《电磁场与电磁能》课程PPT教学课件（马冰然版）第五章 静态场的边值问题

第五章第五章静态场的边值问题各种边界5?本章主要介绍静态场边值问题及其基本计算方法。解析法与数值计算法2025/6/11电磁场理论

电磁场理论 2025/6/11 第五章 1 第五章 静态场的边值问题 本章主要介绍静态场边值问题 及其基本计算方法。 各种边界

第五章第一节静态场边值问题的基本概念一、静态场：静电场、恒定场、恒定磁场。二、静态场的基本方程：EBJAd即：环量、通量方程引入辅助量泊松方程或拉普拉斯方程（p=0,j=0)2μ=- P(= 0,p= 0)(5—1—1)文2A=-(=0,J=0)三个标量方程（5一1—2）2025/6/11电磁场理论

电磁场理论 2025/6/11 第五章 2 第一节 静态场边值问题的基本概念 一、静态场： 静电场、恒定场、恒定磁场。 二、静态场的基本方程： 即：环量、通量方程 引入辅助量 泊松方程或拉普拉斯方程 ( 0, 0) ( 0, 0) 2 2  = − = =  = − = = A J J         E  B  J  A   ( = 0, J = 0)   三个标量方程 （５－１－１） （５－１－２）

第五章三、静态场的求解-----静态场的边值问题根据唯一性定理：满足三类边值问题的油松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。求(5-1-1)、（5-1-2)的通解ΦA;利用给定的边界条件求 A的特解；A=BΦ=E:四、求解静电场的边值问题的方法解析法：求Φ在整个场域内所满足的函数表达式,根据表达式，可求出任意点确切的Φ值（规则边界）2025/6/11电磁场理论

电磁场理论 2025/6/11 第五章 3 三、静态场的求解-静态场的边值问题: 求(５-１-１)、 (５-１-２)的通解 A ；   利用给定的边界条件求 A 的特解；   E A B      ;  根据唯一性定理：满足三类边值问题的泊 松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。 四、求解静电场的边值问题的方法: 解析法：求 在整个场域内所满足的函数表达式,根据表 达式,可求出任意点确切的 值.(规则边界)  

第五章分离变量法、镜像法、···优点：解具有代数方程的形式,方程中解的参数值可以置换，便于研究不同参数下场的不同分布缺点：要求边界形状比较苟刻,复杂边界形状的场域难以求解数值计算法：求Φ在场域内一组离散点上的近似函数值。缺点：一次运算■一个边界;优点：任意边界。用实验装置模拟实际的物理场方程及给定实验研究法：边界值，测量出相应的待求函数的值的方法2025/6/11电磁场理论

电磁场理论 2025/6/11 第五章 4 分离变量法、镜像法、  数值计算法： 缺点：一次运算 一个边界； 优点：任意边界。 实验研究法: 用实验装置模拟实际的物理场方程及给定 边界值,测量出相应的待求函数的值的方法. 求  在场域内一组离散点上的近似函数值。 优点：解具有代数方程的形式,方程中解的参数值可以置 换,便于研究不同参数下场的不同分布; 缺点:要求边界形状比较苛刻,复杂边界形状的场域难以求解

第五章第二节分离变量法、分离变量法的一般步骤（规则边界）：1、分离变量法：(x, y,z; r,,z; r,0,)F(x, y,z) = f(x)·g(y)·h(2)2、分离变量法的一般步骤：由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写T出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。2025/6/11电磁场理论

电磁场理论 2025/6/11 第五章 5 第二节 分离变量法 一、分离变量法的一般步骤（规则边界）： １、分离变量法： (x, y,z; r,,z; r, , ) F(x, y,z) = f (x) g( y)h(z) ２、分离变量法的一般步骤： 由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式

第五章把待求的值函数用分离变量法表示出来，d(x, y,z)= f(x)·g(y)· h(2)并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程）分解出三个常微分方程；分别写出其通解。R用给定边界条件以及通解中正交函数的正交性确定通解中的待定常数。 "→ 特解 。2025/6/11电磁场理论

电磁场理论 2025/6/11 第五章 6 把待求的位函数用分离变量法表示出来； 并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程）， 分解出三个常微分方程；分别写出其通解。 (x, y,z) = f (x) g( y)h(z) 用给定边界条件以及通解中正交函数的正交 性确定通解中的待定常数。 特解

第五章二、直角坐标系中的分离变量法：1、位函数Φ白的拉氏方程：aaa?dV0=0:0(5-2-1)Qz?ax2 + ay2 +2、分离变量：令d(x, y,z)= f(x)·g(y) ·h(2)(5-2-2)将（5-2-2）代入（5-2-1）,并整理得：.1 d'g1 d?h1 d'f:0(5-2-3)h dz?f dx?g dy?V2025/6/11电磁场理论

电磁场理论 2025/6/11 第五章 7 二、直角坐标系中的分离变量法： 0 0 2 2 2 2 2 2 2 =   +   +    =  x y z     (５-２-１) ２、分离变量： 令 (x, y,z) = f (x) g( y)h(z) (５-２-２) 将 (５-２-２) 代入 (５-２-１) ,并整理得: 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + + = dz d h dy h d g dx g d f f (５-２-３) １、位函数  的拉氏方程：

第五章3、三个常微分方程：1 d2f-k.?(5-2-4)f dx?1 d'g=-k.2(5-2-5)g dy?1 d?h(5-2-6)-h 2h dz?(5-2-7)由(5-2-3）得：k2+k,2+k2=0kx,k,,k，称为分离常数。2025/6/11电磁场理论

电磁场理论 2025/6/11 第五章 8 ３、三个常微分方程： 2 2 2 1 x k dx d f f = − 2 2 2 1 y k dy d g g = − 2 2 2 1 z k dz d h h = − (５-２-４) (５-２-５) (５-２-６) (５-２-７) 由 (５-２-３) 得： 0 2 2 2 kx + ky + kz = x y z k , k , k 称为分离常数

第五章讨论（5-2-4）1d2f4、通解：-k. 2Af dx?k2>0,为实数；k.f(x)= A' sin k,x+ A, cosk,x (5-2-8)则30A’A’为待定系数。k,=ja,,a为实数；<0,则f(x) = B'sha,x + B'cha,x(5-2-9)-a.x(5-2-1 0)或f(x)= B'ea** + B'e1 32025/6/11电磁场理论

电磁场理论 2025/6/11 第五章 9 ４、通解： 讨论 (５-２-４) 2 2 2 1 x k dx d f f = − 则 f x A k x A k x x x ( ) sin cos 1 2 =  +  A2 A  1 为待定系数。 2 x k >０， x k 为实数； 2 x k <０， x x x k = ja , a 为实数； 则 f x B sha x B cha x 1 x 2 x ( ) =  +  或 a x a x x x f x B e B e − =  +  1 2 ( ) (５-２-８) (５-２-９) (５-２-１０) １３ 30

第五章1 d’f=-k?kx=0f dx?f(x) = Cx+C)(5-2-1 1)则同理，g(y),h(2)的通解亦可根据k,,k，的取值不同，从而得到类似f(x）的通解。故Φ(x, y,z)= f(x)·g(y)·h(z)5、由给定边界条件确定待定系数一→特解。2025/6/1110电磁场理论

电磁场理论 2025/6/11 第五章 10 kx = 0 则 1 2 f (x) =C x +C (５-２-１１) 同理， 的通解亦可根据 的取值不同， 从而得到类似 的通解。 g( y), h(z) y z k , k f (x) 故 (x, y,z) = f (x) g( y)h(z) ５、由给定边界条件确定待定系数 特解。 １３ 2 2 2 1 x k dx d f f = −