《结构力学》课程授课教案（讲义）第三章 静定结构的受力分析 3.4 静定平面桁架

教学要求掌握静定平面桁架结构的受力特点和结构特点，熟练掌握行架结构的内力计算方法一一结点法截面法、联合法。3.4.1桁架的特点和组成3.4.1.1静定平面桁架架结构是指若干直杆在两端铰接组成的静定结构。这种结构形式在桥梁和房屋建筑中应用较为广泛，如南京长江大桥、钢木屋架等。实际的行架结构形式和各杆件之间的联结以及所用的材料是多种多样的，实际受力情况复杂，要对它们进行精确的分析是困难的。但根据对架的实际工作情况和对桁架进行结构实验的结果表明，由于大多数的常用架是由比较细长的杆件所组成，而且承受的荷载大多数都是通过其它杆件传到结点上，这就使得行架结点的刚性对杆件内力的影响可以大大的减小，接近于铰的作用，结构中所有的杆件在荷载作用下，主要承受轴向力，而弯矩和剪力很小，可以忽略不计。因此，为了简化计算，在取架的计算简图时，作如下三个方面的假定：（1）桁架的结点都是光滑的铰结点。(2)各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。(3)荷载和支座反力都作用在铰结点上。通常把符合上述假定条件的架称为理想桁架。3.4.1.2桁架的受力特点桁架的杆件只在两端受力。因此，架中的所有杆件均为二力杆。在杆的截面上只有轴力。3.4.1.3桁架的分类(1)简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图3-14a)(2)联合架：由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰接体系。（图3-14b）(3)复杂桁架：不属于前两类的架。（图3-14c)1317图314a1图314b图31403.4.2行架内力计算的方法架结构的内力计算方法主要为：结点法、截面法、联合法

教学要求 掌握静定平面桁架结构的受力特点和结构特点，熟练掌握桁架结构的内力计算方法——结点法、 截面法、联合法。 3.4.1 桁架的特点和组成 3.4.1.1 静定平面桁架 桁架结构是指若干直杆在两端铰接组成的静定结构。这种结构形式在桥梁和房屋建筑中应用较为 广泛，如南京长江大桥、钢木屋架等。 实际的桁架结构形式和各杆件之间的联结以及所用的材料是多种多样的，实际受力情况复杂，要对 它们进行精确的分析是困难的。但根据对桁架的实际工作情况和对桁架进行结构实验的结果表明， 由于大多数的常用桁架是由比较细长的杆件所组成，而且承受的荷载大多数都是通过其它杆件传到 结点上，这就使得桁架结点的刚性对杆件内力的影响可以大大的减小，接近于铰的作用，结构中所 有的杆件在荷载作用下，主要承受轴向力，而弯矩和剪力很小，可以忽略不计。因此，为了简化计 算，在取桁架的计算简图时，作如下三个方面的假定： （1） 桁架的结点都是光滑的铰结点。 （2） 各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。 （3） 荷载和支座反力都作用在铰结点上。 通常把符合上述假定条件的桁架称为理想桁架。 3.4.1.2 桁架的受力特点 桁架的杆件只在两端受力。因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。在杆的截面上只有轴力。 3.4.1.3 桁架的分类 （1） 简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图 3-14a） （2） 联合桁架：由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰接体系。（图3-14b） （3） 复杂桁架：不属于前两类的桁架。（图3-14c） 3.4.2 桁架内力计算的方法 桁架结构的内力计算方法主要为：结点法、截面法、联合法

结点法一一适用于计算简单架。截面法一一适用于计算联合桁架、简单桁架中少数杆件的计算。联合法一一在解决一些复杂的桁架时，单独应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这时需要将这两种方法进行联合应用，从而进行解题。解题的关键是从几何构造分析着手，利用结点单杆、截面单杆的特点，使问题可解。在具体计算时，规定内力符号以杆件受拉为正，受压为负。结点隔离体上拉力的指向是离开结点，压力指向是指向结点。对于方向已知的内力应该按照实际方向画出，对于方向未知的内力，通常假设为拉力，如果计算结果为负值，则说明此内力为压力。常见的以上几种情况可使计算简化：FCF.FF图315a图315b1FFFE一H图315c图315d1、不共线的两杆结点，当结点上无荷载作用时，两杆内力为零（图3-15a）。F1=F2=02、由三杆构成的结点，当有两杆共线且结点上无荷载作用时（图3-15b），则不共线的第三杆内力必为零，共线的两杆内力相等，符号相同。F1=F2 F3=03、由四根杆件构成的"K"型结点，其中两杆共线，另两杆在此直线的同侧且夹角相同（图3-15c），当结点上无荷载作用时，则不共线的两杆内力相等，符号相反。F3=-F44、由四根杆件构成的"X"型结点，各杆两两共线（图3-15d），当结点上无荷载作用时，则共线杆件的内力相等，且符号相同。F1=F2 F3=F45、对称桁架在对称荷载作用下，对称杆件的轴力是相等的，即大小相等，拉压相同；在反对称荷载作用下，对称杆件的轴力是反对称的，即大小相等，拉压相反。计算桁架的内力宜从几何分析入手，以便选择适当的计算方法，灵活的选取隔离体和平衡方程。如有零杆，先将零杆判断出来，再计算其余杆件的内力。以减少运算工作量，简化计算。3.4.2.1结点法结点法：截取桁架的一个结点为隔离体计算桁架内力的方法

结点法――适用于计算简单桁架。 截面法――适用于计算联合桁架、简单桁架中少数杆件的计算。 联合法――在解决一些复杂的桁架时，单独应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这 时需要将这两种方法进行联合应用，从而进行解题。 解题的关键是从几何构造分析着手，利用结点单杆、截面单杆的特点，使问题可解。 在具体计算时，规定内力符号以杆件受拉为正，受压为负。结点隔离体上拉力的指向是离开结 点，压力指向是指向结点。对于方向已知的内力应该按照实际方向画出，对于方向未知的内力，通 常假设为拉力，如果计算结果为负值，则说明此内力为压力。 常见的以上几种情况可使计算简化： 1、不共线的两杆结点，当结点上无荷载作用时，两杆内力为零（图3-15a）。 F1=F2=0 2、由三杆构成的结点，当有两杆共线且结点上无荷载作用时（图3-15b），则不共线的第三杆内 力必为零，共线的两杆内力相等，符号相同。 F1=F2 F3=0 3、由四根杆件构成的"K"型结点，其中两杆共线，另两杆在此直线的同侧且夹角相同（图3- 15c），当结点上无荷载作用时，则不共线的两杆内力相等，符号相反。 F3=-F4 4、由四根杆件构成的"X"型结点，各杆两两共线（图3-15d），当结点上无荷载作用时，则共线杆 件的内力相等，且符号相同。 F1=F2 F3=F4 5、对称桁架在对称荷载作用下，对称杆件的轴力是相等的，即大小相等，拉压相同；在反对称 荷载作用下，对称杆件的轴力是反对称的，即大小相等，拉压相反。 计算桁架的内力宜从几何分析入手，以便选择适当的计算方法，灵活的选取隔离体和平衡方程。 如有零杆，先将零杆判断出来，再计算其余杆件的内力。以减少运算工作量，简化计算。 3.4.2.1 结点法 结点法：截取桁架的一个结点为隔离体计算桁架内力的方法

结点上的荷载、支座反力和杆件轴力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力系，因此，结点法是利用平面汇交力系来求解内力的。从只有两个未知力的结点开始，按照二元体规则组成简单架的次序相反的顺序，逐个截取结点，可求出全部杆件轴力。结点单杆：如果同一结点的所有内力均为未知的各杆中，除某一杆外，其余各杆都共线，则该杆称为结点的单杆。（图3-15a、b)结点单杆具有如下性质：(1)结点单杆的内力，可以由该结点的平衡条件直接求出(2)当结点单杆上无荷载作用时，单杆的内力必为零。(3)如果依靠拆除单杆的方法可以将整个桁架拆完，则此桁架可以应用结点法将各杆的内力求出，计算顺序应按照拆除单杆的顺序实例分析例1：求出图（3-16a）所示桁架所有杆件的轴力。2m2m30KN4.17412747图316a解：由于图示架可以按照依次拆除二元体的方法将整个桁架拆完，因此可应用结点法进行计算。30KVRR图3-16b

结点上的荷载、支座反力和杆件轴力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力系，因此，结点法 是利用平面汇交力系来求解内力的。从只有两个未知力的结点开始，按照二元体规则组成简单桁架 的次序相反的顺序，逐个截取结点，可求出全部杆件轴力。 结点单杆：如果同一结点的所有内力均为未知的各杆中，除某一杆外，其余各杆都共线，则该杆 称为结点的单杆。（图3-15a、b） 结点单杆具有如下性质： （1） 结点单杆的内力，可以由该结点的平衡条件直接求出。 （2） 当结点单杆上无荷载作用时，单杆的内力必为零。 （3） 如果依靠拆除单杆的方法可以将整个桁架拆完，则此桁架可以应用结点法将各杆的内 力求出，计算顺序应按照拆除单杆的顺序。 实例分析 例1：求出图（3-16a）所示桁架所有杆件的轴力。 解：由于图示桁架可以按照依次拆除二元体的方法将整个桁架拆完，因此可应用结点法进行计算

NA20元V图3160公NE10kV图316dVDNDF1414kV100元V图317d70.7kV70.7起+NEF图317e

（）计算支座反力（图3-16b）：R，=20kVR,=10kV计算各杆内力方法一：应用结点法，可从结点A开始，依次计算结点（A、B），1，（2、6），(3、4)5结点A，隔离体如图3-16c2NA.X+20kV=0=N4=-44.7kV（压力）25+N:=0=Ng=40V(拉力)。NA-X2.5结点B，隔离体如图3-16dV2NED+10kV=0=N=-14.1kV（压力）V+Ng=0=N=10kV（拉力）Nm同理依次计算1，（2、6），（3、4），5各结点，就可以求得全部杆件轴力，杆件内力可在桁架结构上直接注明（图3-16e）。44.7kN-14.1kNOkNOkN44.7kNOkNOkn14.1kN42.4kN40kN510k10kN2图316e轴力图方法二：1）首先进行零杆的判断利用前面所总结的零杆判断方法，在计算桁架内力之前，首先进行零杆的判断。N12=N23=N43=N45=0去掉架中的零杆，图示结构则变为：图3-16f。130元V图316f

同理依次计算1，（2、6），（3、4），5各结点，就可以 求得全部杆件轴力，杆件内力可在桁架结构上直接注明（图3-16e）。 方法二： 1）首先进行零杆的判断 利用前面所总结的零杆判断方法，在计算桁架内力之前，首先进行零杆的判断。 N12= N23= N43= N45=0 去掉桁架中的零杆，图示结构则变为：图3-16f

在结点5上，应用结点单杆的性质，N53内力可直接由平衡条件求出，而不需要求解支座反力。V2Nss>=30KV=Ns3=42.4kV（拉力）2其它各杆件轴力即可直接求出。[注意］：利用零杆判断，可以直接判断出哪几根杆的内力是零，最终只求几根杆即可。在进行桁架内力计算时，可大大减少运算量。例2：求图示行架中的各杆件的内力。47m24mH100kVm100kV4m4724777图317a解：由几何组成分析可知，图3-17桁架为简单架。可采用结点法进行计算。图示结构为对称结构，承受对称荷载，则对称杆件的轴力相等。在计算时只需计算半边结构即可。（1）求支座反力

在结点5上，应用结点单杆的性质，N53内力可直接由平衡条件求出，而不需要求解支座反力。 其它各杆件轴力即可直接求出。 ［注意］：利用零杆判断，可以直接判断出哪几根杆的内力是零，最终只求几根杆即可。在进行桁 架内力计算时，可大大减少运算量。 例2：求图示桁架中的各杆件的内力。 解：由几何组成分析可知，图3-17桁架为简单桁架。可采用结点法进行计算。 图示结构为对称结构，承受对称荷载，则对称杆件的轴力相等。在计算时只需计算半边结构即 可。 （1）求支座反力

根据对称性，支座A、B的竖向支反力为：R=R,=100aV（个）2）求各杆件内力：*由结点A开始，（在该结点上只有两个未知内力）隔离体如图3-176所示。2=N.+R,=0=NA=-141.4V2由平衡条件：2N+N..-0=N..-1006V2结点C：隔离体如图3-17c所示由平衡条件：N..=100kVN-.=N..=100kV结点D：隔离体如图3-17d所示由平衡条件：为避免求解联立方程，以杆件DA、DE所在直线为投影轴。Nes +141.4V-100x=0=N.=-70.7RV2Ne-100×2-0=N---70.7RV2结点E：隔离体如图3-17e所示，根据对称性可知EC与ED杆内力相同。70.770.7×由平衡条件：-N.=0=N.=100AV22所有杆件内力已全部求出。轴力图见图3-17fNAeR.图317b100kVN.100kV图3-17℃

所有杆件内力已全部求出。轴力图见图3-17f

70.7k1D-141.4V100100起vCFH图317f3.4.2.2截面法截面法：用适当的截面，截取架的一部分（至少包括两个结点）为隔离体，利用平面任意力系的平衡条件进行求解。用结点法求解架内力时，是按照一定顺序逐个结点计算，这种方法前后计算互相影响。当架结点数目较多时，而问题又只要求求解行架的某几根杆件的内力，则时用结点法就显得繁琐，可采用另一种方法一一截面法截面法适用于求解指定杆件的内力，隔离体上的未知力一般不超过三个。在计算中，未知轴力也一般假设为拉力。为避免联立方程求解，平衡方程要注意选择，每一个平衡方程一般包含一个未知力截面单杆：与结点法相类似，如果某个截面所截得内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点（或彼此平行一一交于无穷远处），则此杆称为截面单杆，如图3-18。图3-18a中的杆3和3-18b的杆1、2、3均为截面单杆。截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出。图318a图318b实例分析：求出图示杆件1、2、3的内力（图3-19a）

3.4.2.2 截面法 截面法：用适当的截面，截取桁架的一部分（至少包括两个结点）为隔离体，利用平面任意力系 的平衡条件进行求解。 用结点法求解桁架内力时，是按照一定顺序逐个结点计算，这种方法前后计算互相影响。当桁架 结点数目较多时，而问题又只要求求解桁架的某几根杆件的内力，则时用结点法就显得繁琐，可采 用另一种方法――截面法。 截面法适用于求解指定杆件的内力，隔离体上的未知力一般不超过三个。 在计算中，未知轴力也一般假设为拉力。 为避免联立方程求解，平衡方程要注意选择，每一个平衡方程一般包含一个未知力。 截面单杆：与结点法相类似，如果某个截面所截得内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都 交于一点（或彼此平行――交于无穷远处），则此杆称为截面单杆，如图3-18。图3-18a中的杆3和 3-18b的杆1、2、3均为截面单杆。 截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出。 实例分析：求出图示杆件1、2、3的内力（图3-19a）

50元OEV50kV50AV50kVC2E1232图319a50EV50kVND1N.N125kV图319b解：1、求支座反力称性可得，R=R=125AV（个），电对将桁架沿1-1截开，选取左半部分为研究对象，截开杆件处用轴力代替（图3-19b），列平衡方程：ZM=0:N×2+125×2-50×2=0ZY=0:+125-50-50=022ZX=0: N+N,x+N,=02即可解得：#N,=100kVN.=-75KVN,=-35.4kN【注意］：图3-19a中的杆件1、2、3均为截面单杆。3.4.2.3联合法在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这时截面单杆，使问题可解。如：例2题目中，如果只要求求解杆件EF的内力，这时则可先采用截面法（如图3-20），求解杆件DE的内力，再通过结点法一结点E的平衡求解EF的内力

解： 1、求支座反力 3.4.2.3 联合法 在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这时截面单杆， 使问题可解。 如：例2题目中，如果只要求求解杆件EF的内力，这时则可先采用截面法（如图3-20），求解杆 件DE的内力，再通过结点法—结点E的平衡求解EF的内力

此时，避免了采用结点法时，要依次求解各结点上杆件的内力：单独采用截面法，杆件EF不是截面单杆，内力无法直接求解。4mE4m2SFR100元V100kVTH4m41m41m1图320

此时，避免了采用结点法时，要依次求解各结点上杆件的内力；单独采用截面法，杆件EF不是 截面单杆，内力无法直接求解