《电磁场与电磁能》课程教学课件（MIT，[美]H·A·豪斯J·R·梅尔彻，中译本）第3章 准静电学与准静磁学导言

第3章准静电学与准静磁学导言3.0引言由麦克斯韦方程组表示的定律是高度概括的。然而，它们在形式上是简单的。写成微分形式，它们是VxE=-!(1)atVH J+E(2)at(3).E-p(4)VuoH--o电场强度E和磁场强度H的源是电荷密度P和电流密度J.如果作初始瞬间，整个无源空间中电场和磁场是确定的，则微分形式的麦克斯方程组可预测这些场随后在空间和附间的发展。这个断言的证明是3.1节中我们的出发点。这使得认为场的物理意义是由于它本身造成的说法很自然。场能够存在于远离它们的源的区域，因为它们能作为电磁波传播。对这种波的介绍在3.1节中给出。可以证明，由法拉第定律中的电磁感应即式(1)中右边的项，和安培定律中的位移电流密度即式(2)中右边的时间导数项所引起的E和H间的耦介产型电磁波虽然没有源场也能够传播，但在它们被引发或被检测出的地方，一定与它们的源或汇有关。要这样做，必须利用洛仑兹力定律。在3.1节中，此定律用来完善牛顿定律并描述电荷分布的演一股说来，济仑弦力定律并不象它在此例中那样直接起作用；然而，它通常作为传导的构成变定律的基础，构成定律加到麦克斯书方程组使场与源相联系。最常用的构成定律足欧姆定律，它要到第7章才介绍。然而，在此以前的几章中我们往往把电极和导线模拟成完纯导电的，这是任这样的意义上，即洛仑兹定律所导致的电荷运动只是对材料中实际上不存在电场鼎度的方式下而言的。变克斯韦方程组描述最错综复杂的电磁波现象。当然，这种场的分析是困难的，并且不·一定总是必要的。在短的时间尺度或在高频时发生的波现象，这里往往不予关心。如果是这种情况，场可以通过应用于相对长的时间尺度和低频时的麦克斯韦方程组的简化形式来描述（准静态学)。3.2节的目的是确定两种准静态近似法，并且在这些近似法中按重要性的次序来排列定律。在3.3节中，我们找出如果这些准静态近似法中的任何一个被证明是正确的，一个必须满足的典型条件足什么。这样，如果电能波能在比所关心的时间更短的时间内通过系统的典型范围，49

我们会发现由完纯导体和自由空间组成的系统，或者是电准静态的（EQS），或者是础准志的(MQS),如果同样的条件都满足，证明EQS或MQS近似法都是正确的，我们您样知道该眉哪个！在3.3节中我们将开始在这方面形成见解。准静态近似法的正式证明可用被称之为时间变率展开式作为基础。随着时间变化率的增长级数中要求有更多的项。此级数的第一项用适当的准静态定律预计。在3.3节中，用一个具体的例子来说明这个展开式，以及由于省略了高阶项而引起的误差。无论它们是电磁的，或者也许是热的或机械的，好象是静态似地从一种状态进行到另一种状态的动态系统，通常都被认为是准静态性质的。在本书中，准静态场确实与它们的源有关，好象它们是真正静态的。这就是说，给定电荷分布或电流分布，就能确定E或H，而不需考虑电磁学的动力学。但是其他动态过程在确定源的分布时能够起作用在本章中我们准备考虑的系统由自由空间与完纯导体组成，在给定的准静态子区域内准静态的源分布与时间变化率无关。于是我们将发现几何形状和空间与时间尺度能单独确定子区域是微准静态的或电准静态的。3.4节中说明的是这种子系统的相互联系。根据电路理论已熟悉的方法，总系统所得到的模型在子区域中有按比例分配的源（EQS区内为电荷，而MQS区内为电流)，它们与时间变化率有关。在第7和10章中我们考虑了有限电导率的作用之后，存在许多用准静态模型表示动态过程的其他情况就很清楚3.5节再一一次提供概述，这次不是关于定律的，而是与它们有关的物质世界方面的。讨论是定性的，并且此节是供浏览用的。最后，3.6节小结电准静态的和磁准静态的场定律，它们分别是第4—7章和第8—10章的主题。在第12章中我们回到准静态近似法的论题，在那里再次考虑电磁波。在第15章中我们将会认识在第7和10章中传播的准静态学的概念（挪里考虑了损耗现象）使得归类于电静态的和磁准静态的区域不仅取决于几何形状和空间与时间尺度，而且也取决于材料的性质。3.1E由麦克斯韦、洛仑兹和牛顿定律所文配的世界的时间演变如果给定某些初始条件，麦克斯韦方程组与洛仑兹定律和牛顿定律·起淄述E和H的时间溃变。这可以通过把时间导数和电荷密度放在左边的麦克斯韦方程组，(1)一（4)式来证明。aH--k(×E)(1)at-2-1(0H-)(2)p=VoE(3)O-H(1)所关心的区域是真空，在那里具有质址m和电荷的粒子只受到洛仑滋力。因此，作顿定律(这里使用的是它的非相对论性的形式)也写成（粒子速度的)时间导数在左边，使电荷分布与场:50

联系起来(5)mde-g(E +xμH)右边的洛仑兹力是由式(1.1.1)给出的。假定在一特定瞬间 t=to,我们已知所关心的整个空间的场 E(r,to）和 H(r,to)。般定我们还知道当=t。时所有电街的速度(r,t)。则从高斯定律式(3)可得，在此同-一瞬间，电荷密度的分布是已知的(6)p(r, to) -y-eE(r,to)因此可得在时间t=t。时的电流密度为(7)J(r, to) =p(r,to)v(r, to)为了当t=t。时式(4)被满足，我们必须要求给定的H分布是无散的。旋度运算只和空间导数有关，所以剩下的定律，式(1)、(2)和(5)的有边现在可以计算。因此，当1=t。时已知的量 E，H 和的时间变化率现在就知道了。这使我们能够计算在稍后的解间，当t=t。+t时的这些量。例如,在此稍后的时刻,(8)这样在整个空间，当t=t。+4t时我们着手研究相同的三个关量函数。这个过程可以重复进行以决定在以后任意时刻的分布。注意如果根据式(4)的要求,H的初始分布是无散的，所有以后的分布也将是无散的。这可以出取法拉第定律式(1)的散度,并注意到旋度的散度为零得出。因为要求表示出随者一给定粒子运动的观察者所测得的时间导数，式(5)的左边写成全导数的形式。上面的论证表明，在自由空间，对于已知的初始E、H和,洛仑兹定律(这里和牛顿定律-起使用)和麦克斯书方程组将决定所有以后时刻的电荷分布以及相关的场。，在这个意义，麦克斯韦方程组和洛仑兹定律可以被认为对自由空问中电动力学的相互作用提供了完整的描述。通.常，包含有不止一类电荷，并日带电粒子以比简单地用牛顿定律和洛仑兹定律所表示的更为复杂的方式对场响应。在那种情况下,式(5)所起的作用由传导构成定律取代,但它仍然反映洛仑兹力共仓定律从前面的讨论中显露出麦克斯韦方程组的另一个有趣的性质。电场与磁场是耦合的。E的时间演变,部分地决定于 H 的旋度式(2),并且类似地,是 E 的旋度决定了 H 随时间变化多快,见式(1)。例 3. 1. 1 电磁波的演变电磁感应与位移电流的相互作用可通过考感在笛卡儿坐标系中场从初始分布(9)E-Erie-rnH-Nolu,B,isena(10)的演变来说明。在此例中,我们令6。=0,所以这费是当t=0 时的场。图3.1.1,中所示的这些场是横向的，它们的方向垂直于它们与之有关的坐标。从而，它们两者都是无做的，并且高斯定律使得我们所考虑的物理情况:51 :

图3.1.1例3.1.1的E场和H场的简略表示一分布以光速·向右运动不包括电荷密度这一点显得清楚。由式(7)可知电流密度也是零。当给定初始场和 J=0 时,可以计算(1)和(2)两式的右边,以给出 H 和E的变化率xE--%-i(a1)xHa-(12)从法拉第定律式(11)衍出，当I=At时，H=iNe/μE,(e-rna'-cAtfe-na")(13)式中c=1/Veu，并且从安培定律式(12)，电场是E=Bi(e-a'-cAt -e*na)(14)当A时，,E场和H场等于原来的尚斯分布减去cAI乘以这些高斯分布的空间导数。但这些表示了原来的高斯分布在方向移动了cAt，证明这个关系确实适用于任何函数于(2)。f(2-A2) = (a) -%(15)在左边，(z-Az)是函数f(2)移动了4z。在右边的秦勤展开式取与1=AI时的场式(13)和(14)相同的式。于是，在时间A4内，E场和 H场的分布在十≥方向移动了cAt。此过程的重复表明丁示于图3.1.1中的场分布在十方向不改变形状以光速。传持=3×10°m/s(16)En注意，如果我们用任何其他的连续函数(z)代替初始的高斯函数，推导过程不会收变。回顾－下，应该认识到初始条件是预先考虑的，所以它们会导效单个波在十方向传播。此外，求解的方法确实不是数值的。如果我们对采取数值方法有兴题，必须注意避免误差的累积。上面的例子说明电磁波是由式（1）和(2）中左边的项电磁感应和位移电流的相互作用引起的。通过法拉第定律式(1),初始的 E的旋度意味着在稍后的时刻，初始的 H 变化了。类似地、安培定律要求初始的 H 的旋度导致 E的变化。同样，改变了的E 和H 的旋度分别意味行H和E的进一步变化。在本节中有两个主要论点。首先，用描述场与源的相互作用的定律扩大了的麦克斯韦方程组，能够充分描述电磁场的演变其次，在远离材料的区域，电磁场作为电磁波演变。典型地，场从一个区域传播到另一个区·52

域，慧如说经过距离L所需要的时间是(17)式中℃是光速。这些波的起源是分别由法拉第定律和安培定律得出的电磁感应和位移电流之间的耦合。如果这些项中的这一项或另一项被忽略，也就没有任何电磁波效应。3.2准静态定律从麦克斯韦方程组中忽略掉电磁感应或者位移电流，就获得准静态定律。电准静态磁准静态amH0VXE-4H(la) (1b)VXE-VxH-gE+J(2a)V×H-E+J~J(2b)eE-p(3a)(3b)V-eE-p(da) /VμoH=0VμoH-0(4b)由电磁感应和位移电流的耦合产生的电磁波在任一组准静态定律中因此就被忽路。在考虑支持这些近似定律的自变是的数量级之前,我们先判明它们不同的重要性顺序。在第 4 和 8 章中将要证明,如果一个矢量的旋度和散度是确定的,则该失量也是确定的。在EQS近似中，式(1a)要求E基本上是无旋，在MQS近似中，在式(2b)中忽路了位移电流，的。然后由式(3a)得出，如果电荷密度是已知同时式(4b)要求H是无傲的。因此，如果电流的,则E 的旋度和散度都是确定的。因此，高「密度是已知的，则 IH 的旋度和敏度都是已知斯定律和法拉第定律的EQS形式首先出现。的。从而安培定律的 MQS 形式和磁通连续性VeE-p(5a）条件首先出现。VXE=0(6a)VxH-J;V.J-0(5b-c)Vμ.H=0(6b)「由安培定律的近似形式陷含的是的连续性条件,由(5c)给出。在这些关系式中，没有时间导数。但这并不意味着源，从而场都不是时间的函数。但是给定某一瞬间的源，就可确定在间一瞬间的场，而与稍早瞬间场的源是什么无关。警喻地说，源分布的快照决定同一瞬间的场分布。“-股说来，场的源都是不知道的。相反，由于有使电荷运动的洛仑兹力定律，这些源是由场本身决定的。由于这个原因，场的时间变化率开始起作用。我们现在来引人保留有时间导数的方程。: 53:

因为对于电荷的 EQS运动，H往往不是关健「法拉第定律使得时变的H隐含着感应的电场这的，所以通过取式（2a）的散度将它从描述中一点变得清楚。-OpH消除。VXE--(7b)V.J+=0(7a）|在 MQS 近似中,电荷密度是一“剩余的”量，它在EQS近似中，H通常是一“剩余的”量。在任能够根据把高斯定律式(3b)应用于前面已确定何情况下，一经确定E和J，H能够通过解式的电场强度求得。(8b)(2a)和(4a)求得。V-E=pVxH-deE+J(8a) .H--0(9a)在EQS近似中，显然当E和J从“零阶"定律式(5a)一(7a)确定后，H的旋度和散度就知道了［式（8a)和(9a)]。因此，H可以用“事后”方式求得。也许不那么明显的是这一事实：在MQS近似中，E的散度和旋度不考虑p也能确定。E的旋度可根据法拉第定律式(7b)得出，而其散度往往由将传导构成定律和J的连续性条件式(5c)结合在一起来确定。准静态微分定律的总结在本意末的表3.6.1中。因为微分定律与积分定律的各项直接对应准静态积分定律如表3.6.2中所总结的。在什么条件下这些准静态近似法有效将在下节中考察。3.3场成为准静态的条件在考虑了许多案例研究后，将会得出对准静态近似的评价。证明一种或另一种近似是否正确的关键要看用准静态场来估计“误差”场的结果，然后希望发现它比原来的准静态场要小得多。为了描述物理世界的某些部分，在提出任何数学“理论"时，总要取近似。基于这个“理论”所作出的结论确实与由于无知或疏忽而引起的隐含的近似有关。但是在形成准静态近似法时，我们幸运地有可用的“正确的"定律。它们总是能够用来检验初步的近似法的有效性。假如所关心的系统的尺寸彼此相差在两倍左右以内，自变量的数量级容易地说明误差场怎样与准静态场有关。示于图3.3.1的例子不必仔细考虑，而应看成是原型。在图(a)中EQS近似法的原型由彼此绝缘的金属球组成，并且由电动势源驱动。在图(b)的情况中，它是为MQS近似法提出的，电流源驱动环绕一匝回路的电流。如果一个球的直径在两球间隔的两倍左右以内，并且如果形成回路的导体的直径在回路直径的相似倍数以内，则这些尺寸有“相同的数量级"。图3.3.1包括了一个典型长度的原型系统。(a)EQS系统，其中电动势源驱动一对半径和间附大约为L的完纯导电球。(b）MQS系统由完纯导电回路组成，由电流谦驱动。回路的半径和它的横截面的直径大约为L。 54:

如果把系统设想成由“完纯导体”和“完纯绝缘体”构成，判定一个准静态场应该被分类成EQS还是MQS,可以凭简单的经验方法作出：降低激励源的时间变化率（频率)，使得场变成静态的。在此极限情况下，如果磁场消失，则场是EQS；如果电场消失，场就是MQS实际上，材料不是“完纯的”，既不是完纯导体，也不是完纯绝缘体。所以，这个规则的有用性取决于了解在什么情况下材料会表现得象“完纯”导体和绝缘体。幸亏自然界向我们提供的金属是特别好的导体，而提供的气体，液体与固体足非常好的绝缘体，以致这个规则是一个良好的直觉的出发点。第7、10 和 15 章将提出怎样对准静态系统分类的更为成熟的见解。现在把准静态定律按式(3.2.5)一(3.2.9)总结的次序来估计场的大小。在只有一个典型的长度范围L的情况下，我们能够对空间导数取近似，用1/L来等于旋度与散度算子。磁准静态电准静态这样，从高斯定律式(3.2.5a)可得出E和p的这样，从安培定律式(3.2. 5b)可得出H和J的典型值的关系为典型值的关系为E=E--J>H=JL(1b)(1a)如同迄今所用的积分形式的定律所提出的，这些场与它们的源示意于图3.3.1.EQS定律将预示E线起源于一个电极上的正电荷而终止于另一个电极上的负电荷。MQS定律将预示H线绕环行电流而闭合。如果激励在时间上是按正弦变化的，对于正弦稳态响应，特性时间就是角频率α的倒数。在任何情况下,如果激励是时变的,且具有特性时间,则时变的电荷意味着电流，而它又感应H，我们」时变的电流意味着是时变的。根据法拉第定能够根据电荷守恒式(3.2.7a)计算导体中的电律式(3.2.7b)，所得结果是感应的E。磁场强流,但是因为对所感应的H感兴趣，,我们利用安度用J替换，在此式中应用了式(1b)。培定律式(3,2.8a)，求自由空间区域的值。电场强度用电荷密度替换，并在此式中应用了式(1a).1--E-toH(2a)(2b)H-EL_LpE-LHLHOJL忽略了电磁感应和位移电流项，在相应的 EQS 和MQS定律中会发生多大误老t 55

再准静态磁场感应的电场可旧根据式(2a)得到！由位移电流感应的燃场表示误差场。它可以根的H场估算，以估计法拉第定律中感应项的货，据安培定律估算，旧式(2b)来计算式(3.2.2b)献。即式(3.2.1a)中原来被忽略的项现任被估，中原来被忽略的位移电流。计，并由此计算误差场的旋度。Ho-ouar-tor(3b)(3a)Ber-HoplHer-oMoL出此式与式（1a）可得出误差场对准静态场之然后由此式与式(1b)可得出误差场对准静态场比为之比为a-sgf-sf(4a)(4b)为了证实近似法是正确的，这些误奈场必须比准静态场小得多。注慈，无论是用来表示EQS系统的式（1a)，还是用来表示MQS系统的式(4b)，关于空间尺度L和时间（也许频率的倒数）的条件是和同的。EQS和MQS近似法两者都是基于有足够慢的时间变化（低频率）和足够小的尺寸，以致Heo<T(3)式中c=1/Vee：比值L/c是电磁波以速度c传播经过表征系统的长度L所需要的时间。因此，如果电磁波能够在比所关心的时间要短的时闻内传播经过系统的特性长度，任何一种准静态近似法都是有效的。如果为了证明准静态近似法正确所必须满足的条件是相同的，我们又怎样知道应该用哪-一个近似法?对于用自由空间和完纯导体模拟的系统例如这里我们曾经考虑的，答案来自对于场保持在静止的极限情况下（无限大的或零频率0)的图3.3.2没有电阻的平行平面电极，在它们的外过缘用分布的电动势源驱动。考息。要重述早些时候表达过的规则，考虑示干图3.3.1a中的一对球。用恒定电动势源激励它们被充电，电荷产生电场。但在此静止的概限情况下，没有电流，因而没有磁场。因此，静态系统由电场控制，将它表示成EQS就很自然的了，即使激励是时变的用直流源激励，图3.3.1b中的环行电流产生磁场，但是没有电荷和伴随的电场。这次当激励是时变的附，用MQS近似法就很白然。例 3. 3. 1 由电准静态近似法引人的误差的估计考虑由一组理想电动势源供电的简单结构，如图3.3.2所示。两圆形金属盘，半经为b，间阳为4。分布的电动势发生器联接在两盐的边缘问，使整个系统，盘和源是国柱对称的。根据对以后几章中我们将要考察物理过程基础的理解，现在假设，由于盘是高度导电的，E必然垂直于它们的表面。.56

电准静态场定律用式(3.2.5a)相(3.2.Ga)表示。两就之间电场的简单解是E-fi=bi式中电动势e的符号规定如图3.3.2中所示。式(6)的场在两盘之间的区威中满足式(3.2.5a)和(3.2.6a)，因为它既是无旋的又是无散的（假定在盘间区威内不存在电荷）。此外，场没有与盘相切的分量，这与盘没有电阻的假定一致。最后,高期跃变条件式(1.3.17)可以用来求上、下盘的表面电。因为在上盘之上和下盘之下的场假定为零，上盘底部和下盘顶部的酉电荷密度光-coBo; 2=d0E（2=0)(7)s-E-0)=E12=0剩下的是在分布的电动势源附近电场是怎样受约求的问题。这里我们假定这些源以这样一种方式连接，使得在盘的外边缘场恰好是均匀的。这样，它和在盘间整个区域场是均匀的相符合。注意盘上的面电荷密度直到产b处也是均匀的。在这一点上,式(3.2.5a)和(3.2.6a)在盘上和盘间都是满足的。在 EQS 定律的次序中,电荷守恒龈着出现。 我们应用积分形式式(1. 5. 2),而不用微分形式式(3. 2. 7a)。体积V是一包围着下盘的圆形横截面的阅柱体，如图3.3.3所示。因为盘中的径向面电流密度与中无关，在包国面上 J.da 的积分等于圆周乘以 K，又因为面电荷密度是均句的。对体积的积分可通过表 i 积！乘以as求得。因此，K,2b+- , I.--%(8).2sd-K,Kr-tr=or=bb图3.3.4示于图3.3.2系统尚横裁面图 3.3. 3 显示出包含下素的体积和在盘的近缘处的表示出月于计算校正E场的面和周线径向面电流瘤度的图 3. 3, 2 的平行盘。。对于现高度对称的情况，积分形为了求出磁场，我们利用“次要的"EQS定律，式(3.2.8a)和n3.29式的安培定律式(1.4.1)是方便的。位移电流是方向的，面S取在盘问的自由空间区域并且有方向的法线f,Hds-f oE.ida(9)00结构和源的对称性提示 H一定与中无关。一半径为r、对准中心的圆形周线如图 3.3. 2 中所示，当：在 0<<d 的范围内时,得H2rrH= (10) 阅此，对下这个特定的形状，在自变品教最级方面我们接近于用式(20)表示的分析现在考感"较高阶"的场，准确地说,考您由于在EQS近似法中想脐「电磁感垃引起的误差。 当保留电磁感应时，法拉第定律的正确表述是式(3.2.1a)。医然准静态的H已确定，我们能够计算由它产生的E的旋度，F这励商度对称的结构，最好还是垃用积分定律。因为H是中方向的，要使所选择的随的法线在中方向，如图3.3.4所示。这样，法拉第积分定律式(1.6.1)变成faroHaidaE.ds(11)我们采用图8.3.4中所示的周线，非且假定出电磁感应引起的F5=无义。因为作盘上切向的E为零，对式(11)左边线积分的饿一旋献来自周线的垂直边。有边的面积分可应用式(10)计算。. 57

[E.o)-E.()Ja-ogg-dr dF(12) (or) d在外边缘的场被电动势源约束为E。，所以从式(12)得出对于这个近似范围电场是E,=Ea+op dF(n-b)(13)我们发现在1半b处的电场与边缘处的电场不同。差异有多大?这取决于电场的时间变化率。为了说明起见，假定电场随时间作正弦变化(14)E.(t)=Acosot这样，表征动态特性的时间是1/0。将此表达式引入(13)式，并将第二项称为“误荒场”，误着场与边缘场耶=b处的场的比是Borl-oo(o-)(15)如果对于两盘之间所有的",有0eb1(16)测与准静态场相比，误差场就可忽略。根据电磁波以速度c=1/V在一个周期2元/@内传播的距离定义的自由空间波长入，-: m/..(17)(16)式变成(18)n在自由究间中且题率为 1 MHz 时,波长是 800m。 因此,如果我们制造一个盘电容器,并且用 1 MHz 的频率激励，则只要盘的半径比300m小得多，谁静态定律就给出实际场的很好的近似。MQS系统的校正场可以用类似于上例的步骤求得。一旦磁场和电场用MQS定律确定，由位移电流引起的误差磁场就可求得3.4准静态系统①无论我们忽略电磁感应而采用EQS近似法，还是忽略位移电流而采用MQS近似法，与电磁波以速度传播经过系统的最大长度L所需要的时间tam相比较，所关心的时间必须比ren长得多Ton=Lt(1)图3.4.1中给出了这个要求的图解表示。对于一已知的特性时间(例如，已知频率的倒数)，虽然从式(1)着出，用准静态定律描述的区域尺寸是受限制的。系统往往能分成于区域，它们足够小，可以看成是准静态的，但是由于它们通过边界相互联接，所以它们的特性是动态的。在把元件看作是子区域的情况下，电路就是一个例子。在完纯导体和自由空间的物质世界中（我们目前限于这种情况），是导体的拓扑结构决定① 本节在稍微高级的永平上利用积分定律，超过了为下章作准备的需要。可以路去而不失连贯性。158