《结构力学》课程授课教案（讲义）第九章 矩阵位移法 9.3 整体坐标系单元刚度矩阵

教学要求掌握整体坐标系下的单元刚度矩阵及其物理意义，单元坐标转换矩阵的物理意义9.3.1单元坐标转换矩阵（1）问题的提出单元刚度矩阵一单根杆；多根根组成的复杂结构呢？(图9-5)XXXtyIy(1)(1)9(2)2aCeR(2)结点处干衡条件的建立提出了2种尘标系统的关系问题b)d)图9-5分析：

教学要求 掌握整体坐标系下的单元刚度矩阵及其物理意义，单元坐标转换矩阵的物理意义。 9.3.1 单元坐标转换矩阵 （1）问题的提出 单元刚度矩阵——单根杆；多根根组成的复杂结构呢？（图9-5） 图9-5 分析：

从数学的角度理解整体坐标系（xV）与局部坐标系（又）的区（b）力分量应向整体坐标系转换，图f给出了两种坐标系下力分量之间的X, =X, cos α+Y sin α数学关系,=-X,sinα+Y, cosaXe=X'cosa+ysinaX, -X, cosa+Y, sin a同理：=-Xcosa+Y sinay=-X,cosa+Y,sinaM=MM=M,（2）公式推导X00X00sinacosaINY000O sin acosa立M,000010矩阵形式：X双000sina0cosaIO0030-sinacosa000001MMF-[F0(9.8)(0 - [7A0同理：(9.9)07000cosasina0000sinacosa000010其中： []-为单位坐标转换矩阵。000sina0cosa0000-sinacosa00O0011[T]】的特性(3)正交矩阵：其逆矩阵等于转置矩阵，即T-=。α=0时，[-1=1（单位矩阵）。9.3.2整体坐标系单元刚度矩阵（1）整体坐标系中的单元刚度矩阵两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系为：

（3）［T］的特性 9.3.2 整体坐标系单元刚度矩阵 （1）整体坐标系中的单元刚度矩阵 两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系为：

[对 = [[[7]单元刚度矩阵的性质：同局部坐标系下(2）实例例10-1：图9-6结构，已知单元（1）、（2）在局部坐标系（杆件箭头方向）中的单元矩阵如下（单位：长度m，角度rad，力kN），求各单元在整体坐标系下的刚度矩阵。DHTD(1)A/30°23.BBLCIC&&a)b)图9-600300-300001230030-120301000-3050[-[2[O0003003000-30012-30-12030500-30100分析：[-]求[]：求;依据图形解：

单元刚度矩阵的性质：同局部坐标系下。 （2）实例 例10-1：图9-6结构，已知单元（1）、（2）在局部坐标系（杆件箭头方向）中的单元矩阵如下（单 位：长度m，角度rad，力kN），求各单元在整体坐标系下的刚度矩阵。 图9-6 解：

单元1:α=0,[-[单元2：0=900O00000O00100O0号000000[] =[0000000O10000000001LO0010000001-0120-12-30-30000300-30000030100-3050[] []2 [7] [][7] -00123030-120003000300030500-30100[12-120-3070-30000300-30005010030030120对称300100（3）单元2:0=12030-10003000-10000001[3] =2030001N30000-1000001-3-1O00030000-1000001[3]]/0000-130000-1000001注意：图中单元的方向，计算时宜取与整体坐标系相同（转角以逆时针为正）。思考图9-7的求解

注意：图中单元的方向，计算时宜取与整体坐标系相同（转角以逆时针为正）。思考图9-7的求解

文DyD(1)AAY30°（2)(3)B/BLCCXa)b)办办图9-7

图9-7