《电磁场与电磁能》课程教学课件（MIT，[美]H·A·豪斯J·R·梅尔彻，中译本）第12章 电动力学场 重叠积分观点

电动力学场：重叠积分观点第12章12.0引言本章和以后各章涉及法拉第定律中的电磁感应鄂和安培定律中的位移电流aD/3的联合作用。因此，未作准静态近似的完整的麦克斯韦方程组就成为我们的出发点。按照第1章和第2章所介绍的次序，不过现在又包括了第6 和第9章中普遍化了的极化和磁化的概念，有(1)V (eE) =Pu-V-P(2) VH=J+(eE+P)VXE=-(H+M)(3)(4)V.(μoH) =-.(μM)人们可能要间，把在电准静态学和磁准静态学体系中所作的推广包括在完整的动态麦克斯韦方程组里是否合适?在后面是否还些说明？电场的高斯定律被修正为包括极化过程中积案的电荷。计算离开一个指定体积的电荷量可不变准静态的限制，所以式(1)适用于完全动态的情况。随后，安培定律为保持右端项的无散特征而作修正。但是在那一步中还涉及更多的东西。假设媒质作为一个整体是静止的，aP/at可以毫无疑问地被认为是随时间而变的与极化过程相关的电流密度。于是，式(2)是安培定律在静止的极化介质中的正确的推广。如果媒质以速度运动，×(P×)项必须到该式的右端1.2)。对于磁场，普遍化的高斯定律和法拉第定律可按类比的方式得到。如果媒质是运动的，而且被磁化，则一μoV×(M×)项应该加到式(3)的右端。后面我们将不考虑作这样运动的极化和磁化媒质。在整个这一章，我们所关心的是自由空间中的电磁场。如果在感兴趣的场域内充满了有明显的极化和(或)磁化的材料，则假定构成定律表示线性的和各向同性的材料(5)D=eE+P-E(6)B=μo(H+M)=μH且假定e和 在整个场域内都是均匀的①。在线性各向同性的媒质内，麦克斯韦方程组可写成比较简单的形式VeE=pu(7)VXH=J.+E(8)①为了使本载任意关系式适用于自由空间中，令=0,μ即可1408

(9)GuHXE=(10)V·uH-o在这一章，我们的方法是以前所用方法的继续。通过甲重歪积分表示场，我们着重于电动力学场和它们的源之间的关系。其次我们要计及导体对于电磁场的影响，并介绍边值方法。我们在第4章和第8章中，分别是从用标量位Φ来表示无旋电场E和用矢量位A表示无敬磁场8开始的。这一章中我们从12.1节开始用普遍化的这些位函数表示电动力学条件下的电场和磁场。在第4章中，泊松方程使Φ和它的源和联系，在第8章中它使A和电流密度J报联系。在准静态近似不适用的情况下，是什么方程使这些位和它们相应的源相联系呢？在12.1节中，我们将导出一个非齐次的波动方程，它承担了泊松方程在准静态条件下所充当的角色。根据对下线性极化和磁化材料的这个方程可知，叠加原理可应用于电动力学中。和第 4章或第8章相类似,与奇异源相关的场将是下一一个专题。在12.2节，我们将从一个单元电荷的场开始并建立一个动态的电偶极子的场。在这里我们将举例说明电磁波的激励并且可看到准静态也偶极子场与普遍的电动力学场之间是如何联系的。这一节将通过导出一个和磁偶极子的场相关的电动力学场而结束，这个磁偶极子的场是根据电偶极子的场通过扩展无源区域中麦克斯韦方程的对称性而得的在12.3节中论述的重登积分提供了非齐次波动方程的特解，正象在第4和第8章中分别给出标员和矢量泊松方程的解一样在描述天线的作用时，从源辐射出来的场是我们最关心的。在12.4节中，这些辐射场的重叠积分可用来寻求天线的辐射方向图。在12.5节中将继续讨论天线，其中有一个论题是坡印享定理的复数形式。这个定理使得我们有可能模拟天线的阻抗好象它们的激励源所“看到”的那样在12.6节中，场源是面电流和面电荷的形式。一般说来直接利用重登积分确定相关的场是并不方便的。虽然如此，当源是“给定的”以后，导致相关的场的任何方法都相当于求重叠积分。这一节提供了将在13章中从边值1，题的观点导出的卡儿坐标系中波动方程解的第一个观点。为了给下一章边值问题方法做准备，边界条件过洽当地选择的源来满足。于是，在13章中将要根据边值观点考虑的平板型波导在这里可用由给定源所触发的波的观点来看。在12.7节中所用的镜象法，提供了用这种方法满足边界条件的更多例子。在这一章中引入的边界，都是假定为完绝导电的。在13章中，边界也可以是完纯绝缘介质之间的交界面。在这两章中,主涵都是与磁波的传播和反射有关的动态现象。动态特性通过一个或多个出磁的通过时间Tem表征。与用参数T。和Tm表征的电荷法豫和磁扩散现象相关的动态现象是不包拍在内的。我们将在第14和15章中再考虑它们。12.1电动力学场和位任这一节中，我们把标最位和父量位的应用扩展到述电动力学场，在我们所关心的区域内，不成对的电荷的电流密度，和电荷密度p规定是空间和时间的函教。如果有任何物质存409

在，则认为介电常数e和磁导率μ是均勾的，即D=eE和B=μH。对这些区域里的准静态场，位函数Φ和A是由泊松方程支配的。在这一节里，我们将看到准静态场中泊松方程的角色将被电动力学场的非齐次波动方程取代。在第4和第8两章中，位函数是这样引入的使能自动地满足两个无源定律中的一个。在第4章，我们令E-VΦ，是为了E自动满足无旋特性即×E=0。在第8章中，我们令B=×A是为了B白动满足无散特性，即V·B=0。在构成变克斯韦方程组的四个定律(12.0.7)(12.0.10)中，高斯定律和安培定律是涉及源的；而最后的两个，法拉第定律和磁通连续性定律是不涉及源的。按照以前用过的方法，位函数应在自动满足法拉第定律和磁通连续性定律，即式(12.0.9)和(12. 0. 10)的前提下引入。这是下述步骤的的。已知磁通密度仍为无散的，矢量位A可以和第8章中一样地被定义为B-μH-VXA(1)把uHI以这样方式表示后，式(12.0.10)再次自动地满足，并且法拉第定律式(12.0.9)变为x(E+3A)=0(2) 小t如果我们令括号中的量等于一V，则上式也就自动地满足了。--0-(3)当H和E根据由(1)和(3)式给出的@和A定义时，麦克斯韦四个方程中的最后两个，式(12.0.9)和(12.0.10)，也是自动满足的。然而要注意的是，用来表示场H和E的位通过式(1)和(3)并没有完全确定。我们可对A加上任一标量函数的梯度，于是，A和Φ都变了，但并不影响H和E。因此位函数还需进一步规定。现在，我们转而寻求A和Φ必须遵循的方程，以使麦克斯韦方程组的前面两个方程（12.0.9-12.0.10)，即高斯定律和安培定律能满足。把(1)和(3)代入安培定律式(12.0.8)中，给出×(0×A)=μ(--)+μ.(4)利用矢量恒等式可改写上式的左端，使方程成为V(V-A)-"A-)+uJ,(5)7改变梯度运算和对时间求导的次序，上式为PA+u(vAIμe)-VA--(6)为了唯一确定A，我们不仅必须规定A的旋度而且还必须给出它的散度，这点已在8.0节中做过了。在我们心的是磁准净态场的8.1节，我们发现令A无散是方便的。在我们保留有位移电流的现在，我们这样来规定A的散度使式(6)左端括号中的量为零，· 410

.A--(7)·A的这种选择称为洛仑兹规范。在这一规范下，表示安培定律式(6)的表达式简化成只涉及A而不包括Φ。A-μA--J.(8) 麦克斯韦方程组中的最后一个方程，即高斯定律，是通过使中遵循把(3)代人式(12.0.7)中而得的微分方程而满足的，(9))=u+%(A)=-P(---A4将V·A应用式(7)替代，可从上式中消去A0--(10)总之，当H和E通过式（1)和(3）用矢量位A和标量位Φ定义后，这些位函数的分布分别由矢量和标量的非齐次波动方程(8)和(10)所支配，不成对的电荷密度和不成对的电流密度是这些方程的“源”。根据这些位函数表示场意味若所确定的A的“规范”是使A和Φ通过式(7)联系。式(8)和(10)中的时间导数项是保留了位移自流和电磁感应的结果。这样，在准静态条件的限制下，这些项是被忽略的，于是回到山泊松方程支配的矢量位和标盘位。叠加原理A和Φ所满足的非齐次波动方程(式(8)和(10))以及规范条件(7)式,当右端的源给定时，是线性的。也就是说，如果与源J.和p.相关的解是A。和Φ，(11)→(A,)(Jap)相似地，如J，和p产生的位是A和@，(12)(Jb,pb) (Ab, Φ)) 那么，由各个源之和产生的位就等于由各别的源产生的位之和(13)[(J,+J), (,-b)J-[(A+Ab), (@+@))这一叠加原理的正式证明可由4.3节中对丁治松方程所用的相同理由而得。应该记住，代式(8)和(10)中右边给定的电荷和流密度，是由电荷守恒定律相联系的。因此，虽然在式(8)和(10)中出现的Φ和A是独立的，但实际上它们是互相耦合的。源的这种相互依赖性也反映在由规范条件式(7)建立的标员位和失盘位之间的联系中。一且求得A后，就能很方便地利用这一·关系式确定Φ。连续性条件麦克斯韦方程［(12.0.7)一(12.0.10)式，和山安倍定律的散度和高斯定律相结合而得到的电荷守恒定律，包含了一个连续性条件。在没有极化和磁化的情况下，这些条件已经在第1:4111

章从积分定律中导出。在第6和第9章中推广到包含极化和磁化的情况，则对于式(12.0.7)一(12.0.10)的连续性条件分别是，(14)n.(e,E-eEb) =0su(15)nx(H"-Hb)-K.(16)n×(E*-Fb)=0(17)n-(μ,HμHh)-0这些条件的推导过程与在第1章中引人积分定律诸节中的最后部分给出的一样，只是将法拉第定律中的μH用uH代替，安培定律中的E用eE代替。在12.6和12.7节以及后续各章中，这些条件被用来把电动力学场和表面电流以及表面电荷相联系。一开始，我们认为连续性条件中的两个，象法拉第定律和磁通连续定律并非相互独立。进而，正象安培定律和高斯定律隐含了J。和 P。之间的电街守恒关系一样，和这些定律机入的连续性条件隐含了表面电流密度和表面电荷密度所遵循的电荷守恒连续性条仆da为观察第一个相互依赖关系，将法拉第定律(0)对交界面内的由某一周线C所包周的表面8积分，如图12.1.1a所示。然后应用斯托克斯定理(b)写山fE.ds=-aluH.da(18)图12.1.1（a）恰好在交界面之上或我之下的表面Sb）包围交界面的一部分，堆既厚度为，的体积不论取交界面的(a)面或(b)面，式(18)左边的线积分是相同的。这可从法拉第连续性定律(16)式得出。因此，如果我们取式(18)在(a)面和(b)面求得值之差，可得α(uH"-μH)-n =0(19)通过使切向电场强度连续，我们已保证法磁通密度的时闻导数的连续性。对干正弦时变过程，使切向电场相匹配的条件自动地保证了法向磁迟密度的匹配。特别是考虑导体的表面在磁准静态态义下是“完纯的”，则在此导体中的电场为零。根据式(16)，正好在导体外表面处，E的切向分量一定也是零。鉴于式(19)，我们得出在完纯导体表闻的磁通密度的法向分虽一定与时间无关的结论。这一边界条件从第8 章的后半部已经熟悉①。已知安培定律的散度和高斯定律的结合，给出电荷守恒，VJu+e=0(20)我们期望在条件式(14)一(17)中,存在着第二个关系,这次是在前两个条件中出现的表面电荷密度与表面电流密度的关系。在图12.1.1b中示出的“药丸盒”的体积上积分，得到n[gada+f,pd -0(21)+401注意，不存在时变的无限大的导体而在另一方向上悬绝缘体的材料表面上可能没有 uH 的法向分量，但却在零电导率方向上支持着一个切向电场。412 ·

在首先是h然后是4A趋于零的极限下，这些职分简比为A1乘以(22)n.(a-J)V2K.+2..第一项是来自具有法线十n和一n的交界面的(a)和(b)面对式(21)中第一个积分的贡献。写成由矢量F所定义的“表面散度”形式的第二项是SF.idl(23)Va·F=lin有这些结果是因为即使在厚度->0的情况下，表面电流密度对(21)式中的第一个积分有限的贡献。[如图所示，是指向体积V的单位失量。】这一表面电流密度可用来表示强加在厚度比所关心的其他尺寸小的区域上的电流。它也能表示在完纯导体表：的电流。（用了7.6节和7.7节中电荷守恒的连续性条件，这一项就不存在，因为这一连续性条件所描述的表面上不存在表面电流。）利用位于观祭点的坐标，表而散度可认为是一个二维散度，式(22)中的最后-项是电荷密度对体积积分所导致的。因为有表面电荷密度，即使在->0的情况下，在体积内也有净电荷。当我们规定式(14)和(15)中的K和0。时,认为它们是服从电荷守恒连续性条作式(22)的。但是，我们也得到这样的结论，即电荷守搞定律隐含在安培定律和高斯定律中。所以，我们知道如果(14)和(15)两式能满足，则式(22)也一样满。在第13和14章中，当描述的是完继导电边界时，用安培和高斯定律的连续性条件所确定的完纯导电边界面上的面电流和面电背密度将自动满足电荷守恒条件。在完纯导体表面上，零值的切向电场白动地包含了法向磁通密度为零的条件。处理充当泊松方程角色的非齐次波动方程，其情况与第4章的电准静态学和第8章的磁准净态学相类似，下-一节指旧与寿异源和关的场。12.3节讨论对于给定的源分布响应的重叠积分。今后，在这一章和下一章中，我们将省撑源量中的下标u12.2奇异源的电动力学场给定了对一个基本源的响应，与任意分布的源相关的场分布可用叠加方法求得。这个方法将在下一节中正式确定并可用来决定许多天线阵的辐射方向图。从这一叠加原则得到的场构成一个特解，它可以与齐次波动方程的解结合，以满足由完纯导电边界所强加的边界条件。我们从由一个随时间变化的点电荷9《t)产生的位Φ开始。在一个净电荷不变的封闭系统中,在某点有电荷增加的话，在另一处必有电荷量的减少以相补偿。因此，正象我们从识别一个电偶极子的场将要看到氵,物理上有意义的场,至少是两个异号点电荷所产生的场的登加。电荷守恒进一步要求从一个区域到另一区域净电荷分布的转移可用电流来让量，这一电流是矢量位的非齐次波动方程中的源项。点电荷的位考虑被非并次波动方程(12.1.10)式预计的随时闻变化的点电荷所产生的位。点电荷位图12.2.1所示球标的原点+ 413

根据定义，除了是夺点的原点以外，各处的p均为零。在原点邻近处，我们希望位随变化得如此快，以致在非齐次波动方程(12.1.10)巾拉普拉斯算子支配时间的次导数项。千是，作原点附近可以期望一个点电荷的位和泊松方程的位即(4.4.1)式q(t)/4元er相同。从3,1节，我们图12.2.1位于球坐标系原点的点电荷已有关十电磁感应和非齐次波动方程(12.1. 10)中耐间的二次导数项所表示的位移电流的联合效应将如何影响这个位的启示。我们可以期望在径向位置上的响应将要在时间上带后··个电磁波从原点到达该点所需要的时间。对于一一个以速度ε传播的波，这一时间是/c。因此，我们作一·猜测，对位于原点的点电荷，方程(12.1.10)的解是g(t-二)(1)这里c=1/~ue。按照式(1),给定随时间变化的点电荷是9(t),则产生在半径r处的位是由熟知的点电荷的电位公式给出，并假设其中的t换以(t一r/c)。要证明式(1)中的Φ是非齐次波动方程(12.1.10)式的解可分两步。首先，将此表达式代人齐次波动方程[源为零的(12.1.10)】中，可以看到除了原点以外在任何位置都能满足。注意，在执行这步时Φ仅仅是球坐标中变量的函数，于是就简化为-23(r2a/ar)/r，这--运算和*12)有相同的结果。因此,用式(1)中的史来计算附,非齐次波动方程(12.1.10)式的左端项在r0处变为[1%(-)%(-)]-0(?)v0-1at2=4元在进行这一计算时,注意ag/ar=一"/c,ag/at=9,这里的撇表示对宗量的导数。因此，除了原点以外，处处满足齐次波动方程在第二步中，我们确认式(1)是点电荷产生的动态位。我们在=0的附近取非齐次波动方程(12.1.10)对半径为r球心在原点的一个小球体的积分。[(-vvo+ μeP) du=[ Pdo(3)拉普拉新算子已写成用它的定义表示的形式，预先利用了高斯定理把第一个积分变换为对于在，处表面的积分。在很小的极限下，二阶的时间导数项的积分不做贡献。(4)J,ue Se do=μe ralimf,odo'q4nrdr=0eatliml04元①当然，电背守恒要求有一个电流来维持这一随时间变化的电荷,并通过这一也流的作用，如果在原点右电荷的积裂，则在其他地方必定有电背的减少。遵循电荷守恒的最简单的源忌偶极于。414 *

式(3)充端第一项的积分已经从第4章中熟知，因为高斯定理将体积分变换为包围该体积的面积分，因此我们有-jvdo-f.vo.da-4a(5)- (元)-号在r->0的极限情况下，在式(3)中右端的积分给!Hq/e。干是它归结为利用式(1)去计算式(3)：式(1)确实是对位于原点处的一个点电荷的非的左端而得的相同表达式。我们得到的结论是：齐次波动方程的解。电偶极子场个电偶极子是由一对相距为&的电荷士g(t)组成，如图12.2.2所示。当一个电待的量值靠减少另一个电荷的量值而增加时，在两者之间的轴上就有电流（)，电荷守恒要求(6)这个电流能用电流密度J：分布的奇点来图示。事实上，在式(12.1.10)中右边Φ的源p/c可由根据式(12.1.8)中决定4.的源uJ，来充当。正如可认为是电荷密度p在它所占的体积内的积分-样，uia是uJ，先对连接电荷（给出ui)的电流管在±-y平面内的横战面上积分，然后沿若长度&积分。因此，我们拓觉了对于4的矢量非齐次波动方阻的≥分量与对于Φ的方程式(12.1.8)和(12.1.10)7之间的类比，写出与在原点处的增量电流元相关的失最位。式(12.1.8)的解与式(12.1.10)的一样,只要将q/e换以μidA,-4di-r/o)(7)图12.2.3一个动态电偶板子其电荐图12.2.3方向的位分解为球坐标中的分量随时间自变化可由电流（0)计耳。记伟，”是一个球坐标，所以最好将上式变换到球坐标系。图12.2.3表明(8)A,=A,coso;A,---A,sing干是，在球坐标系中，式(7)变为一个电偶极子的失量位。·415

u[ir o0i,/o sinoi ]一4O偶极子标量位是单个电荷产生的位式(5)的叠加。正电荷位于“轴上z=&处，负电荷在原点，由叠加给出(dt-(F--c0)g(t-r/o)(10)TA元e-dcoso式中，用4.4节中已经熟知的方式，从观察点到电荷所在点=d处的距离可近似为”一dcos。用表示关于宗虽的导数，在dcoso的基础上展开成泰勒级数给出(+)(-)+ (-)-/0)(1)保留&的线性项，就得到要求的电偶极了的标是位[9(t-/0)+9(t-r/0lcos6-rΦ=(12) 通过求导和利用守恒定律式(6),可肯定欠冠位式(9)和标量位式(12)，都服从(12.1.7)式。现在我们就可计算与这些标显位失量位相关的磁场和电场。磁场强度就可利用式(9)计算式(12.1.1)得到。［记住，电荷守恒要求"=i，与式(6)一致。了毛十五)ingi(13)H-4为了求E,利用式(9)和(12)计算式(12.1.3),得到-([g(t-2). g(t-)E-静(14)) 9(1-二) q(t-qit-sineicrcr比较式(14)和式(4.4.10)可见，在c0的极限下,这--电场就变成根据电准静态偶极子位所求得的电场。值得注意，准静态场正比于(而不是正比子它对时间的一阶或二阶导数)并随1/#*衰减。电对附间的一阶、二阶导数分别具有 4/z和 α/t°的数最级，这里：是电荷经历显著变化的典型时间间隔。因此,如果r/e≤T,这些时间导数项比之准静态项要小。我们求得的在 3. 3节EQS近似中已经给出了论证的材料，那就是如果式(3.3.5)的条件成立，我们就认为准静态的近似是有理的。由位移电流和电磁感应的结合导致的非齐次波动方程在偶极子场中有三个引人注目的效果。首先,位于处的响应要推迟一个传播时间r/e。其次，电场不仅正比于α(tr/e)也正① 除了在这里着重指出的推迟响应,还有一个“超前"的响应, 即用( 十10)代替(1一10)的项也是非齐次波动方程的群。因为它不适于这里的因果关系,所以这里不考虑。+416*

比于q(t-r/c)和q"(t—r/c)。第三，电场的正比于g"的部分反比于半径而减小。和这“远区场”相关的磁场，即式(13)中的第一项，也是按1/减小的。这些场组合在一起构成偶极子天线径向向外传播的电磁波。(t-r/c)singi传插方间lim H →d q"(t-rlosini.H4limE→4(15)注意到这些场分量是互相垂直的并且与传播的径向需直，如图12.2.4所示。为了正确评价式（15）中的场对1/r项依赖关系的意义，考虑与这些场相关的坡印亭通量式图12.2.4，构成沿径间传播的(11.2. 9),平面波的远区场。[9(t-=)]°(16)-sin"oi,m[ExH)=()C'T流出半径为，的球面的功率流根据上式为Pda()n02noq"(t--)7(17)ule因为偶极子的远区场随1/而变，因此功率流密度正比于1/，而且因为在处的表面面积随”增加，我们得出如下结论，即有一净功率流从偶极子流出。这些远区的场分量称为辐射场。例12.2.1电偶极子的接通时的场为了有助于理解电偶极子E和H的表达式式(13)和(14)的物理意义，考虑一个电儒极子通过图12.2.5a所示的孵变充电时的场。在周期T内，电荷从零增加到Q，并具有如图所示的连续的一阶导数和经受有限突变的二阶导数。场的分布就由 1 / r、1/ r和 1 /乘以适当的因子后的三个函数所构成，并用 tr/e取代 t。这样，qit-tQ-cost/图12.2.5（a）偶极子的电称及其一阶，二阶导数的时间依从关系。（b）计算1>2’时，根据（a）的接道瞬变导致的偶极子场所需函数的径向依从关系。· 417