体系质点的振幅，β为体系振动与地面运动的相位差。考察如下振幅放大系数，可反映体系简谐地面运动反应特性

动，振动圆频率为  ，而振动周期为 k m T    2 2 = = （3-18） 因质量 m 与刚度 k 是结构固有的，因此无阻尼体系自振频率或周期也是体系固有的，称 为固有频率与固有周期。同样可知，  D 为有阻尼单自由度体系的自振频率。一般结构的阻 尼比很小，范围为  = 0.01~ 0.1 ，由式（3-14）知，  D  。 有阻尼和无阻尼单自由度体系自由振动的重要区别在于，有阻尼体系自振的振幅将不断 衰减（参见图 3-3），直至消失。 例 3-1 已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图 3-1a）。 m =10000kg ，k =1kN/cm ， 求该结构的自振周期。 解：直接由式（3-18），并采用国际单位可得 s k m T 1.99 1 10 /10 10000 2 2 3 2 =  = = −   2. 方程的特解 I——简谐强迫振动 当地面运动为简谐运动时，将使体系产生简谐强迫振动。 设 x t A t g  g ( ) = sin （3-19） 式中 A—地面运动振幅；  g —地面运动圆频率。 将式（3-19）代入体系运动方程（3-9）得 x x x A t   g g 2 sin 2 2 +  + = − （3-20） 上方程零初始条件 x(0) = 0 ， x (0) = 0 的特解为 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) sin 2 cos ( )        +      −          −      − =               g g g g g g g A t t x t （3-21） 显然，单自由度体系的简谐地面运动强迫振动是圆频率为  g 的周期运动，可将其简化 表达为 x(t) = Bsin( t +) g （3-22） 其中， B 为体系质点的振幅，  为体系振动与地面运动的相位差。 考察如下振幅放大系数，可反映体系简谐地面运动反应特性

(0g /0)2B(3-23)B:A0[1-() +25(00放大系数β与频率比(@。/の）的关系曲线如图3-4所示，放大系数β最大值在の/の=1附近，即1(3-24)βmx=βleg=025B1251.0wg/o图3-4单自由度体系简谐地面强迫振动振幅放大系数由于结构阻尼一般较小（=0.01~0.1），因此βmx可达5~50，即体系质点振幅可为地面振幅的几倍至几十倍。这种当结构体系自振频率与简谐地面运动频率相近时结构发生强烈振动反应的现象称为共振。3.方程的特解II一一冲击强迫振动当地面运动为如下冲击运动时（图3-5）[xg0≤t≤dt(3-25)xg(t)=)[0t>dtxg(t)XgH++dt

2 2 2 2 1 ( ) 2 ( ) ( / )        +      − = =         g g g A B （3-23） 放大系数  与频率比 ( /) g 的关系曲线如图 3-4 所示，放大系数  最大值在  g / =1 附近，即      2 1 | max  = = g （3-24） 图 3-4 单自由度体系简谐地面强迫振动振幅放大系数 由于结构阻尼一般较小（  = 0.01~ 0.1 ），因此  max 可达 5~50，即体系质点振幅可为地 面振幅的几倍至几十倍。这种当结构体系自振频率与简谐地面运动频率相近时结构发生强烈 振动反应的现象称为共振。 3. 方程的特解 II——冲击强迫振动 当地面运动为如下冲击运动时（图 3-5）       = dt x dt x g g    0 0 ( )   （3-25）

图3-5地面冲击运动体系质点将受如下冲击力作用0≤t≤dtmx.(3-26)0t>dt则体系质点在0~dt时间内的加速度为P=-xg(3-27)a=m在d时刻的速度和位移分别为pV=Pdt=-x,dt(3-28)m1 P-(dt)2~0(3-29)d=2 m可见，地面冲击运动的结果是使体系质点产生速度。因地面冲击作用后，体系不再受外界任何作用，因此体系地面冲击强迫振动即是初速度为V=-xdt的体系自由振动。由式（3-16）得gdte-5otx(t)=-(3-30)sinoptOp4.方程的特解IⅢI-一般强迫振动x(t) AdtT朴(a)dx(t)At-t(b)图3-6（a）地面运动加速度时程曲线

图 3-5 地面冲击运动 体系质点将受如下冲击力作用     −   = dt mx dt P g   0  0 （3-26） 则体系质点在 0 ~ dt 时间内的加速度为 g x m P a = = − （3-27） 在 dt 时刻的速度和位移分别为 dt x dt m P V g = = − （3-28） ( ) 0 2 1 2 = dt  m P d （3-29） 可见，地面冲击运动的结果是使体系质点产生速度。因地面冲击作用后，体系不再受外 界任何作用，因此体系地面冲击强迫振动即是初速度为 V x dt g = − 的体系自由振动。由式 （3-16）得 t x dte x t D D t g    ( ) sin − = −  （3-30） 4. 方程的特解 III——一般强迫振动 图 3-6 (a) 地面运动加速度时程曲线