《电磁场与电磁能》课程教学课件（MIT，[美]H·A·豪斯J·R·梅尔彻，中译本）第2章 自由空间中的麦克斯韦微分定律

第2章自由空间中的麦克斯韦微分定律2.0引麦克斯韦积分定律包括了电路定律。从场到路的转移是通过使相应的体，面和周线与电极，导线和端口相联系而完成的。在第1章中以非正式的方式开始，随着以后几章的展开，积分定律将得到正式应用并受到检验。确实，积分定律的许多实验起源于包含电极导线等等的实验中。值得注意的事实是积分定律适用于体积与闭合面或曲面与闭合周线的任何组合，而不论与电路是否有关联。这一点已隐含在第1章应用积分定律来推导场的分布中。虽然积分定律可以用来确定高度对称图形的场，它们一般不适用于实际问题分析。其理由超出了实际系统的几何复杂性。源的分布一般是不知道的，即使当材料被理想化为绝缘体和“完纯”导体。在实际材料中，例如那些具有有限电导率的材料，场与源的自相一致的相互作用必须描述。因为积分定律适用于任意体积、表面与周线，它们也包含着适用于空间每一点的微分定律。本章中导出的微分定律为预计场提供更广阔的应川基础。同预料的一样，点的关系一定涉及该点附近存关场的形状的信息。因此，通过引入场对于空间坐标偏导数的办法把积分定律转换成点的关系。本章的计划是首先用一种类型的积分来写出各个积分定律。例如，在高斯定律的情况下，把面积分转换成对该面所包围的体积V的积分J,div(eE)d= f,E-da(1)这里div(e.E)是E的空间导数的一些组合，将在下节中确定。借助于现在接受的这个数学定理，高斯积分定律式(1.3.1)可以用体积分写成div(eE)dys(2)pdt通过使此表达式中的被积函数相等，就得到所期望的高斯定律的微分形式div(eoE)=p(3)如果两个积分相等，它们的被积函数也相等是正确的吗？般说来，答案是否定的，例如，如果被从0到1积分，其结果与2a/3在相的间隔内积分的结果相同。然而，对于每一个值，很少有等于21/3的。这是因为体积V是任意的我们才能使式(1)中的被积函数相等。对于一维积分，这等价于有任意的端点。当体积是任意的（端点足任意的)时，如果被积函数相等的话，积分只能相等式(1）左边的三维体积分与右边的二维面积分的相等类似于一维积分等于在积分端点计算.33

的函数值的情况。这就是说，假如算子der以这样一种方式对f(r)运算，使(" der(f)da=f(a)-f(r)(4)在，与2间的“体积”间隔内左边的积分通过此“定理”简化为在“面”上的计算，那里一，与3确定式(4）中算子der的步骤类似于在2.1与2.4节中分别用来导出散度与旋度算子的步骤，要计算der的点，取在积分间隔的中间，如fx图2.0.1。然后把间隔取成增量(=2—），且f(x对丁小的△,式(4)变成（x[der(f)=f(a2) f(r)(5)由此得出图 2. 0. 在端点r1 2 间定义的 的一般脑数[(+))-(r-222(6)der=103因此，如我们本来已知的，der是于对的导数。2.1与2.4两节中度与旋度算予的推导的副产品是在2.2与2.5节中将分别导出的高斯积分定理与斯托克斯积分定理。定理是数学关系且必须把它与物理定律区别开来，后者在物理变量之间建立物理关系。微分定律，连同是本章要点的算子和定理，总结在2.8节中和本书的求尾。2. 1 散度算子如果高斯积分定理式(1.3.1)在用体积分代替面积分的情况下写出，则必须找出一个算子，使待J,divAdv=f,A-da(1)为了求出这一散度算子div,把式(1)应用干增最体积AV。因为体积很小，左边的体积分可以看茅排五成是被积函数与体积的乘积。这样，矢量A的散度用面积分的极限来定义divA= lim Vd,A.da(2)n2. da>6731经计算，它就是r的函数。也就是说，在极限情d况下，体积以面上所有的点都趋近于点这样—(xy2)种方式缩小到零。如果此条件能满足，体元的实际形状可以是任意的-在笛卡儿坐标系中，种方便的增量体积是—-中心在(,,z)的直角平行六面体AAgz,如图 2. 1.1 确定敏度算子用的增盘体积元。图2.1.1所示。考虑△xAgz>0处的极限，式(2)的右边可用.34

$Ada[4(+)(a)+z[4(+)-4(s-))(3)+[4(c0,2+)-4(,,-)]来证似。当上式与AVAyz--起用来计算式(2)时，[A(A()divA=lm[A,(r,y+,)-A(,,)](1)+[ ()()Az由此得出在笛卡儿坐标系中，散度算子是dvA-4+ 84-04(5) 22这一结果提供了另一种表示法。定义del筑子为V+i-s(6) 这样式（5)可以写成divA--A(7)div记号使人联想到这个导数的组合描述所计算点附近A的流出量。定义式(2)是与坐标系的选择无关的。另一方面，del 记号提示在笛卡儿坐标系中的运算方法。这两种方式我们都果用，在笛卡儿坐标系中写方程时用del标记，但任课文中用散度的名称，习题2.1.4和2.1.6分别引出在圆柱坐标系和球坐标系中的散度算子（总绍正本书末尾的表1中)，并Ⅱ为导出一般定义式(2)，与特定的表示法之间的联系提供机会。第上五2.2高斯积分定理:使式(2.1.1)成立所要求的算子已用考虑增缺休元的办法确定。但对于有限尺寸的体积，此关系是否仍成立！由曲面S包的体积可以被细分成微分单元，如图2.2.1所示。每一个单元有它自己的表，第；个单元由面S，包围。我们现在证明欠量A在面S上的面积分等于在每一个面S：1的面积分的总和·35:

V.dada.BladeiLdcdouda.(6)图 2.2.1(a)在用裁面表示的体积V中,三个相互垂直的满片确定一增最体积。(b)有公共面的相邻体元。f, A da-[], A.da](1)肯先注意到相邻体元之间的两个面的面法线是反方间的，而对于这两个面，矢量A有相同的值。因此，如图2.2.1中所说明的，在S内部穿过分隔两个体元的面的通量相互抵消。对式(1)求和中没有抵消而有贡献的仅是穿过那些没有将一个体元与另一个分隔开的面，即位于S上的那些面的通量。但是因为这些面共同组成S，就得出式(1)。最后，将右边重写，式(1)成为2 la, Ada ay,f,A.da-(2) AV.式中AV：是第：个元的体积。因为这些体元是微分的，式(2）右边括号中的量可以用敏度算子的定义,式(2.1.2)表示f,A-da= Z(V-A),AV,(3)用对体积的积分替代对微分体元的求和，就得到高斯积分定理f,A.da= J,v-Ado(4)例 2. 2. 1 一—维的定理如果失量 A 是一维的,这样A-f(a)i.5体积√在我，和两平面之间，并在此二平面之间的任一一平面上有单位截面积，对此体积的积分，高逝积分定理会表明什么？体积V和面8示于图2.2.2。因为A是方向的，仪有的贡献来自右表面和左表面。它们分别有da=idydz和 da=—idydz。因此，代人式(4)衍到熟悉的形式印2两乎面之间的体积，它在！一！平通中有单位面积·36

f(a) -f(c):(6)它使人想起在引言中讨论过的一维类比。商斯定理把函数的导数与积分之间存在的关系扩展到三维2.3高斯定律、磁通连续性与电荷守恒在表1.8.1中总结的五个积分定律中，有三个涉及在闭合两上的积分。通过高斯定理式(2.2.4)，每个面积分现在都可用体积分表示。因为休积是任意的，被积函数必须相等，从而得到微分定律。高斯定律的微分形式可从该表中的式(1.3.1)得出(1)V0E-p磁通连续性的微分形式可从式(1.7.1）得出(2)VμO在积分的电衔守恒定律式(1.5.2)中，有-时间导数。因为我们所考虑的积分的儿何形状是固定的，时间导数可以放进积分号的里而，即空问积分可以在取了时间导数之后进行。但是因为不仅是t的函数，而也是(,9,2)的函数，求时间导数时要保持(,9,2)不变。于是，微分形式的电荷守恒定律用时间偏导数来陈述.J+--0(3)这三个微分定律总结在表2.8.1中。2.4旋度算子如果安培积分定律和法拉第积分定律式(1.4.1)和(1.6.1)用同一种类型的积分来写山，必须有-算子使得周线积分转换成面积分。这个算子称为璇度curlJcurlA.da-f,A.ds(1)柴+五通过使表陋成为增景面Aa的办法来确定这个算子。在要计算算子的特定点处，选择n方向并通过点r构筑一垂直Fn的平面。在此平面中，选择－环绕r的周线C，它包围增景面积Aa.由式(1)得出4(curlA).Hn f。A.ds(2)周线C的形状是任意的，只是在Aa→0的极限情况下，它的所有的点被假定为趋近于在研究中的点r.，这样-个有单位法线n的任息的面元在图2.4.1a中说明。由式(2）给出的旋度算子的定义与坐标系无关。. 37

周线：图2.4线：（b）笛卡儿坐系中用于为了在笛卡儿坐标系中表示式（2)，考虑示于图2.4.1b中的增量面。Aa的中心在要计算该处算子的点（z，3，2)处，调线山任±Ag/2和2士z/2处的直线段组成。对于取4y和z的一阶,得式(2)的n=分量是(cu)[4()()]14(a,9,2+)-A(,9,z-),g ?(3)这电前两项表示沿着垂直线段的积分，先在十之方向，然后在一之方向。注意在第二条边上的积分产生一负号,因为在那里A与ds的方向相反。在极限情况下，(3)式变成(cunlA),--(4)同样的步骤应用于法线在9和方向的元面积，产生旋度算子的三个“分量”culA-(o-2)i+(--) +(-)i.(5)事灾上，我们在计算式（2）时可以选择在任意方向有单位法线n的面。由于（5）式是一个量，它与n的点积必须给出与用式(2）直按计算得到的相同的结果。在附录2中这被证明是正确的由式(2.1.6)定义的del算子叉乘A的结果是旋度算了。这就是旋度算子的另一种标记的理由，curlA=VxA(6)这样，在笛卡儿坐标系中1XA=3/02/3g 3/0元(7)在习题中给出在圆柱坐标系与球坐标系中导出有相似形式的表达式的机会。其结果总结在本书未尼的表「中。.3

2.5斯托克斯积分定理在2.4节中，curlA被确认为矢最函数，它在面SL的积分能够简化成A在闭合周线C上的积分。这是通过把式(2.4.1）应用于增量面上来进行的。但是对于有限尺寸和任意形状的S和C，这一关系是否仍成立！第个周线内正力间推广到任意表面是从把面S细分成微分面元.1开始的，每一面元由周线C包用，如图2.5.1中td3所示，每一个微分周线的绕行方向与原来的周线的正方向一致。我们现在来证明图2.5.f.A.ds-Zf.A.ds(1)理元，每一个由与C有相同方向的周线包图。式中求和是对界定出而S细分而成的面元的所有周线进行的。因为对相邻的面元计算时线段沿着相反的方向，因此在式(1)的求和中，对分隔两个相邻面元周线的那些线段的线分加起来为零，只保留那些与原来的周线和重合的线段的线积分，从而式(1)得证。然后，把式(1)写成稍微不团的形式fA.ds-2/f.A.dsla(2)1--d我们现在可以求助于旋度的垂直于面元方向分量的定义式(2.4.2)，并用积分代替求和f,A.ds-1,(curiA),da(3)此表达式的另一种写法是利月旋度的欠趾特性与失量面元的定义,da-nda:(4)f。A.ds=J,vxA.da这就是斯托克斯积分定理。如果一矢量函数可以写成矢量A的旋度，则该陋数在面S上的识分可以简化为A在闭合周线C上的积分。2.6安培微分定律与法拉第微分定律借助于斯托克斯定理，现在可把安培积分定律式(1.4.1)表示成I.vxH.da=( J.da+leE.da0即根据式(2.5.4)，把式(1.4.1)中的周线积分用面积分代替。对时间而言，S面是固定的，所以式(1)中的时间导数可以放到积分号里面。因为S也是任意的,式(1)中的被积函数必须相等[xH-J+2gE(2) · 39

这就是安培定律的微分形式。在被称为位移电流密度的最后一项中，采用了时间偏导数，这是为了明确在求时问导数时计算此式的位置(t,",2)保持固定。在1.5节中，我们看到安培定律与高斯定律的积分形式相结合给出了电荷守恒定律的积分形式。因此，我们应能预料到这些定律的微分形式也能结合以给出微分的电荷守拒定律。要看出这点,我们需要恒等式 V·(V×A)=0(习题2.4. 5)。因此，式(2)的做度给出(3)0=V·J+%(V6E)在最后一项中对时问求导与对空间求导已相互交换。由高斯微分定律式(2.3.1)，时间导数是对电荷密度的，所以式(3)变成电守恒的微分形式式(2.3.3)。注意我们对定律间的相丘关系采取了微分观点，它与1.5节的积分推导过程是平行的。最后，斯托克斯定理把法拉第积分定律式(1.6.1)转换成只对S积分，由此得出法拉第定律的微分形式是VXE=-3uoH(4)自由空间中麦克斯韦方程组的微分形式总结在表2.8.1中。2.7场的形象化以及散度和旋度三维矢量场 A(r)可用三个分量来表示，它们各自是位置的函数。绘出一个三维标趾函数的曲线是十分困难的；而要绘出三条曲线则更加困难，因而对于形象化目的是不大有用的。场线是摧绘场的分布的一种方式。通过一特定点r的场线用下述方法来绘制：在点r处，矢量场有一特定的方间。从点在失晨A(r)的方向前进一微分距离dr.在新点r+dr处，矢量有新方向A(rdr)。沿着此新方向（有微分的差异）前进微分距离dr到一新Ar)A(r+dr点，等等，如图2.7.1所示。根据这样的过程可措划出场线。在任一点上场线的切线络出欠量场场线arA(r)在该点的方向。A(r）的量值也可以用场线以稍微粗略的方式表示。通常是使在点r处垂直于场线的面元图2.7.1场线的给制。上穿过的场线数目正比于在该点A(r)的量值。场可以用一些线段在三维中表示。如果场没有散度，称为无散场。如果它没有旋度，称为无旋场。对无散场和无旋场的概念化是特别重要的。在下面的例子中我们将计论无旋场的性质，而在第4章中变得特别适合它们的分布。现在考意无散场的“线模型”图。选出一个曲面，它的侧面为由相邻场线的连续体形成的线“管”，如图2.7.2所示，而端面横跨在管的两端。由于无散场不能有净通民穿出此管，于是通过一个端面进人此管的场线数一定等于通过另端面离开管子的场线数。因为管子是任意挑选的，我们可得出结论，无散场是用连.40

图2.7.2无散场场线形成的因部激载脱无始滑：也汇终续的线表示的；在无散区城内场线并不会产生或消失。下面的例子将逐步展开对丁与救度和旋度有关联的场线性质的鉴别。例 2.7.1有散度但无旋度的场（无施的但非无散的球形区城R10:达当然与原先推导中所用的电荷分布相符。这个练习用来强竭微分定律在整个区域内是逐点作用的。场线可以簡略画出如图2.7.3。电荷密度的大小用+（或一)符号的密度表示。在图中何处场有散度：因为电荷密度已经插绘出，我们已经知道这个问题的答案。只有存在电荷密度处场大有散度。。因此，在外部区域，虽然随着半径的增人场线变稀疏，但此区域中的任何给定点的场都没有散度。区域中的情况可用穿过由体积V确定的“管”的E通量来代表。场确实随着半径而减小，但是管了的截面积增大，以致完全补偿并维持净通量恒定。在内部区域，可考虑一个具有管子形状，其侧面平行于径向场的体积元，即体积V。在管子的龄小截面积处场强最小，从这这一事实看，显然场不是无散的。那里一定有净向外的通量，这是包围有净电荷的证据。场线起源于体积内部被包围的电荷。图2.7.3中的场线是无旋的吗1在球坐标系中，旋度是场是无胶的92.73球内有放度。面元S，和S，与斯托克斯定理一起使用，以证期为什么场是到处无旋的.41

x% (in)-]+[%-+)](4)+%(E)-+%]把式(1)代人就可得出无论是里面或者外面都没有旋度。对包围面积Aα(它的法向在任个坐标方向)的周线计算 E 的环虽，就可以证实此结果。[记住旋度的定2.7.3中包用面8.和8.的周线就是例子。C"和C*段的贡献等下零，因为它们垂直于E，而(因为E与和无)来自一个C"段的贡献与来自另个C"段的贡献抵消例 2. 1. 2 有旋度促无散度的场(无散的但非无施的)非径为R的导线载有随半径线性增大的辅向电流密度。在例1.4.1中应用了安培积分定律表明有关的残场强度定(T/R;R这一场何处有旋度？答案可根据忽路位移电流情况下的安培定律式（2.6.2）得出。旋度是电流密度，从而限于<R区域，在那里它趋向于集中在边缘。在圆柱坐标系中，旋定的计算给出与预籽相符合的结果()+()+((a)-1)6-o(r/R)i; P<R电流密度与磁场强度的略图画于图2.7.4中。按照“线"表示法，场线的间隔表示它们的强度。类似的惯例适用于电流密度。当看到“端头向前”时，即朝向纸外的电流密度用①表示，而表示欠量是朝向纸内的。这是将欠量想象成一支豁的示意，这两个符号分别表示箭的尖端和羽毛。外部区喊，方位角方向的场是否能随r（方向垂直了）变化，并且仍然没有旋变图2.7.1中H环绕线 C,的积分将证明为仆么是能够的。周线C安排成使ds垂直于H，所以那里H.ds=0，C和C段J1:的积分抵消，因为线段长度的差别正好为场随半径减小所补偿。任内部区域，类似的积分肯定给出有限的结果。在周线C。上，外面的边上场较大，那里周线也较长，所以证然旋度一定是有限的。当然这个场的形状仅仅反映有电流密度的情况。么场在任何地方都部设7274无龄园外场是无族的，但其内部有数度S台新邦克斯家用证国42