《电磁场与电磁能》课程PPT教学课件（马冰然版）第二章 静电场 2.7 唯一性定理

第二章2.72.7唯一性定理我们希望在求解静电巧向题时,其解是唯一的,那亡,在什亡条件下,其解才是唯一?2025/6/11

2025/6/11 第二章 2.7 1 2.7 唯一性定理 我们希望在求解静电场问题 时,其解是唯一的,那么,在什么条 件下,其解才是唯一?

第二章2.7光边值问题1.给定边界上的电位函数,即已=f(s)知S为边界I上的点。(狄里克利边界条件)2给定边界上的电位函数的法向导数,即已知d1l=f(s）。（牛曼边界条件)On3.边界I=I+I，即已知I2apd = fi(s)f2(s)’Onlr22025/6/11（混合边界条件）

2025/6/11 第二章 2.7 2 边值问题: 1. 给定边界上的电位函数,即已   = f 1 (s) ， 知 S为边界 上的点。 2. 给定边界上的电位函数的法向导数,即已知 ( ) 2 f s n =     。 3. 边界  = 1 +2 ，即已知 ( ) , ( ) 1 2 2 1 f s n f s =   =     2 s  1  (狄里克利边界条件) （牛曼边界条件） （混合边界条件）

第二章2.7唯一性定理：在静电中，满足以上三类边值之一的泊松方程和拉书拉斯方程的解是唯一的。类边值问题兴唯一性定理的证明1. =f(s)采用反证法来证明解的唯一设在闭合面S内的体积V中，其电位函数满足拉普拉斯方程。ObV?Φ=08泊松方程拉普拉斯方程32025/6/11

2025/6/11 第二章 2.7 3 在静电场中，满足以上三类边值之一的 泊松方程和拉普拉斯方程的解是唯一的。 唯一性定理： 唯一性定理的证明： 1. ( ) 1 = f s   一类边值问题 采用反证法来证明解的唯一。 设在闭合面S内的体积V中，其电位函数 满足拉普拉斯方程。 0 2   =     = − 2 拉普拉斯方程 泊松方程

第二章2.7见书218面，由格林第一恒等式：对任意标量函数[(+.Vy)dVOn=则令[(?+V. V)dV = $OnS2025/6/11

2025/6/11 第二章 2.7 4 见书218面， 由格林第一恒等式：对任意标量函数  ds n dV V s      +  =  (   )  2 令  =  则 ds n dV V S      +  =  (   )  2

第二章2.7设在体积V 内，其满足边值叫 =f(s) 的拉普拉斯方程的解不是唯一的，有d 和 Φ两个解。即有 Φ, = 0?= 0* = fi(s)- f(s)令*=-即将 Φ*代入格林第一恒等式：即 [('Vg+o"Vp")dV=fo0"anS而 * =( -)= -, =052025/6/11

2025/6/11 第二章 2.7 5 设在体积V内，其满足边值 的拉普拉 斯方程的解不是唯一的，有 和 2 两个解。 ( ) 1 = f s   0 0 1 2 2   =   = 2 即有 令  = 1 −2  即 ( ) ( ) 1 2 = f s − f s   将   代入格林第一恒等式： 即 ds n dV V S      +   =        (    )  2 而 ( ) 0 2 2 1 2 1 2 2 2  =  − =  −        1 

第二章2f()'dv =f ds则1On■显示该图片，S = 2 = 又由边界条件有:* =l - ±0在曲面边界上，ad故[(Vg*)"dV =$g*ds = oans几S曲面内Vd*=0d* =C(常数)即S曲面上C=0=0b故在S曲面内,其解是唯二的。 Φ =p22025/6/11

2025/6/11 第二章 2.7 6 则      =    V S ds n dV    2 ( ) 又 ∵ 由边界条件有    1 =2 = ∴ 在  曲面边界上， = 1 − 2 = 0       故 ( ) 0 2 =    =      ds n dV V S    即  = 0   = C(常数)   S曲面内 S曲面上 = 0   C = 0 故在S曲面内，其解是唯一的。 1 =2

第二章2.7类边值问题ap2.f2(s)On仍然采用反证法证明设有两个解满足拉氏方程ap2ad,ap则anlrOnOnTS曲面上即padap2anonanad*$$*则[(V*)dV=ds = 0anJSVS曲面内Vd*=0=Φ*=Cad*S曲面上:0n2025/6/117

2025/6/11 第二章 2.7 7 2 . ( ) 2 f s n =     二类边值问题 仍然采用反证法证明.设有两个解满足拉氏方程. 则      =   =   n n n 1 2  即 0 1 2 =   −   =       n n n    S曲面上 则 ( ) = 0    =      ds n dV V S    S曲面内  =  = C    0  S曲面上 = 0    n 

第二章2.7当血和虫选择相同的参考点时， C= Od=中一解唯一三类边界问题ap3. lr = fi(s)= f2(s)Onlr2将格林第一恒等到式的积分曲面写成 I=I+I2 然后进行证明同样可得出结论，其解唯一D82025/6/11

2025/6/11 第二章 2.7 8 当 和 选择相同的参考点时, 1 2 C = 0 1 =2  解唯一. 3. ( ) ( ) 1 2 2 1 f s n f s =   =     三类边界问题 将格林第一恒等到式的积分曲面写成  = 1 +2 ， 然后进行证明.同样可得出结论,其解唯一