《电磁场与电磁能》课程PPT教学课件（马冰然版）第二章 静电场 2.6 分界面上的边界条件

第二章　2.62.6分界面上的边界条件在外加电场的作用下，介质的表面或者两种不同介质（ε1，ε2）的分界面上会出现束缚电荷，使得电场分布发生变化，并最终使电场在分界面上变为不连续的。所以，在介质分界面处电场分布只能用高斯定律和环路定理的积分形式表示，由此可得到分界面两侧场的关系一一边界条件（场量衔接条件），这才能结合拉斯方程（或泊松方程）求特定解问题。一般地，将分界面上的场量分解为平行于分界面的“切向分量”和垂直于分界面的法向分量。并选取分界面的法线方向由介质2（ε2）指向介质1（ε1）。2025/6/111

2025/6/11 第二章 2.6 1 在外加电场的作用下，介质的表面或者两种不同 介质（ε1,ε2）的分界面上会出现束缚电荷,使得电 场分布发生变化,并最终使电场在分界面上变为不连 续的。所以，在介质分界面处电场分布只能用高斯定 律和环路定理的积分形式表示，由此可得到分界面两 侧场的关系——边界条件（场量衔接条件），这才能 结合拉斯方程（或泊松方程）求特定解问题。 一般地，将分界面上的场量分解为平行于分界面 的“切向分量”和垂直于分界面的法向分量。并选取 分界面的法线方向由介质2（ε2）指向介质1（ε1）。 2.6 分界面上的边界条件

第二章2.6丰电位移D的边界条件：分界面上有电荷（自由）：如图所示：取一闭合面SNh →>0应用高斯通量定理：$D.ds =Zq2025/6/11S2

2025/6/11 第二章 2.6 2 D  电位移 的边界条件: ❖ 分界面上有电荷（自由）： 如图所示：取一闭合面S 应用高斯通量定理：   =  s D ds q    →h 0

第二章　2.6即D -nAS-D, -nAS = psAS则(D-D2)·n= Psn.(D-D2)=Ps亦即(2-6-1)Din -D2n = β.也可写成：P,=0分界面上无自由电荷：则D, = D,(2-6-2)nY物理意义：分界面上无自由电荷时，D的法向分量是连续的。32025/6/11

2025/6/11 第二章 2.6 3 即 D n S D n S S   −   = s      1 2 则 D D n = s −     ( ) 1 2 也可写成： D1n − D2n = s （2-6-1） ❖ 分界面上无自由电荷： s = 0 则 D D 1 2 n n = （2-6-2） 物理意义：分界面上无自由电荷 时， D 的法向分量是连续的。  n D − D = s ( ) 1 2    亦即

第二章2.6X用电位表示：Dr =εEn=E.n=(-VΦ).nnadadad而Vda·n:Vd.n:a,alalOnadDin则?OnaΦ2D2r82anadaΦ2故(2-6-3)-61+820OnOnadad20.862(2-6-4)Onan=0DN2025/6/11

2025/6/11 第二章 2.6 4 ❖ 用电位表示： Dn En E n n     =  =   = (−) 则 n D n D 2 n n   = −   = −     2 2 1 1 1 故 s n n      =   +   − 2 2 1 1 0 2 2 1 1 =   +   − n n     （2-6-3） （2-6-4） s = 0 al l     =  而  n a n l n l    =     =      

第二章　2.6即 Uab=-={E.di=0a= = =Φad =p2(2-49)亦即物理意义:分界面上的电位是连续的。1dbJaec252025/6/11

2025/6/11 第二章 2.6 5 即  = − =  = b a ab a b U E dl 0     ∴ a = b 亦即 1 =2 （2-49） 物理意义： 分界面上的电位是连续的。 b = a a b c d e f 1 2

第二章2.6十电场强度E的边界条件：n如图所示：取一闭合回路C.h>O&EtE,应用静电场中的环量定理：fE-di=o0?0即AhE,.7°-E, .7°=08182T则E - E2 = 00,E,E2t亦即Eμ = E2t(2-6-5)也可记为×(E,－E,）=O物理意义：不同介质的分界面上电巧强度的切向分量是连续的2025/6/116

2025/6/11 第二章 2.6 6 ❖ 如图所示：取一闭合回路C. E  h→0 应用静电场中的环量定理:   = c E dl 0   即 0 0 2 0 E1 l l − E l l =     则 E1t − E2t = 0 亦即 E1t = E2t （2-6-5） 物理意义:不同介质的分界面上电场 强度的切向分量是连续的. 电场强度 E 的边界条件：  h  1 2  E2  E2t E1 t  E1 n  1  2 0 s  0 l  l n (E1 − E2 ) = 0    也可记为

第二章　2.6b:用电位表示：a在紧靠分界面两侧处，任取两点a、b，其电位差为Uab =Φ-Φ, = [E.di-bdfaec2：E的线积分与路径无关。：E对于起于a并止于b的任意路径的积分，均可视为沿路径aecdfb的积分，如图：ab= cd =0b则E.di = {E.di + E.di = E2, -Ei, =0dfbaaec72025/6/11

2025/6/11 第二章 2.6 7 ❖ 用电位表示： a b  = − =  b a ab a b U E dl     ∵ E  的线积分与路径无关。 ∴ E  对于起于a并止于b的任意路径的积分，均可视为沿 路径aecdfb的积分，如图： 在紧靠分界面两侧处，任取两点a、b，其电位差为： 则     =  +  = − = dfb t t b a aec E dl E dl E dl E2 E1 0       a b c d e f 1 2 ab = cd 0

第二章　2.6分界面上电场方向的关系：中Ps=0设分界面上无自由电荷，则 Din=D2n → 8,E, cos, =&,E, cos0,Eit = E2t =→ E, sin , = E, sin 2tan 0.61(2-50)tan 0262物理意义： 只有当0和等于零时,分界面上的电汤方向才不改变。平行板、同轴线和同心球中的电场就是这神情况。82025/6/11

2025/6/11 第二章 2.6 8 分界面上电场方向的关系： 设分界面上无自由电荷， s = 0 则 1 2 1 1 2 2 2 D D  E cos  E cos n = n  1 = 1 2 1 1 2 2 E t = E t  E sin  = E sin  ∴ 2 1 2 1 tan tan     = （2-50） 物理意义：只有当 和 等于零时，分界面上的 电场方向才不改变。平行板、同轴线和同心球中 的电场就是这种情况。 1  2 

第二章2.6例：在大地与空气的分界面上，设土壤中的电场强度为1210V/M，电场与地面法线夹角是20°，如图。已知土壤的相对介电常数为6。求1．空气中电场强度与地面法线的夹角。2．空气中的电场强度值；3．空气中电位移矢量值：解：1、令空气为媒质1，大地为媒质2。E则 8 =% 62 = 680Ps =0由题意：60tan 0o.81E2tan 02822025/6/119

2025/6/11 第二章 2.6 9  20 例：在大地与空气的分界面上，设土壤中的电场强度为 1210V M ，电场与地面法线夹角是 ，如图。已 知土壤的相对介电常数为6。求 2． 空气中的电场强度值；3．空气中电位移矢量值； 1．空气中电场强度与地面法线的夹角。 6 0  0  E1  E2  解：1．令空气为媒质1，大地为媒质2。 则  1 =  0 2 6 0  =  2 1 2 1 tan tan     = 由题意： s = 0

第二章2.6tan20°tan6tan0, 662方向故 =3°28'2又：E, = E2t→ E, sin = E, sin ,Dsin 0,H= 6840V/msin 0,666.3 D =6E, = 6.0534×10-8 C/m2D.102025/6/11

2025/6/11 第二章 2.6 10  20 6 1 2 2 1 tan tan tan  1 =  =    1 = 3 28  故  1 1 2 2 又  E1t = E2t E sin = E sin E1 E 6840V m sin sin 2 2 1  = =   6 0   0 2 1  D2  D1  方向 8 2 D1 1 E1 6.0534 10 C m − =  =  2 ． 3 ．