《建筑结构抗震》课程授课教案（讲义）第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.5 多质点弹性体系的水平地震作用

教案及讲义建筑结构抗震第七讲河北联合大学建筑工程学院

教案及讲义 建筑结构抗震 第七讲 河北联合大学建筑工程学院

教案7课程名称授课专业土木工程《建筑结构抗震》授课内容第三章结构地震反应分析与抗震验算3.5多质点弹性体系的水平地震作用知识熟悉了解多质点弹性体系的水平地震作用计算方法目标岁学能力①熟练掌握底部剪力法：②掌握基本自振周期的计算方法目目标标德育培养执著追求科学的精神，并不断提出多种解决问题的思路目标①多质点弹性体系水平地震作用计算方法重点②底部剪力法教材①底部剪力法难点分②结构基本自振周期的计算方法析关键计算多质点弹性体系的水平地震作用教学设备传统板书教教法公式推导带领学生演算练习学方学法紧扣概念→强调计算→总结→思考法教学环节教学内容教师调控学生活动时间2'组织教学师生问好1、以复习前一章知识导入本次课内容。5'导入新课教师提问，学生思考，2、进行多质点弹性体系的地震反应分析：1、复习地震影响系数曲线；2、讲述多质点弹性体系水平地震作用：教师边讲边启发边归纳边3、重点讲述底部剪力法的思路和计算公新授82'强调。提出问题，让学生回式;答，之后给出正确答案。4、讲述结构基本自振周期的计算方法5、总结该节课的教学内容。3'课堂练习给出思考题、判断题分别让学生回答。1、归纳底部剪力法的计算公式，3'课后小结学生总结→教师归纳2、强调结构总水平地震作用计算公式。补充计算题作业做到作业本上5'作业通过课件教学，调动了学生学习的积极性，掌握了相关的教研室主任签字课堂评价基本知识，做到结合规范教学，达到了教学目标要求，教学效果较好

教案 7 课程名称 《建筑结构抗震》 授课专业 土木工程 授课内容 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.5 多质点弹性体系的水平地震作用 教 学 目 标 知识 目标 熟悉了解多质点弹性体系的水平地震作用计算方法； 能力 目标 ① 熟练掌握底部剪力法；② 掌握基本自振周期的计算方法 德育 目标 培养执著追求科学的精神，并不断提出多种解决问题的思路 教 材 分 析 重点 ①多质点弹性体系水平地震作用计算方法 ②底部剪力法 难点 ①底部剪力法 ②结构基本自振周期的计算方法 关键 计算多质点弹性体系的水平地震作用 教学设备 传统板书 教 学 方 法 教法 公式推导 带领学生演算练习 学法 紧扣概念→强调计算→总结→思考 教学环节 教学内容 教师调控学生活动 时间 组织教学 师生问好 2` 导入新课 1、以复习前一章知识导入本次课内容。 2、进行多质点弹性体系的地震反应分析； 教师提问，学生思考， 5’ 新授 1、复习地震影响系数曲线； 2、讲述多质点弹性体系水平地震作用； 3、重点讲述底部剪力法的思路和计算公 式； 4、讲述结构基本自振周期的计算方法 5、总结该节课的教学内容。 教师边讲边启发边归纳边 强调。提出问题，让学生回 答，之后给出正确答案。 82’ 课堂练习 给出思考题、判断题 分别让学生回答。 3’ 课后小结 1、 归纳底部剪力法的计算公式， 2、强调结构总水平地震作用计算公式。 学生总结→教师归纳 3’ 作业 补充计算题 作业做到作业本上 5` 课堂评价 通过课件教学，调动了学生学习的积极性，掌握了相关的 基本知识，做到结合规范教学，达到了教学目标要求，教 学效果较好。 教研室主任签字

讲义73.5.1底部剪力法1.计算假定采用振型分解反应谱法计算结构最大地震反应精度较高，一般情况下无法采用手算，必须通过计算机计算，且计算量较大。理论分析表明，当建筑物高度不超过40m，结构以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布较均匀时，结构的地震反应将以第一振型反应为主，而结构的第一振型接近直线。为简化满足上述条件的结构地震反应计算，假定：(1)）结构的地震反应可用第一振型反应表征；(2)结构的第一振型为线性倒三角形，如图3-17所示。即任意质点的第一振型位移与其高度成正比,=CH,(3-123)式中，C为比例常数，H为质点i离地面的高度。m,1H,图3-17结构简化第一振型2.底部剪力的计算由上述假定，任意质点1的水平地震作用为(0.) [M]0)F, =G,αY1pu =G,αi01()T[M o)(3-124)=G,α,do将式（3-123）代入上式得2c,H,F=J=l(3-125)GH,α2Gnj=l

讲义 7 3.5.1 底部剪力法 1. 计算假定 采用振型分解反应谱法计算结构最大地震反应精度较高，一般情况下无法采用手算，必 须通过计算机计算，且计算量较大。理论分析表明，当建筑物高度不超过 40m，结构以剪切 变形为主且质量和刚度沿高度分布较均匀时，结构的地震反应将以第一振型反应为主，而结 构的第一振型接近直线。为简化满足上述条件的结构地震反应计算，假定： （1） 结构的地震反应可用第一振型反应表征； （2） 结构的第一振型为线性倒三角形，如图 3-17 所示。即任意质点的第一振型位移与其 高度成正比 1i i = CH （3-123） 式中， C 为比例常数， Hi 为质点 i 离地面的高度。 图 3-17 结构简化第一振型 2. 底部剪力的计算 由上述假定，任意质点 i 的水平地震作用为           i i i i i M M G G 1 1 T 1 T 1 1 1 1 1 1 F     =    =  i n j j j n j j j i G G G 1 1 2 1 1 1 1       = = = （3-124） 将式（3-123）代入上式得 1 1 2 1 F i i n j j n j j j i G H G H G H  j  = = = （3-125）

则结构底部剪力为ZG,H,J=lG,H,αFEKF=i=l-ZG,H?j=lj=l(ZG,)α,(3-126)oG,H?>G.j=1j=l令(EG,H,)?(3-127)X(ZG,H(ZG)i=l/a/(3-128)Ge = XGg = xZG,j=l式中G一结构等效总重力荷载；X一结构总重力荷载等效系数。则结构底部剪力的计算可简化为(3-129)Fek =Geqαi一般建筑各层重量和层高均大致相同，即G,=G,=G(3-130)H,=jh(3-131)式中，h为层高。则将式（3-130）、（3-131）代入式（3-127）得3(n + 1)(3-132)X =2(2n+1)对于单质点体系，n=1，则x=1。而对于多质点体系，n≥2，则×=0.75~0.9，建筑抗震规范规定统一取×=0.85。3.地震作用分布按式（3-129）求得结构的底部剪力即结构所受的总水平地震作用后，再将其分配至各质点上（图3-18）。为此，将式（3-125）改写为

则结构底部剪力为     = = = = = = n i i i n j j n j j j n i i G H G H G H j 1 1 1 2 1 1 FEK F  1 1 1 1 2 2 1 ( ) ( )( ) ( )      = = = = = n j j n j j n j j n j j j G G H G G H j （3-126） 令 ( )( ) ( ) 1 1 2 2 1    = = = = n j j n j j n j j j G H G G H j  （3-127） = = = n j Geq GE Gj 1   （3-128） 式中 Geq —结构等效总重力荷载；  —结构总重力荷载等效系数。 则结构底部剪力的计算可简化为 FEK = Geq1 （3-129） 一般建筑各层重量和层高均大致相同，即 Gi = Gj = G （3-130） H j = jh （3-131） 式中， h 为层高。则将式（3-130）、（3-131）代入式（3-127）得 2(2 1) 3( 1) + + = n n  （3-132） 对于单质点体系， n = 1 ，则  = 1 。而对于多质点体系， n  2 ，则  = 0.75 ~ 0.9 ，建 筑抗震规范规定统一取  = 0.85 。 3. 地震作用分布 按式（3-129）求得结构的底部剪力即结构所受的总水平地震作用后，再将其分配至各质 点上（图 3-18）。为此，将式（3-125）改写为

G,H,(3-133)?T=lZG,H,(ZG,H)(ZG)jelj=lj=l将式（3-127）、（3-128）和式（3-129）代入上式得G,H,(3-134)F, =FENi=1,2,..,nnZG,H,J=lAFF/F-张FE图3-18底部剪力法地震作用分布式（3-134）表达的地震作用分布实际仅考虑了第一振型地震作用。当结构基本周期较长时，结构的高阶振型地震作用影响将不能忽略。图3-19显示了高阶振型反应对地震作用分布的影响，可见高阶振型反应对结构上部地震作用的影响较大，为此我国建筑抗震规范采用在结构顶部附加集中水平地震作用的方法考虑高阶振型的影响。规范规定，当结构基本周期T>1.4T。时，需在结构顶部附加如下集中水平地震作用(3-135)F,=S,FEk式中，，为结构顶部附加地震作用系数，对于多层钢筋混凝土房屋和钢结构房屋按表3-4采用，对于多层内框架砖房取8，=0.2，其它房屋可不考虑。AH(c)(a)(b)图3-19（a）各阶振型地震反应（b）总地震作用分布（c）等效地震作用分布

     = = = = = = n j j j i i n j n j j j n j j n j j j i G H G H G G H G G H j 1 1 1 1 1 2 2 1 ( ) ( )( ) ( ) F  （3-133） 将式（3-127）、（3-128）和式（3-129）代入上式得 n EK j j j i i i G H G H F F 1 = = i =1,2,  , n （3-134） 图 3-18 底部剪力法地震作用分布 式（3-134）表达的地震作用分布实际仅考虑了第一振型地震作用。当结构基本周期较长 时，结构的高阶振型地震作用影响将不能忽略。图 3-19 显示了高阶振型反应对地震作用分 布的影响，可见高阶振型反应对结构上部地震作用的影响较大，为此我国建筑抗震规范采用 在结构顶部附加集中水平地震作用的方法考虑高阶振型的影响。规范规定，当结构基本周期 1 4Tg T 1. 时，需在结构顶部附加如下集中水平地震作用 Fn =  nFEK （3-135） 式中，  n 为结构顶部附加地震作用系数，对于多层钢筋混凝土房屋和钢结构房屋按表 3-4 采用，对于多层内框架砖房取  n = 0.2 ，其它房屋可不考虑。 图 3-19 （a）各阶振型地震反应 （b）总地震作用分布 （c）等效地震作用分布

表 3-4顶部附加地震作用系数T,(s)T, >1.4TgT, ≤1.4Tg≤0.350.08T,+0.070.35~0.550.08T+0.01不考虑≥ 0.550.08T,-0.02当考虑高阶振型的影响时，结构的底部剪力仍按式（3-129）计算而保持不变，但各质点的地震作用需按FEk-△F,=(1-8,)FEk进行分布，即G,H,(1-8,)Fek(3-136)i=1,2,,nF=ZG,H,j=l4.鞭梢效应底部剪力法适用于重量和刚度沿高度分布均比较均匀的结构。当建筑物有局部突出屋面的小建筑（如屋顶间、女儿墙、烟窗）等时，由于该部分结构的重量和刚度突然变小，将产生鞭梢效应，即局部突出小建筑的地震反应有加剧的现象。因此，当采用底部剪力法计算这类小建筑的地震作用效应时，按式（3-134）或式（3-136）计算作用在小建筑上的地震作用需乘以增大系数，抗震规范规定该增大系数取为3。但是，应注意鞭梢效应只对局部突出小建筑有影响，因此作用在小建筑上的地震作用向建筑主体传递时（或计算建筑主体的地震作用效应时），则不乘增大系数。例3-6结构同例3-4，设计基本地震加速度及场地条件同例3-5。试采用底部剪力法求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。解：由例3-5已求得α,=0.0976。而结构总重力荷载为G =(1.0 +1.5 + 2.0)×9.8= 44. 1kN则结构的底部剪力为Fek=Geqαf=0.85G,αi=0.85x44.1×0.0976=3.659kN已知T，=0.25s，T,=0.433s>1.4T，=0.35s。设该结构为钢筋混凝土房屋结构，则需考虑结构项部附加集中作用。查表3-4得8,=0.08T,+0.07=0.08×0.433+0.07=0.105则AF.=Fek=0.105×3.659=0.384kN

顶部附加地震作用系数 表 3-4 T (s) g T 4Tg 1. 1  T 4Tg 1. 1   0.35 0.08T1 + 0.07 0.35~0.55 0.08T1 + 0.01 不考虑  0.55 0.08T1 − 0.02 当考虑高阶振型的影响时，结构的底部剪力仍按式（3-129）计算而保持不变，但各质点 的地震作用需按 EK FEK F (1 ) − Fn = − n 进行分布，即 n n EK j j j i i i G H G H F (1 )F 1 = − = i =1,2,  , n （3-136） 4. 鞭梢效应 底部剪力法适用于重量和刚度沿高度分布均比较均匀的结构。当建筑物有局部突出屋面 的小建筑（如屋顶间、女儿墙、烟囱）等时，由于该部分结构的重量和刚度突然变小，将产 生鞭梢效应，即局部突出小建筑的地震反应有加剧的现象。因此，当采用底部剪力法计算这 类小建筑的地震作用效应时，按式（3-134）或式（3-136）计算作用在小建筑上的地震作用 需乘以增大系数，抗震规范规定该增大系数取为 3。但是，应注意鞭梢效应只对局部突出小 建筑有影响，因此作用在小建筑上的地震作用向建筑主体传递时（或计算建筑主体的地震作 用效应时），则不乘增大系数。 例 3-6 结构同例 3-4，设计基本地震加速度及场地条件同例 3-5。 试采用底部剪力法求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。 解：由例 3-5 已求得 1 = 0.0976 。而结构总重力荷载为 GE = (1.0 +1.5 + 2.0)9.8 = 44.1kN 则结构的底部剪力为 EK 1 85 1 F = Geq = 0. GE = 0.85 44.10.0976 = 3.659kN 已知 = 0.25s Tg ， 0.433s 1.4 0.35s T1 =  Tg = 。设该结构为钢筋混凝土房屋结构，则 需考虑结构顶部附加集中作用。查表 3-4 得  n = 0.08T1 + 0.07 = 0.080.433 + 0.07 = 0.105 则 Fn =  nFEK = 0.105 3.659 = 0.384kN

又已知H,=5m，H,=9m，H=13m，ZG,H,=(2x5+1.5x9+1x13)x9.8=357.7N-mj=1则作用在结构各楼层上的水平地震作用为G,H,_(1-8,)FEkF=2G.Hj=l2×5×9.8x(1-0.105)x3.659=0.897kN357.7Fz=1.5x9×9.8×(1-0.105)×3.659=1.211kN357.71.0x13×9.8x(1-0.105)×3.659=1.166kNF, =357.7由此得结构的顶点位移为FekF, +F, +AFnF33 +AFnU.=Kk2k33.65921211+1.166+0.384166+0.384=6.917×10m18001200600与例3-5的结果对比，可见底部剪力法的计算结果与振型分解反应谱法的计算结果是很接近的。3.5.2结构基本周期的近似计算采用底部剪力法进行结构抗震计算，只需知道结构基本周期，如采用特征方程（3-69）计算结构基本周期，不仅需通过计算机计算，而且计算量较大。下面介绍几种计算结构基本周期的近似方法，计算量小，精度高，可以手算。1.能量法能量法的理论基础是能量守衡原理，即一个无阻尼的弹性体系作自由振动时，其总能量（变形能与动量之和）在任何时刻均保持不变。图3-20为一多质点弹性体系，设其质量矩阵和刚度矩阵分别为[M]和[K]。令(x())为体系自由振动t时刻质点水平位移向量，因弹性体系自由振动是简谐运动，x(t)可表示为(x(t))= ()sin( ot + p)(3-137)式中(）一体系的振型位移幅向量；の、β一体系的自振圆频率和初相位角。则体系质点水平速度向量为

又已知 H1 = 5m， H2 = 9m， H3 =13m， (2 5 1.5 9 1 13) 9.8 357.7kN m 1  =  +  +   = − = n j G j H j 则作用在结构各楼层上的水平地震作用为 n n EK j GjH j G H F (1 )F 1 1 1 1 = − = (1 0.105) 3.659 0.897kN 357.7 2 5 9.8  −  =   = (1 0.105) 3.659 1.211kN 357.7 1.5 9 9.8 F2  −  =   = (1 0.105) 3.659 1.166kN 357.7 1.0 13 9.8 F3  −  =   = 由此得结构的顶点位移为 3 33 2 2 3 1 EK 3 F F F F F F U k k k n +  n + + +  = + 6.917 10 m 600 1.166 0.384 1200 1.211 1.166 0.384 1800 3.659 −3 =  + + + + = + 与例 3-5 的结果对比，可见底部剪力法的计算结果与振型分解反应谱法的计算结果是很 接近的。 3.5.2 结构基本周期的近似计算 采用底部剪力法进行结构抗震计算，只需知道结构基本周期，如采用特征方程（3-69） 计算结构基本周期，不仅需通过计算机计算，而且计算量较大。下面介绍几种计算结构基本 周期的近似方法，计算量小，精度高，可以手算。 1. 能量法 能量法的理论基础是能量守衡原理，即一个无阻尼的弹性体系作自由振动时，其总能量 （变形能与动量之和）在任何时刻均保持不变。 图 3-20 为一多质点弹性体系，设其质量矩阵和刚度矩阵分别为 [M ] 和 [K] 。令 x(t) 为 体系自由振动 t 时刻质点水平位移向量，因弹性体系自由振动是简谐运动， x(t) 可表示为 x(t)=sin(t +) （3-137） 式中 —体系的振型位移幅向量；  、 —体系的自振圆频率和初相位角。 则体系质点水平速度向量为

(x())= 0 (@)cos(ot + P)(3-138)x,(t)mnx,(t)mxi(t)m1图3-20多质点弹性体系自由振动当体系振动到达振幅最大值时，体系变形能达到最大值Ux：而体系的动能等于零。此时体系的振动能为1-(D)T[KI@)E, =U.(X(t)ma)x[K](X(t)max = (3-139a)=max22当体系达到平衡位置实，体系质点振幅为零，但质点速度达到最大值Tmx，而体系变形能等于零。此时，体系的振动能为1:1(3-139b)Ea=Tmax(x(0)mx [M](x(0) mx ==(@)"[M](Φ)=2n由能量守恒原理，Tmax=Umax，得()[K]()02-元(3-140)()[M](D)当体系质量矩阵[M和刚度矩阵已知时，频率是振型（Φ】的函数，当所取的振型为第i阶振型（Φ时，按式（3-140）求得的是第i阶的自振频率@i。为求得体系基本频率@1，需确定体系第一振型，注意到[Kl（Φ1=（F）为产生第一阶振型（Φ1的力向量，如果近似将作用于各个质点的重力荷载G，当做水平力所产生的质点水平位移u作为第一振型位移，则n2G.ugEG,u()T (F)1=li=1(3-141)0120.n@[MIΦ,?mmii=l注意到T=2元/01，g=9.8m/s，则由式（3-141）可得2Gu(3-142)T=0VG,ui/→

x (t)=cos(t +) （3-138） 图 3-20 多质点弹性体系自由振动 当体系振动到达振幅最大值时，体系变形能达到最大值 Umax，而体系的动能等于零。此 时体系的振动能为 { } [ ]{ } 2 1 { ( )} [ ]{ ( )} 2 1 E = Umax = X t max K X t max =  K  T T d （3-139a） 当体系达到平衡位置实，体系质点振幅为零，但质点速度达到最大值 Tmax，而体系变形 能等于零。此时，体系的振动能为 { } [ ]{ } 2 1 { ( )} [ ]{ ( )} 2 1 2 = max = max max =   • • E T x t M x t M T T d  （3-139b） 由能量守恒原理， Tmax = Umax ，得 { } [ ]{ } 2 { } [ ]{ }     = M K T T  （3-140） 当体系质量矩阵[M]和刚度矩阵已知时，频率ω是振型｛Ф｝的函数，当所取的振型为 第 i 阶振型｛Фi｝时，按式（3-140）求得的是第 i 阶的自振频率ωi。为求得体系基本频率 ω1，需确定体系第一振型，注意到[K]{Ф1}＝｛F1｝为产生第一阶振型{Ф1}的力向量，如果 近似将作用于各个质点的重力荷载 Gi 当做水平力所产生的质点水平位移 ui 作为第一振型位 移，则     = = = = = =    = n i i i n i i i n i i i n i i i T T G u g G u m u G u M F 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 { } [ ]{ } { } { }  （3-141） 注意到 T1＝2π/ω1， g=9.8 m/s2，则由式（3-141）可得   = = = n i i i n i i i G u G u T 1 1 2 1 2 （3-142）

式中u一将各质点的重力荷载G视为水平力所产生的质点i处的水平位移，单位为m。例3-7采用能量法求例3-4结构的基本周期。解：各楼层的重力荷载为G,=1×9.8=9.8kNG,=1.5×9.8=14.7kNG,=2×9.8=19.6kN将各楼层的重力荷载当做水平力产生的楼层剪力为V,=G,=9.8kNV2 = G3 +G2 =24.5kNV = G, +G, +G, = 44.1kN则将楼层重力荷载当做水平力所产生的楼层水平位移为V_ 44.1=0.0245mu, =k1800V224.5+0.0245=0.0449m+u=u2 =1200k2V39.8+0.0449=0.0613mu=+u2=600k3由式（3-142）求基本周期So19.6×0.02452+14.7×0.04492+9.8×0.061331eT, =2=2= 0.424 s2n19.6×0.0245+14.7×0.0449+9.8×0.0613与精确解的相对误差为-2%。2.等效质量法等效质量法的思想是用一个等效单质点体系来代替原来的多质点体系，如图3-21所示。等效原则为：(1)等效单质点体系的自振频率与原多质点体系的基本自振频率相等；(2）等效单质点体系自由振动的最大动能与原多质点体系的基本自由振动的最大动能相等

式中 ui——将各质点的重力荷载 Gi 视为水平力所产生的质点 i 处的水平位移，单位为 m。 例 3-7 采用能量法求例 3-4 结构的基本周期。 解：各楼层的重力荷载为 G3 =19.8 = 9.8 kN G2 =1.59.8 =14.7 kN G1 = 29.8 =19.6 kN 将各楼层的重力荷载当做水平力产生的楼层剪力为 V3 = G3 = 9.8 kN V2 = G3 + G2 = 24.5 kN V1 = G3 + G2 + G1 = 44.1 kN 则将楼层重力荷载当做水平力所产生的楼层水平位移为 0.0245 1800 44.1 1 1 1 = = = k V u m 0.0245 0.0449 1200 24.5 1 2 2 2 = + u = + = k V u m 0.0449 0.0613 600 9.8 2 3 3 3 = + u = + = k V u m 由式（3-142）求基本周期 0.424 19.6 0.0245 14.7 0.0449 9.8 0.0613 19.6 0.0245 14.7 0.0449 9.8 0.0613 2 2 2 2 2 1 1 2 1 =  +  +   +  +  = =   = = n i i i n i i i G u G u T s 与精确解的相对误差为-2％。 2. 等效质量法 等效质量法的思想是用一个等效单质点体系来代替原来的多质点体系，如图 3-21 所示。 等效原则为： （1） 等效单质点体系的自振频率与原多质点体系的基本自振频率相等； （2） 等效单质点体系自由振动的最大动能与原多质点体系的基本自由振动的最大动能相 等

XnmmHegmHi图 3-21 用单质点体系等效多质点体系多质点体系按第一振型振动的最大动能为11Uimxm(@)(3-143)=等效单位质点的最大动能为1Uam=-ma(0a)(3-144)由Uimax=U2max，可得等效单质点体系的质量为n2mx?meg =三(3-145)式中Xi一体系按第一振型振动时，质点m处的最大位移；Xeg一体系按第一振型振动时，相应于等效质点meg处的最大位移。上式中，xi、xeg可通过将体系各质点重力荷载当做水平力所产生的体系水平位移确定。若体系为图3-32所示的连续质量悬臂梁结构体系，将其等效为位于结构顶部的单质点体系时，可将式（3-145）改写为'mxdy(3-146)meg式中m一沿高度方向悬臂结构单位长度质量

Hi xi mi mn xn Heg 图 3-21 用单质点体系等效多质点体系 多质点体系按第一振型振动的最大动能为 2 1 1 1max ( ) 2 1 i n i i U m  x = = （3-143） 等效单位质点的最大动能为 2 2max 1 ( ) 2 1 eg eg U = m  x （3-144） 由 U1max=U2max，可得等效单质点体系的质量为 2 1 2 eg n i i i eg x m x m  = = （3-145） 式中 xi —体系按第一振型振动时，质点 mi 处的最大位移； xeg —体系按第一振型振动时，相应于等效质点 meg处的最大位移。 上式中，xi、xeg可通过将体系各质点重力荷载当做水平力所产生的体系水平位移确定。 若体系为图 3-32 所示的连续质量悬臂梁结构体系，将其等效为位于结构顶部的单质点体 系时，可将式（3-145）改写为 2 0 2 eg l eg x mx dy m  = （3-146） 式中 m —沿高度方向悬臂结构单位长度质量