《电磁场与电磁能》课程教学课件（MIT，[美]H·A·豪斯J·R·梅尔彻，中译本）附录2 线积分与面积分以及旋度为矢量的证明

(31)A×(BxC)=(A'.C)B-(A'B)CI给出。现在，因为C,与B有相同的方向，(A"-B)C, - (A'.C,)B(32)与式(31)相加得(33)Ax(B×C)=A' (CI+C,)B- (A-B)(C_+G)现在注意到AC=A·C和A.B=A·B(根据A'是A在BC平面上的投影的定义得出)，双重又积就变成(34)A× (B×C)=(A-G)B-(A-B)C这个结果特别简便，因为它不包含任何特殊的标记或投影。本附录中求得的矢量恒等式总结在本书末尾的表 11I中。附录2线积分与面积分以及旋度为矢量的证明线积分考虑一连接点(a)和(b)的路径如图 A.2. 1所示。假设路径所处的空间中存在矢量场 A(r)。则A(r)的线积分由f'A.ds(1)确定。为了说明式(1)，把(a)和(b)之间的路径看作被细分为微分矢量段ds。在每一矢量段计算欠量A(r)并构成点积。于是线积分定义为在ds趋近于零的极限情况下这些点积的和。在一本身闭合的路径上的线积分用符号 A·ds 表示。进行线积分时，首先必须将积分简化为能够用积分学的规则进行计算的形式。这要借助于坐标系来完成。下面的例于说明这个过程。图A.2.1矢量场A沿碧具行微分长度图 A, 2. 2 形状为半径为 互的四分之一随d。在点(a)和(b)之间的线积分的图形。周的积分线，以及微分元d例2 1.1 线积分 给定两维久盘场(2)Azwi,+azyi,求沿着半径为 R的四分之一国周的线积分,如图 A,2. 2 所示。·552

采用雷卡儿坐标系,微分线段 ds 有分量 daz 和 dy。ds-idr+idy(3)现在和多不是独立的，而是出积分路径沿着由方程(4)2十=R所确定的圆这一事实所约束。对(4)式求微分得(5)22dz+29d2=0所以Ed(6)4这样，点积A·ds可以写成仅是变盘a的函数(7)A.ds-da+arydy-(zaz)ds当路径在医 A. 2. 2所示的意义上描述时,*从 R减小到零。 所以[Ad-),a-)x-()--(8)如果路径不能用解析困数表示,线积分的计算就变得困难。如巢一切别的办法都失败了,可以来用数值方法。面积分在包含指定(开或闭合)表面S的空间区域内，给定一矢量场A(r),A在S上的面积分的重要形式是J,A-da(9)矢量da的量值表示面元的微分面积，，而方向垂直于该面积。为了说明（9），把面S看作细分为i这些微分面元da。在每一面元上计算微分标量A·da，而面积分定义为在dα趋近于零的极限情况下在S上这些点积的和。面积分【,A·da也叫做失量A通过面S的“通盘”。计算面积分时，引入其中能够按照积分学的方法进行积分的坐标系。然后而积分变换成两个独立变盘的双重积分。这最好借助于一个特例来说明。例2. 2. 2面积分给定尖最场A-it(10)求面积分],A-da,其中8是半径为R的球面的八分之一,在球的第一个八分体上(0≤≤/2,0≤0≤n/2因为面位于球体上，所以景好在球验标系中进行积分。从笛卡儿坐标变换到球坐标，由式(A.1.3)回想坐标与、和中的关系(n)I=rsinGcosd以及从式(A.1.6)，单位失量，是(12)i,- sinbcosdi,+conbcospi-sindi因灼面元da是da -i,R"sinodeds(13)因此，面积分成为S, A.da-f" dof," dnsin'oo*·353·

8/(14)dosing-n矢盘A在闭合表面上的面积分用p,A.da(15)表示。还注意到对面积分我们用一个积分符号，即使如此，事实上，当根据坐标系实际计算码分谢，仍涉及两次积分。施度运算结果为矢量的证明定义[eurAI,=limA.ds(1)对点P处在考虑中的每个方向n赋以一标量[curlA]n。极限必须与周线C 的形状无关(只要当周线的面积a趋近于零的极限情况时，它所有的点趋近于点P)。确认curlA是一欠员还意味着这个极限与α的法线n的方向有周有的相关性。本附录的日的是证明式(1)确实满足这两个要录。我们将证明下列事实：1：在一位于由它的法向失量n确定的平面内的特定点(t,9,2)处，式(1)右边的量与周线的形状无关。（日前引人标记[curlA}只是作为右边表达式的一个方便的缩写。）2.如果[curlA】确实是失量[curlA]在n方向的分量，并且n是n方向的单位法线，则[curlA],[curlA]·(2)中[curlA是在点(a,9,2)处确定的矢量。(1）式的证明可根据这一事实得出，任何闭合周线积分可以从围绕大量的矩形周线C，的周线积分的叠加形成，如图A.2.3所示。所有的矩形有边As，An。如果容纳矩形的整个周线围 A, 2. 3 闭合周线积分分隔为大量图 A.2.4具有法线n的任意增量周线积分分解为包围具有笛的在矩形周线上的积分。卡儿坐标系方向法线的面的周线积分。是小的（α>0)，则围绕每一个矩形的周线积分与在原点处的周线C,的周线积分相差一项,大约为周线的线性尺寸 a乘以面积AEAn。这是正确的，如果从原点到周线上任一点的距离按量值的数量级而言不超过。"，并且在原点附近A是可微的情况下。我们有(3)AAfA.ds=A,S.A.ds+O(am)所以,+ 554

1f.A-ds-f.Ads-4AF.A.ds-NAANf..A-ds+O(am] (4)式中N是周线C被细分成矩形的数目。然而，N=a/（ASAn)，因此我们求得(5)mf.A.ds-mf.A.ds左边的表达式是原来的周线的，而右边的表达式是原点处的矩形周线的。由于任意形状的周线可以用适当安排许多矩形周线来构成，我们证明了只要式(3)成立，表达式limA·ds/a与周线的形状无关。我们认识到当计算[A-ds/a时周线的形状是任意的，现在转向证明(1)式确定矢量的分量我们移动周线所在的平面使其离开点P(2,9,2)一个微分量，如图A.2.4所示，这并不影响式(1)中所定义的LcurlA],的值。平面与通过P点的三个坐标平面的交线构成一个三角形。我们取这个三角形作为式(1)中的周线C。从图A.2.4得出，围绕在垂直于n的平面内的三角形周线的周线积分也可以写成三个积分的和，它们围绕的三个三角形周线在各自的坐标平面内。的确，每一个增加的线段在一个周线积分中经过它，在另一个中就反方向经过，所以在这些增加的线段上的积分在求和时就抵消了，于是我们有$ A-ds = $ Ads+$ A.ds+$ A-ds(6)式中每一个周线积分用取自垂直于周线平面的单位矢量的下标表示我们进一步注慈到在各个坐标平面中二个三角形的面积ax、是面积α在相应的坐标平面上的投影。(7)aa=ai-n(8)a,=ai,n(9)a,=ai,+n这样，通过用α去除式(6)，并利用(7)、(8)和(9)，我们有fdfdfd++f.A.dsi-n(10)现在，由于已经取周线围绕微分面元，在式(10)中已经意味着α-→0的极限。因此，我们有量+555

[curlAl,=liA.ds/a."但足式(10)是矢量在n方向的分量的定义：curlA-[curlA]i,+ EcurlAiu+[curiA,i,(12)因此，在空间每一点a，、定义欠虽curlA，它的r、和z分量如(1）式的极限表达式那样算是合理的。·556