《结构力学》课程授课教案（讲义）第十章 结构动力计算 10-5 两个自由度体系的自由振动 Free-Vibration of MDOF

教学要求掌握用刚度法和柔度法建立两、多个自由度体系的自由振动微分方程的方法，深刻理解频率方程和主振型等概念及其不同表达形式，熟练掌握两、多个自由度体系自由振动时的动力特性（自振频率、主振型）的计算。多自由度体系的求解方法有两种，刚度法与柔度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解。(One of the greatest disadvantages of the SDOF approximation is that it is difficult to assessthereliabilityoftheresultsobtainedfromit.)10.5.1刚度法(stiffnessMethod)先讨论两个自由度的体系，然后推广到n个自由度的体系。（1）两个自由度的体系模型：yz(t)Y2m2m2m2j2Yi(t)Y1m1miii71图10-10

教学要求 掌握用刚度法和柔度法建立两、多个自由度体系的自由振动微分方程的方法，深刻理解频率方 程和主振型等概念及其不同表达形式，熟练掌握两、多个自由度体系自由振动时的动力特性（自振 频率、主振型）的计算。 多自由度体系的求解方法有两种，刚度法与柔度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解，柔度 法通过建立位移协调方程求解。 (One of the greatest disadvantages of the SDOF approximation is that it is difficult to assess the reliability of the results obtained from it.) 10.5.1 刚度法（stiffness Method） 先讨论两个自由度的体系，然后推广到n个自由度的体系。 （1）两个自由度的体系 模型： 图10-10

平衡方程：[m11+1=0m22 + 72 = 0弹性力：[1 =k1131 +k12]2(r2=k21J1 + k22y2k是结构的刚度系数，表示i点产生单位位移时在1点引起的反力。由此可得：m1j1(t)+k1131(t)+k12y2(t)=0m23/2(t)+k21/2(t)+k22y/2(t)=0设其解为：[n()-Yi sin(ot +α)(y2(t)=Ysin(ot+a)其特点：1）具有相同的频率0与相位角α，Y1,Y2为振幅：-常数2y(t)Y,这种结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型。代入可得，[(1-m+=0k+(,-om),=0上式有非零解的条件为系数行列式为零，即kr-0mkD(k,-'m,ka1上式称为频率方程或特征方程。上式展开得(11-02m1)(k22-02m2)-K12K21=0整理后得：K11 +K2202 + X1k22 - 12k21 = 0022m1m2mim2

由此可得两个自由度体系的两个自振频率，用w1表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或基本圆频率。另一个圆频率W2为第二圆频率由此可得：Ck12Yi--Yki-om其中：Y1,Y21分别表示第一振型中质点1和2的振幅同样可得：k2Y12Y22ki-om其中：Y12Y22分别表示第二振型中质点1和2的振幅。振型曲线如下：Y23Y22Y11Y12图10-11在一般情况下，两个自由度体系的自由振动可看作是两种频率及其主振型的叠加，即1()=AjY11sim(o1t+a1)+A212sin(o2t+a2)y2(t)=4Y21sin(@it+a1)+AY22sin(02t+α2)根据初始条件可求得A1,α,与A2:α2结论：1）对多自由度问题，确定自振频率与主振型2）多自由度体系的自振频率个数与自由度的个数相等。3）各个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。4）自振频率和主振型是体系本身的固有性质，与外荷载无关。例10-4：讲解鞭梢效应及减震方法。(2）n个自由度体系模型：

由此可得两个自由度体系的两个自振频率，用ω1表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或基 本圆频率。另一个圆频率ω2为第二圆频率。 由此可得： 其中：Y12，Y22分别表示第二振型中质点1和2的振幅。 振型曲线如下： 图10-11 在一般情况下，两个自由度体系的自由振动可看作是两种频率及其主振型的叠加，即 结论： 1）对多自由度问题，确定自振频率与主振型； 2）多自由度体系的自振频率个数与自由度的个数相等。 3）各个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系能够按单自由度振动时所具有 的特定形式。 4）自振频率和主振型是体系本身的固有性质，与外荷载无关。 例10-4：讲解鞭梢效应及减震方法。 （2）n个自由度体系 模型：

mnVNTmn.....mnjn4Inmi...yimj,rmiri4mimi31rim14r1Y1Y1图10-12

图10-12

平衡方程：my+r=0(i=1,2..n)刚度方程：=ki+k.+...+k(i=1,2..n)k,的意义同前运动方程：mji+ki1+ks+...+kiy,=0m+kay+kay+...+k=omj+k+ky+...+ky.=o用矩阵可表示为：[m1T0K11K12KinV1J2m2K21K22K2n12mJynj0[KnlKn2Kmyn或简写为：[M]6]+[K]6] = (0]其中：[M[K】分别为位移向量，加速度向量，质量矩阵和刚度短阵。设其解为j=(）sin(ot+α）这里是位移幅值向量，即MY2(7)=Yn代入运动方程得：[x]-0 [M]kr]= (0]同理，系数行列式为零，即主振型的标准化

主振型的标准化

T中的某个元素为1，1（2)满足如下关系（(0)[m(0)=例10.5讲解基本思路，不作具体运算。10.5.2柔度法（FlexibilityMethod）基本方法：根据位移协调条件来建立平衡方程模型：以两个自由度为例，my2(t)-m2j2mi-m131yi(t)图10-13基本思路：在自由振动过程中的任一时刻t，质量m1m2的位移yi(t)，y2(t）应当等于体系在当时惯性力-mj（t）,-mJ（t）作用下所产生的静力位移控制方程：J1(0)=-m1j1(t)611-m2)2(t)612y2(t)= -m1j1(t)521 -m2j2(t)022式中：S，是体系的柔度系数（FlexibilityCoefficient），表示在j质点处作用单位力时在1质点处所产生的位移。设解为：[yi(t)=Yi sin(at +a)(02(t)=Y2 sin(ot +α)代入上式（Substitute）得：i=(a2ml1b11+(om2126512Y2=omli521+om22522上式表明，主振型的位移幅值（Y,Y）就是体系在此主振型惯性力幅值@m，0m2Y作用下所引起的静力位移

例10.5 讲解基本思路，不作具体运算。 10.5.2 柔度法（Flexibility Method） 基本方法：根据位移协调条件来建立平衡方程 模型：以两个自由度为例， 图10-13

Y2m20m12m1Yomi图10-14停上式整理得：1+612m212=0di1m1 -0821m1li +822m2 --2=0521如果Yi，Y，不全为零，则有：1iimi821m2D:=01021ml822m20-将上式展开即可求得0：の注意0.0取正根）求体系的主振型。由平衡方程12m2i1Y211Sim0i112012m2Y22djim02例10.5多个自由度体系柔度法的一般方程可采用两种方法来推导。一种是如上述所示用柔度法直接推导，另一种是利用刚度法的方程间接导出。由刚度方程，有；

图10-14 例10.5 多个自由度体系 柔度法的一般方程可采用两种方法来推导。一种是如上述所示用柔度法直接推导，另一种是利用 刚度法的方程间接导出。 由刚度方程，有；

C(x]-[m)m)=f0)后用[KT前乘上式，并利用刚度矩阵与柔度矩阵之间的如下关系：[] - [3]-1得：(1] -[6[M] (r)=(0)今1得：O(6[M]-[)= 0由此得频率方程：[6[M]- [] = 0其展开形式为：(0i1m -2)012m2Cinmn621m(622m2 -)02nmn=0ommion2m2Onmmn-由此可得到关于入的n次代数方程，可解出n个根.....因此，可求出n个频率.最后求与各个频率相应的主振型(0)。为此，将1=二和(0)代入前式,0r得：(6[M]-2[2D0]- 0令i1,2..，可得n个向量方程，由此可求出n个主振型)(2).)例10.6

例10.6